專(zhuān)題63平面向量的應(yīng)用

專(zhuān)題6.3平面向量的應(yīng)用【核心素養(yǎng)】1.以平面圖形為載體，借助于平面向量研究平面幾何平行、垂直、夾角等問(wèn)題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．考查平面向量在物理學(xué)中的應(yīng)用，體現(xiàn)其工具性，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面：(1)證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的意義．(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運(yùn)用向量平行(共線)的條件：a∥b?a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)證明線段的垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(線段)是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：a⊥b?a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求與夾角相關(guān)的問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐標(biāo)法，對(duì)于有些平面幾何問(wèn)題，如長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)中對(duì)物理背景問(wèn)題主要研究下面兩類(lèi)：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用點(diǎn)的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不計(jì)作用點(diǎn)的情況下，可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個(gè)力的合力．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個(gè)速度的合速度知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三正弦定理正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題．面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四余弦定理余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)五常用結(jié)論(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，則①sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)．②sineq\f(A,2)＝coseq\f(B＋C,2)，coseq\f(A,2)＝sineq\f(B＋C,2).③sinA＝sinB?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).④A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cos B．(2)三角形的面積S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【典例分析】例1-1.（2023春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高一校聯(lián)考期末）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，過(guò)作的垂線，由在上的投影向量為，求得，又由，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)镺為的外心，所以為直角三角形且，O為斜邊BC的中點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋栽谏系耐队跋蛄繛?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即的取值范圍為．故選：D.

例1-2.【多選題】（2023春·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）在直角梯形中，，，，，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，滿足，若M是的中點(diǎn)，則的取值可能是（

）A．7 B．10 C．13 D．16【答案】BC【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，由，可確定點(diǎn)P在以D為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)，由三角恒等變換與平面向量模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算即可化簡(jiǎn)為正弦型三角函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得其取值范圍，從而得答案.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

則點(diǎn)P在以D為圓心，1為半徑的圓上，可設(shè)，由題意知，，則，所以，則，其中，所以.故選：BC.例1-3.【多選題】（2023春·黑龍江綏化·高一?？计谀┫铝姓f(shuō)法中正確的有（

）A．點(diǎn)O在所在平面內(nèi)，若，則點(diǎn)O為的重心B．向量能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底C．點(diǎn)O在所在平面內(nèi)，若，則點(diǎn)O為的垂心D．點(diǎn)O在所在平面內(nèi)，且滿足，則為等腰三角形【答案】AD【分析】根據(jù)平面向量的加減法與數(shù)乘以及數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量基底的定義，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由題意，取的中點(diǎn)為，并連接，作圖如下：

由，則共線，同理可得為中線交點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由，則顯然，即共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可作圖如下：

設(shè)，，，，由，則，由，，則，，若，則與不共線，即與不垂直，同理可得：與不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意,取為的中點(diǎn)，作圖如下：

則，即，由為的中點(diǎn)，則為的中垂線，即，故D正確.故選：AD.【規(guī)律方法】1.用平面向量解決幾何問(wèn)題，往往涉及平行、垂直、夾角．2.處理幾何問(wèn)題有兩個(gè)角度，一是注意選定基底，用相同的向量表示研究對(duì)象；二是通過(guò)建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．3.要證明兩線段平行，如AB∥CD，則只要證明存在實(shí)數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB與CD無(wú)公共點(diǎn)．4.要證明A、B、C三點(diǎn)共線，只要證明存在一實(shí)數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．5.要求一個(gè)角，如∠ABC，只要求向量eq\o(BA,\s\up6(→))與向量eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角即可．6.在解決求長(zhǎng)度的問(wèn)題時(shí)，可利用向量的數(shù)量積及模的知識(shí)，解題過(guò)程中用到的整體代入使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷、明了的解決．【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023春·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）如圖，、、三點(diǎn)在半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，且，是圓外一點(diǎn)，，則的最大值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，可知為的中點(diǎn)，計(jì)算得出，利用向量模的三角不等式可求得的最大值.【詳解】連接，如下圖所示：

因?yàn)椋瑒t為圓的一條直徑，故為的中點(diǎn)，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、共線且、同向時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.故選：C.變式1-2.（2023春·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，，設(shè)與相交于點(diǎn)，則．

【答案】【分析】用和表示和，根據(jù)以及，，，可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，，所以，所?故答案為：.變式1-3.【多選題】（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．已知，點(diǎn)在直線上，且，則的坐標(biāo)為；B．若是的外接圓圓心，則C．若，且，則D．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的垂心.【答案】BD【分析】對(duì)于A，設(shè)，由題意可得或，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；對(duì)于B，如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)數(shù)量積的定義即可得解；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且，所以或，則或，所以或，解得或，所以或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，滿足，則與不一定相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，同理可得，所以是的垂心，故D正確.故選：BD.題型二：用向量方法探究存在性問(wèn)題例2-1.【多選題】（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的直線與過(guò)定點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．一定垂直B．的最大值為4C．點(diǎn)的軌跡方程為D．的最小值為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)兩直線垂直滿足的關(guān)系式進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)，求出和，由⊥，得到，再結(jié)合基本不等式得到答案；C選項(xiàng)，分析得到，點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，求出軌跡方程；D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，求出，得到點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而得到的最小值為圓心距減去兩半徑，結(jié)合求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以一定垂直，A正確；B選項(xiàng)，變形得到，從而，變形得到，從而，由⊥，由勾股定理得，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；C選項(xiàng)，由B可知，點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，其中線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑為，故軌跡方程為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的圓心為，半徑為2，設(shè)的中點(diǎn)為，由垂徑定理得，

故點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)軌跡方程為，則的最小值為圓心距減去兩半徑，即，其中，所以的最小值為，D錯(cuò)誤.故選：AB例2-2.在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是邊AC上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn)，試問(wèn)：在線段BM(端點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)P，使得PC⊥BM?【答案】線段BM上不存在點(diǎn)P使得PC⊥BM．【解析】[思路分析]本題是存在性問(wèn)題，解題時(shí)利用共線向量，把向量eq\o(BP,\s\up6(→))的坐標(biāo)設(shè)出，從而得到eq\o(CP,\s\up6(→))的坐標(biāo)，然后根據(jù)垂直關(guān)系，利用數(shù)量積為零得到問(wèn)題的答案．解：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－4)．∵點(diǎn)M是邊AC上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－eq\f(4,3))，∴M(4，eq\f(8,3))，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝(4，eq\f(8,3))．假設(shè)在BM上存在點(diǎn)P使得PC⊥BM，設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))，且0<λ<1，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))＝λ(4，eq\f(8,3))＝(4λ，eq\f(8,3)λ)，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－6,0)＋(4λ，eq\f(8,3)λ)＝(4λ－6，eq\f(8,3)λ)．∵PC⊥BM，∴eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝0，得4(4λ－6)＋eq\f(8,3)×eq\f(8,3)λ＝0，解得λ＝eq\f(27,26)．∵λ＝eq\f(27,26)∈/(0,1)，∴線段BM上不存在點(diǎn)P使得PC⊥BM．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2023春·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）已知是邊長(zhǎng)為1的正六邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)為正六邊形的中心時(shí)， B．的最大值為4C．的最小值為 D．可以為0【答案】ACD【分析】以為原點(diǎn)，以為軸，建立坐標(biāo)系，，設(shè)，求出，進(jìn)而可得答案．【詳解】以為原點(diǎn)，以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，正六邊形邊長(zhǎng)為1，，設(shè)則，，可得，，，，時(shí)，的最小值為，C對(duì)，為正六邊形的中心時(shí)，即時(shí)，，A對(duì)，可以為0，沒(méi)有最大值，D對(duì)，B錯(cuò)，故選：ACD.

變式2-2.△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是邊BC的中點(diǎn)，BE⊥AD，垂足為E，延長(zhǎng)BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC．【答案】【解析】如圖，B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,2)，C(2,0)，則D(1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)．設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq\o(BF,\s\up6(→))⊥eq\o(DA,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(2,3)．∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\f(4,3)，eq\f(2,3))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))．又eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，∴cos∠ADB＝eq\f(\o(DA,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DA,\s\up6(→))|·|\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)，cos∠FDC＝eq\f(\o(DF,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(DF,\s\up6(→))|·|\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)，又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC．題型三：平面向量在物理中的應(yīng)用【典例分析】例3-1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況（如圖所示）．假設(shè)行李包所受的重力為，所受的兩個(gè)拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結(jié)論不正確的是（）A．的最小值為B．的范圍為C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】B【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案．【詳解】解：如圖，對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)、方向同向時(shí)，有，此時(shí)取得最小值，且最小值為，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，有，行李包不會(huì)處于平衡狀態(tài)，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)行李包處于平衡時(shí)，，若，則有，變形得，，即，正確；對(duì)于D選項(xiàng)：若，則有則有，變形可得則有，D正確，故選：B．例3-2.（2019秋·福建廈門(mén)·高三統(tǒng)考期末）長(zhǎng)江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)船的實(shí)際速度為，根據(jù)題意作圖，設(shè)與南岸上游的夾角為，由題意可得的值，再計(jì)算的值即可.【詳解】設(shè)船的實(shí)際速度為，與南岸上游的夾角為，如圖所示，要使得游船正好到達(dá)處，則，即，又因?yàn)椋?，故選：D.【規(guī)律方法】1.求幾個(gè)力的合力，可以用幾何法，通過(guò)解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一個(gè)物體在力G的作用下產(chǎn)生位移為s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F與s的夾角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力與位移的數(shù)量積．【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．60【答案】D【分析】用向量表示兩只胳膊的拉力的大小和方向，它們的合力與體重相等，求出，再化為千克即可得．【詳解】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：D．變式3-2.（2023春·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）一個(gè)人騎自行車(chē)由A地出發(fā)向東騎行了到達(dá)B地，由B地向南東方向騎行了到達(dá)C地，從C地向北偏東騎行了到達(dá)D地，則A，D兩地的距離是．【答案】【分析】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，從而求出即可.【詳解】以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，即，，即，所以，故.所以A，D兩地距離為.故答案為：.題型四：正弦定理基本應(yīng)用【典例分析】例4-1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.例4-2.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.例4-3.（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，.(1)求角的值；(2)若，邊上的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】（1）切化弦后，利用兩角和的正弦公式求解；（2）利用平面向量數(shù)量積可求出結(jié)果.【詳解】（1），，，，，，.（2）是邊上的中線，，，.【總結(jié)提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解【變式訓(xùn)練】變式4-1.（2019·全國(guó)高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.【答案】.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故選D．變式4-2.（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求的大??；(2)若角的平分線交于點(diǎn)，，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及輔助角公式得，結(jié)合角的范圍可得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式，由求解即可.【詳解】（1）由已知及正弦定理得，又，所以，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，即．?）由，得．所以．即，解得．變式4-3.（2018·北京高考真題（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–17（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC邊上的高．【答案】(1)∠A=π3(2)AC邊上的高為【解析】（1）在△ABC中，∵cosB=–17，∴B∈（π2，π），∴sinB=1?cos2B=437．由正弦定理得asinA=bsinB?7sinA=8（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=32×(?1如圖所示，在△ABC中，∵sinC=?BC，∴h=BC?sinC=7×33題型五：余弦定理基本應(yīng)用【典例分析】例5-1．．（2023春·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）在中，，，，對(duì)任意，有恒成立，點(diǎn)P是直線BA上，則的最小值是．

【答案】【分析】由得為點(diǎn)到的垂線段，再通過(guò)將軍飲馬模型進(jìn)行計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)椋?，由減法與數(shù)乘的幾何意義，為點(diǎn)到的垂線段，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，在中，由余弦定理易得，，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，連接交于，

易得，此時(shí)最小，，，即的最小值為.故答案為:.例5-2.（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是．

【答案】或0【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.例5-3.（2020·全國(guó)高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；（2）將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得，的面積；（2），，，.【規(guī)律方法】應(yīng)用余弦定理解答兩類(lèi)問(wèn)題：1.已知三角形兩邊和它們的夾角：（1）根據(jù)余弦定理求出第三邊；（2）根據(jù)余弦定理求一未知角；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和求另一未知角.應(yīng)該注意的是求出第三邊后，也可以應(yīng)用正弦定理求角，這樣往往可以計(jì)算簡(jiǎn)便，應(yīng)用正弦定理求角時(shí)，為避免討論，應(yīng)先求較小邊所對(duì)的角，它必是銳角.2.已知三邊：可以連續(xù)應(yīng)用余弦定理求出兩角，常常是分別求較小兩邊所對(duì)的角，再由三角形內(nèi)角和求第三角；由余弦定理求出一個(gè)角后，也可以根據(jù)正弦定理求出第二個(gè)角，但依然是先求最小邊所對(duì)的角.【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.變式5-2.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則，.【答案】【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.變式5-3.（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以；?）因?yàn)?，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．題型六：正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用【典例分析】例6-1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，故．例6-2.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過(guò)作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.【規(guī)律方法】應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷就用哪一個(gè)定理．【變式訓(xùn)練】變式6-1.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．變式6-2.（2020·江蘇省高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.一、單選題1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，的面積，且，則的外接圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由正弦定理面積公式和余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，找到，再根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以．設(shè)的外接圓的半徑為，所以，解得．故選：D．2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，，，，則（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】先利用正弦定理求出，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，但需要注意根據(jù)“大邊對(duì)大角”的性質(zhì)，對(duì)的值進(jìn)行取舍．【詳解】由正弦定理得，，即，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．故選：C．3．（2023春·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)校考期末）已知中，，，則此三角形為（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)即可得為等腰三角形，又因?yàn)榭芍?，所以為等邊三角?【詳解】如下圖所示：

設(shè)M為AC中點(diǎn)，則，所以，即為等腰三角形，又，所以，即，所以，可得，綜上可知三角形為等邊三角形.故選：B.二、多選題4．（2023春·河南開(kāi)封·高一統(tǒng)考期末）若平面上的三個(gè)力，與的夾角為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．與的夾角為C．與的夾角為 D．【答案】AC【分析】根據(jù)向量的圖形運(yùn)算法則，結(jié)合余弦定理和向量數(shù)量積的定義等知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，設(shè)分別為，將向量進(jìn)行平移，平移至，將反向延長(zhǎng)至點(diǎn)D，則，，在中，由余弦定理得，,所以，即，故A正確；顯然，在中，，即，所以，所以與的夾角，故B錯(cuò)誤；與的夾角，故C正確；，故D錯(cuò)誤故選：AC5．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┲校撬鶎?duì)的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則必有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為直角三角形D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是【答案】AC【分析】根據(jù)正弦定理可判斷選項(xiàng)A；已知條件得出角的關(guān)系，可判斷選項(xiàng)B；化邊為角可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)正弦定理可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若，則，又，所以必有兩解，故A正確；對(duì)于B，若，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦定理得：，即，而，故，所以一定為直角三角形，故C正確；對(duì)于D，若，且該三角形有兩解，所以，即，也即，故D錯(cuò)誤.綜上所述，只有AC正確，故選：AC.三、填空題6．（2023春·北京通州·高一統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．

【答案】【分析】以為原點(diǎn)，建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)，，計(jì)算出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)則得到其范圍.【詳解】以為原點(diǎn)