折射定律的兩種證明方法

//3700//3.7幾何中的一些極值問(wèn)題折射定律質(zhì)點(diǎn)花時(shí)間最短運(yùn)動(dòng)軌跡選址問(wèn)題實(shí)驗(yàn)演示幾何中一些求極值問(wèn)題，可以用微分法求解，也可借助幾何或物理概念尋求特殊的技巧解法。下面舉幾個(gè)例子。問(wèn)題一：(折射定律)設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A(x,y)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(x,y)(y>0,yv0)，該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)1 1 2 2 1 2速度在上半平面為常數(shù)v1，下半平面為常數(shù)v2.此質(zhì)點(diǎn)應(yīng)沿什么路徑運(yùn)動(dòng)才能使花費(fèi)時(shí)間最短？問(wèn)題二：(質(zhì)點(diǎn)花時(shí)間最短運(yùn)動(dòng)軌跡)設(shè)一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A(x,y)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(x,y),其運(yùn)動(dòng)速度是縱坐標(biāo)的可微函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2v(y).若要求所花時(shí)間最短，求它的運(yùn)動(dòng)軌跡。問(wèn)題三：(選址問(wèn)題)設(shè)有m個(gè)村莊A,A，…,A各有小學(xué)生n,n，…,n人，今要合建一所小學(xué)1 2 m 1 2 m校，使全部學(xué)生所走的總路程最短，問(wèn)應(yīng)如何選擇校址？//3710一.折射定律設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A(x,y)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(x,y)(y>0,yv0)，該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)1 1 2 2 1 2動(dòng)速度在上半平面為常數(shù)v］，下半平面為常數(shù)v.此質(zhì)點(diǎn)應(yīng)沿什么路徑運(yùn)動(dòng)才能使花費(fèi)時(shí)間最短？顯然該質(zhì)點(diǎn)在上半平面和下半平面都應(yīng)是直線(xiàn)。故從A到B應(yīng)為折線(xiàn)，只需求出折點(diǎn)C即可。設(shè)AC、BC與y軸的夾角分別為i1,i2,我們來(lái)證明當(dāng)sini vsini v (*)時(shí)，所花費(fèi)的時(shí)間最短。

（*）式就是光的折射定律：當(dāng)光從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，入射角的正弦與折射角的正弦之比等于光在兩種介質(zhì)中的速度比。證明：方法一（用幾何方法）方法二（用微分方法）//sm3711用幾何方法證明:任取另一路徑AC1B,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)路徑ACB所花時(shí)間為4￡+竺vv經(jīng)AC1B所花時(shí)間為AC1+BC2只需證當(dāng)（*）成立時(shí)，AC+BC<AC1+BC1vvvvTOC\o"1-5"\h\z過(guò)C分別向AC延長(zhǎng)線(xiàn)和CB作垂線(xiàn)CD和CD，則

1 11 12...AC=AD1-CD1, BC=8叫+CD2\o"CurrentDocument"AC+BC_（AD_CD）+（B^+CD?）_AD+BD?十（CD2_CD） （**）vvvvvvvvvv1 2 1 1 2 2 1 2 2 1ACCD_i，ACCD_i，...CD_CCsini,CD_CCsini1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2也-竺1_cc"-虬）_0vv1vvAD1<AC1,BD^<BC1,vvvvvv121212AD1<AC1,BD^<BC1,vvvvvv121212//sm3712用微分方法證明：設(shè)折點(diǎn)C的坐標(biāo)為G,0）則質(zhì)點(diǎn)經(jīng)ACB所花時(shí)間J(x-xJ2+y2 ；(x-xJ2+y2TOC\o"1-5"\h\zt= 1 1_+ 2 2_V V12dt(x-x)/..：'(x-x*+y2(x-x)/,：(x-x*+y2sinisini = 1* 1 1_+ 21' 2 —=U—2dx v v vv.??d=0等價(jià)于螞=虹.這與(*)等價(jià).這就是光的折射定律：當(dāng)光從一dx V] V2種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)入射角的正弦與折射角的正弦之比等于光在兩種介質(zhì)中的速度比.//sm3720二、質(zhì)點(diǎn)花時(shí)間最短的運(yùn)動(dòng)軌跡TOC\o"1-5"\h\z問(wèn)題：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A(x,y)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(x,y),其運(yùn)動(dòng)速度是縱坐標(biāo)的可1 1 2 2微函數(shù)v(y).若要求所花時(shí)間最短，求它的運(yùn)動(dòng)軌跡。結(jié)論：其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿(mǎn)足：從A(氣,y「到A(x,y)的定積分\o"CurrentDocument"du，/ 、\o"CurrentDocument"[行E=±(x-x]) ⑶^由y(x2)=y2，即曲線(xiàn)過(guò)b點(diǎn)決定，正負(fù)號(hào)的選擇與y’的符號(hào)一致。具體推導(dǎo)：〃轉(zhuǎn)3721//例子：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)要在重力場(chǎng)上由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)A(x0,y0)，求花費(fèi)時(shí)間最短的路徑。(設(shè)x°>0y°>0)//轉(zhuǎn)37////sm37211用y'表示曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率。1用y'表示曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率。A2在軌跡上取鄰近的三點(diǎn)A(x,y),A(x+Ax,y+Ay)A分別把AA和AA3 12 23在A(yíng)A在A(yíng)A上,Iy'(x)\=tana，在aA上，y，(x+Ax)-tan^12 1 23 2—— ? cosa1 1Ms2a+：na\ 1 11 _ 1(1+tan2* "1+偵(xj同理sini2同理sini21頊1+tan2a2疽1+ty(I把(1)式兩邊顛倒再減去1把(1)式兩邊顛倒再減去1并通分得：sini-sini V(y+Ay)-V(y)Vt^⑵式左邊分子分母同除以sini1Sini2得1_1sinisini ^,T+Iy^(x)2-*：1+ty'(x+Ax)1 V1+\y'(x+A^sini21 y'(x)y"(x)Ax(1+[y'(x+Ax)lV'1+^^'(x)^2(這里利用了公式f(x+Ax)-fG)^fQkx,f(x)=U1+[y(x)L)re、”十、北 re、”十、北 VGky(2)式右邊^(qū)y()(只差A(yù)y的高階無(wú)窮).兩邊除以軟再令軟T0得兩邊乘以dx得y'y"dx_V'(y)y'dx y'dy'__V'(y)dy出￥=一偵廠(chǎng)，即出FT兩邊求不定積分得2Znt+(y')2\__lnV(y)+C加〔+"(其中C1=華勺1+(y')2=CV_2(y),y'=土JC1V_2(y)-1du=±(x-氣) (3)_d=土dx

du=±(x-氣) (3)從A(x,y)到A(x,y)求定積分得』y-11 1 y^.CV-2(u)-1C1由y(x2)=y2，即曲線(xiàn)過(guò)b點(diǎn)決定，正負(fù)號(hào)的選擇與y’的符號(hào)一致.//sm3722//例設(shè)一質(zhì)點(diǎn)要在重力場(chǎng)上由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一點(diǎn)A(%,y0)，求花費(fèi)時(shí)間最短的路徑。(設(shè)x>0y>0)解：如圖，取y軸向下，則對(duì)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)B(x,y)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)降到B點(diǎn)時(shí)減少的勢(shì)能二增加的動(dòng)能1 …、 林—???mgy=-mv2nV(y)=x;2gy代入(3)式得(此時(shí)x1=0，y1=0，)rvdux=jy (4)C[1——1——1\；2gu

注：由于曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)與x軸夾角是銳角，故V>0,從而(3)取正號(hào).為了能把根號(hào)去掉，考慮作積分變換設(shè)3=csc20<^注：由于曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)與x軸夾角是銳角，故V>0,從而(3)取正號(hào).為了能把根號(hào)去掉，考慮作積分變換設(shè)3=csc20<^<^即0展52gu2 2 2即u=匕sin2-=asin29 (十己a=烏)2g2 2 2gu=0對(duì)應(yīng)9=0，u=y對(duì)應(yīng)9=t9 9du=2asin_cos_2 2d9=asin9cos9d92 2asi^^—cos:.(4)式右邊=Jt2

o-d92 9 cot—2=aJtsin

o=2Jt(1-cos9)d9=§9-sin9]a .八=一(t-sint)2又u=asin2 =2(1-cos9)取9=t,則u=y，「?y=—(1—cost)2x=—^(t—sint)綜合得：]cy=—^(1—cost)I4g這是擺線(xiàn)方程，其中常數(shù)C1,由曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)AX0,y)唯-確定，4生成擺線(xiàn)的滾動(dòng)圓的半徑。注：其實(shí)C1的確定也不是太容易的〃轉(zhuǎn)sm3723////sm3723

例如"=1,例如"=1,y=1,C=?代入擺線(xiàn)方程得:1c―i(t-sint)=1 (1)4gc―(1-cost)=1 (2)4gt一sint(%)可得 1-cost:.t—sint=1—cost, t-sint+cost-1=0令 f(t)=t—sint+cost—1f(9=1-2<0f(兀)=兀一2>0可知方程f(t)=0在區(qū)間［1.57,3.14］內(nèi)有解。用二分查找法可求出近似解t=2.412代回(1),(2)得C=22.458,'= 1 =0.5730 1 4g1-cos(2.412)x=0.573(t-sint)(0<t<n)y=0.573(1-cost)//sm3730三.選址問(wèn)題設(shè)有m個(gè)村莊A,A，…,A各有小學(xué)生n,n，…,n人，今要合建一所小學(xué)1 2 m 1 2 m校，使全部學(xué)生所走的總路程最短，問(wèn)應(yīng)如何選擇校址？校址點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的條件設(shè)A.的坐標(biāo)為X,V)(i=1,2,3……m)校址在A(yíng)(x,y)處，那么全部學(xué)生所走的總路程為：s習(xí)|AA|'工ni i iIj設(shè)-.為徵.方向上的單位向量。I Ias—尤dx=1nas—尤dx=1n(x-x)— i i —f(x-x.)2+(y-y.)2ay若令F=in(x-x)Jx-x.)2+(y-y.)2n(y-y)-1/x-xi)2-(y-yi)2n(y-y)(x一x.)2+(y一y.)2’十，J=-ne反向)。等價(jià)于F=0

i

i=1F=0

i

i=1可知S的最小值只能在A(yíng).i(3.15)(i=1,2,3……m)(在這些點(diǎn)S不可導(dǎo))和滿(mǎn)足(3.15)的點(diǎn)去找。若有A(x,y)滿(mǎn)足(3.15)，貝則S(A)達(dá)最小值。證明//轉(zhuǎn)3731//特例：費(fèi)爾馬點(diǎn)〃轉(zhuǎn)3733////sm3731若有A(x,y)滿(mǎn)足(3.15)，則S(A)達(dá)最小值。證明：設(shè)A'尹A,要證S(A')NS(A),

對(duì)每一個(gè)i，.作A'A'i^AAi,設(shè)Oi為AA'與AAi的夾角當(dāng)AA'±AAi時(shí)，A'i=A以下記AA=AA'?^i ii?AA'=\i?AA'=\1?i一"0<e<l2兀一<e<兀2當(dāng)0WOiWn/2時(shí)，IA'Ai|N|Ai'Ai|=|AAi|-|AAi'|=|AAi|-AAi'當(dāng)n/2<OiWn時(shí)|A'Ai|N|Ai'Ai|=|AAi|+|AAi'|=|AAi|-AAi'從而S(A')=Eni|A'Ai|^Eni(|AAi|-AAi')=Eni|AAi|-EniAAi'=S(A)-AA'Zniei=S(A)+AA「ZFi=S(A)(F=—ne)???S(A')NS(A).對(duì)(3.15)的注釋//轉(zhuǎn)sm3732//sm3732TF=0 (3.15)ii=1對(duì)(3.15)的注釋?zhuān)寒?dāng)A滿(mǎn)足(3.15)式且A’、A、A、A???.A共線(xiàn)時(shí)S(A')=S(A).但是，由于1 2mA’是任意取的，故當(dāng)它在此直線(xiàn)上趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí),S(A')—8.這又說(shuō)明S(A')尹S(A)。即A不可能同時(shí)滿(mǎn)足(3.15)式和“與A、A—.A共線(xiàn)”.而當(dāng)A、1 2m 1

%???.%共線(xiàn)時(shí)顯然A也應(yīng)在此直線(xiàn)上，說(shuō)明此時(shí)A不可能滿(mǎn)足(3.15)式，即A應(yīng)等于某個(gè)Ai.當(dāng)A、A-,A不共線(xiàn)時(shí)，若A滿(mǎn)足(3.15)式，則它是唯一的.1 2m若在此模型中，把Ai理解為各車(chē)間。A理解為公共原材料倉(cāng)庫(kù)。ni理解為各車(chē)間在一定時(shí)期內(nèi)對(duì)原材料的需求量。則此問(wèn)題化為如何選擇倉(cāng)庫(kù)地址，使總運(yùn)輸量是最小的問(wèn)題。(3.15)看來(lái)很簡(jiǎn)單，但實(shí)際上十分難解。一般可考慮矩形區(qū)域minxiWxWmaxxi，minyiWyWmaxyi上用迭代法求數(shù)值解即minS(x,y)=min產(chǎn)n、i(x-x)2+(y-y)2的近似解。i=1也可用物理模型模擬求近似解。在一塊有坐標(biāo)的板上相應(yīng)于A(yíng)i的位置處鉆上小孔每個(gè)小孔穿一細(xì)繩在每條細(xì)繩的下端系上一個(gè)與ni成比例的砝碼(W)全部繩的上端系在一小環(huán)上(V)小環(huán)的平衡位置就是所求A點(diǎn)的坐標(biāo)這是因?yàn)槠胶鈺r(shí)，該點(diǎn)受到各個(gè)方向的合力為0。與并F=0一致。ii=1注：當(dāng)然要想辦法減少孔與繩的摩擦力//sm3733當(dāng)m=3,氣=1，i=1，2，3時(shí)的特例即要在△A1即要在△A1氣A3所在平面上找一點(diǎn)A，使A到三頂點(diǎn)距離之和最小。顯然A點(diǎn)不應(yīng)在^AAA之外。123(1)當(dāng)△△△A的內(nèi)角都小于120°時(shí)，由上述(3.15)即得:1234+匕=° (因此時(shí)—戶(hù)=?)TOC\o"1-5"\h\z1ZJ iicos(e,e)=e-e=(-e-e)(-e-e)=e-e+e-e+e2+11 2 1 2 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3cos(e,e)=e-e=(-e-e)(-e-e)=e-e+e-e+e*+12 3 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3