第一章-實數(shù)集與函數(shù)

《數(shù)學分析》課件主講：高凌云暨南大學數(shù)學系2014年9月-2015年1月MathematicsAnalysis

記號與術語《數(shù)學分析》概述

一、研究對象變量間的關系及變化過程，具體表現(xiàn)為函數(shù)及其性質。函數(shù)及其性質：單調性、有界性、奇偶性、最大（?。┲?、極大（?。┲?、周期性、圖象、……需要指明的是：中學也研究函數(shù)的這些性質，但主要采用“靜止”、“孤立”的方法去研究函數(shù)．而在《數(shù)學分析》中主要采用“運動”、“聯(lián)系”、“變化”的過程把握變化的結果．因而《數(shù)學分析》中的方法具“運動性”、“變化性”．如何研究函數(shù)？通過什么方式、角度去研究呢？或用什么樣的工具去研究函數(shù)呢？這些構成《數(shù)學分析》的主要內容．變量數(shù)學分析數(shù)學分析函數(shù)極限方法極限論微分學積分學級數(shù)論（單變量和多變量）工具基礎中心對象對象變動觀點關系第一章實數(shù)集與函數(shù)

§1實數(shù)§2數(shù)集確界原理§3函數(shù)的概念§4復合函數(shù)與反函數(shù)1.1實數(shù)一.實數(shù)及其性質二.絕對值與不等式

若規(guī)定：

則有限十進小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù).實數(shù)對正整數(shù)對負有限小數(shù)（包括負整數(shù)）y,先將-y表示成無限小數(shù)，再在無限小數(shù)前加負號．如:-8=-7.999一.實數(shù)及其性質：1.回顧中學中關于有理數(shù)和無理數(shù)的定義.說明:

對于負實數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)2.兩個實數(shù)的大小關系

說明:

自然規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負整數(shù)其中

給定兩個非負實數(shù)LLLLLLL1)定義1定義2設

為實數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù)

稱為x的n位過剩近似，n=0,1,2,….為非負實數(shù).稱有理數(shù)2)通過有限小數(shù)比較大小的等價條件

對于負實數(shù)其n位不足近似和n位過剩近似分別規(guī)定為和

注意：對任何實數(shù)x,有,命題1

設實數(shù)的性質

1.實數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運算是封閉的.即任意兩個實數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實數(shù).

2.實數(shù)集是有序的.即任意兩個實數(shù)a,b必滿足下述三個關系之一:a<b,a=b,a>b.為兩個實數(shù)，則3.實數(shù)集的大小關系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c.5.實數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù),且既有有理數(shù),也有無理數(shù).6.實數(shù)集R與數(shù)軸上的點具有一一對應關系.即任一實數(shù)都對應數(shù)軸上唯一的一點,反之,數(shù)軸上的每一點也都唯一的代表一個實數(shù)..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

?

使得

則存在正整數(shù)

若

即對任何

實數(shù)具有阿基米德性

例1證明例2證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數(shù)證明為實數(shù)設.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負整數(shù)由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對任何正數(shù)證明設ee..,,..bababababa,￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設為正數(shù)且則令有則根據實數(shù)的有序性假若結論不成立用反證法eeeea0-a二.絕對值與不等式從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點的距離：

絕對值定義：絕對值的一些主要性質性質4（三角不等式）的證明：由此可推出幾個重要不等式:⑵

均值不等式:(算術平均值)(幾何平均值)(調和平均值)有平均值不等式:等號當且僅當時成立.⑶Bernoulli不等式:⑷

利用二項展開式得到的不等式:由二項展開式§1.2數(shù)集·確界原理一、區(qū)間與鄰域

二、上確界、下確界一、區(qū)間與鄰域1.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.3.鄰域:二有界集·確界原理1有（無）界數(shù)集:定義(上、下有界,有界)數(shù)集S有上界數(shù)集S無上界數(shù)集S有下界數(shù)集S無下界數(shù)集S有界數(shù)集S無界例證明集合

是無界數(shù)集.證明：由無界集定義，E為無界集.2確界:

直觀定義:若數(shù)集S有上界，則它有無窮多個上界，其中最小的一個上界稱為數(shù)集S的上確界，

同樣，有下界數(shù)集S最大的一個下界稱為數(shù)集S的下確界，MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界確界的精確定義

例3設數(shù)集S有上確界.證明例4設

A,B為非空數(shù)集,滿足:證明數(shù)集

A有上確界,數(shù)集B有下確界,且證:

故有確界原理知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界.

是數(shù)集A的一個上界,而由上確界的定義知由假設,數(shù)集B中任一數(shù)

都是數(shù)集A的上界,

A中任一數(shù)

都是B的下界,

是數(shù)集A的最小上界,故有

而此式又表明數(shù)

是數(shù)集B的一個下界,

故由下確界的定義證得

例5

為非空數(shù)集,

試證明:

證

有或

由和分別是的下界,有或即

是數(shù)集的下界,

.和2、3、上

3.數(shù)集與確界的關系:確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.

4.確界與最值的關系:

設E為數(shù)集.

⑴E的最值必屬于E,但確界未必,確界是一種臨界點.

⑵

非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.

⑶

若存在,必有對下確界有類似的結論.

5確界原理

定理1(確界原理).設E為非空數(shù)集，若E有上界，則E必有上確界；若E有下界，則E必有下確界。設A,B為非空有限數(shù)集,.證明:

例6證:

故得

所以

綜上,即證得§1.3函數(shù)的一般概念函數(shù)的概念2幾個特殊的函數(shù)舉例3函數(shù)的性質

一、函數(shù)概念

函數(shù)是整個高等數(shù)學中最基本的研究對象,可以說數(shù)學分析就是研究函數(shù)的.因此我們對函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應有一個清楚的認識.

因變量自變量D

稱為定義域，記作Df，即Df=

D

.函數(shù)值的全體構成的數(shù)集稱為值域，記為：對應法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.自變量因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.關于函數(shù)定義的幾點說明:定義:如果自變量在定義域內任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)．函數(shù)的相等與不等注：分清和“函數(shù)值的相等與不等”。

表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標平面上的

函數(shù)的表示法

單值函數(shù)與多值函數(shù)

在函數(shù)的定義中,對每個x

D,對應的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).

如果給定一個對應法則,按這個法則,對每個x

D,總有確定的y值與之對應,但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).

例如,由方程x2

y2

r2確定的函數(shù)是一個多值函數(shù):

此多值函數(shù)附加條件“y

0”后可得到一個單值分支

此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),其定義域為D=(-

,+

),其值域為Rf

=[0,+

).

(2)

(1)常值函數(shù)y=c.其定義域為D=(-

,

+

),其值域為Rf

={c}.下頁三幾個特殊的函數(shù)舉例(3)符號函數(shù)

其定義域為D=(-

,+

),其值域為Rf

={-1,0,1}.(4)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)階梯曲線其定義域為D=(-

,+

),其值域為

=Z.例：

（5）“非負小數(shù)部分”函數(shù)

它的定義域是有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(6)狄利克雷函數(shù)其定義域為D=(-

,+

),其值域為={0,1}.(7)取最值函數(shù)yxoxo(8)Riemann函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).分段函數(shù)例2解故三、函數(shù)的性質M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:四、函數(shù)的性質f(x)=sinx在(-

,+

)上是有界的:

|sinx|

1.所以函數(shù)無上界.有界函數(shù)舉例例32．函數(shù)的單調性:xyoxyo3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x4．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.§1.4復合函數(shù)

反函數(shù)初等函數(shù)二.反函數(shù)三.初等函數(shù)四.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)一.復合函數(shù)一、復合函數(shù)

在實際問題中，有很多比較復雜的函數(shù)是由幾個比較簡單的函數(shù)“疊置”而成的，如在簡諧振動中位移y與時間t的函數(shù)關系就是由三角函數(shù)和線性函數(shù)“疊置”而成的，定義:注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的;——復合條件復合函數(shù)的定義域復合條件在實際應用時常取形式內層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經過復合構成.二、反函數(shù)DWDW反函數(shù).的反函數(shù)，記為

反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域

顯然有

(恒等變換）

(恒等變換)

。這樣直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線對稱.

從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習慣上我們還是把反函數(shù)記為.

嚴格單調函數(shù)是1-1對應的，所以嚴格單調函數(shù)有反函數(shù)。但1-1對應的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴格單調的，看下面例子它的反函數(shù)即為它自己.

實際求反函數(shù)問題可分為二步進行：

(1).

確定的