二次函數的圖象與性質 省賽獲獎

1.2二次函數的圖象與性質（1）湘教版九年級下1、二次函數的一般形式是怎樣的？y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)2、一次函數圖象是什么樣的？它的圖像畫法步驟，你還記得嗎，請列出來。一條直線．列表、描點、連線二次函數圖象是什么形狀呢？是否可以借鑒一次函數的圖像畫法呢？x…-3-2-10123…y……畫二次函數y=x2的圖象．（1）列表：9410419列表之前要考慮自變量取值范圍，自變量的選值要注意對稱性．由解析式可以看出x可以取任意實數，不妨以0為中心，均勻選取一些便于計算的x的值．y的值是非負數，自變量的取值互為相反數時，兩函數值相等．（3）連線：光滑的曲線順次連接（2）描點：以x取的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出相應的點點A

與點A′，點B

與點B′，…，它們有什么關系？

由此你能作出什么猜想?

觀察圖像，你還得到了二次函數y=x2

的什么特點？當x>0(在對稱軸的右側)時，y隨著x的增大而增大．簡稱為“右升”．

當x<0(在對稱軸的左側)時，y隨著x的增大而減?。喎Q為“左降”．

拋物線y=x2在x軸的上方(除頂點外)，頂點是它的最低點，開口向上，并且向上無限伸展；當x=0時，函數y的值最小，最小值是0．對稱軸與圖象的交點是___________；圖象的開口向_________；圖象在對稱軸左邊的部分，函數值隨自變量取值的增大而_________，簡稱“左降；當x=_______時，函數值最_____．（0，0）上減小0小我們已經正確畫出了y=x2的圖象，因此，現在可以從圖象看出的其他一些性質（除了上面已知的關于y軸對稱和“右升”外），還有哪些性質？新知講解一般地，當a>0時，y=ax2的圖象都具有上述性質．于是我們畫y=ax2

（a>0）的圖象時，可以先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分．在畫右邊部分時，只需“列表、描點、連線”三個步驟．例1

畫二次函數的圖象．列表02描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分．利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點，并用一條光滑曲線把y軸左邊的點和原點順次連接起來，這樣就得到了的圖象．探究：我們已經會畫的圖象，能不能從它得出二次函數的圖象呢？分析：把的圖象沿著x軸翻折并將圖象“復制”出來，就可以得到的圖象.畫二次函數的圖象．列表0-2描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分．利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點，并用一條光滑曲線把y軸左邊的點和原點順次連接起來．在的圖象上任取一點，它關于x軸的對稱點Q的坐標是．如圖所示，從點Q的坐標看出，點Q在的圖象上．由此可知，

的圖象與的圖象關于x軸對稱．因此只要把的圖象沿著x軸翻折并將圖象“復制”出來，就可得到的圖象．如圖的綠色曲線．觀察圖象，歸納與總結：一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是_____，頂點是________．當a>0時，拋物線的開口向______，頂點是拋物線的最_____點，在對稱軸的左側，y隨x的增大而_____，在對稱軸的右側，y隨x的增大而_____．當a<0時，拋物線的開口向___，頂點是拋物線的最_____點，在對稱軸的左側，y隨x的增大而______，在對稱軸的右側，y隨x的增大而________．y軸(0，0)上低減小增大下高增大減小例2畫二次函數的圖象．解列表：自變量x從原點的橫坐標0開始取值．0-1-4描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分．利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點，并用一條光滑曲線把y軸左邊的點和原點順次連接起來．觀察函數和圖象的開口大小，你能得出什么結論？a

要越大，拋物線的開口越?。^察函數和圖象的開口大小，你又能得出什么結論？|a|要越大，拋物線的開口越小．在棒球賽場上，棒球在空中沿著一條曲線運動，它與二次函數y=x2的圖象相像嗎？以棒球在空中經過的路線的最高點為原點建立直角坐標系，x軸的正方向水平向右，y軸的正方向豎直向上，則可以看出棒球在空中經過的路線是形如y=ax2（a<0）的圖象的一段．由此受到啟發(fā)，我們把二次函數y=ax2的圖象這樣的曲線叫作拋物線，簡稱為拋物線y=ax2．新知講解一般地，二次函數y=ax2的圖象關于y軸對稱，拋物線與它的對稱軸的交點（0，0）叫作拋物線y=ax2的頂點．

y軸(0,0)上1、直接運用性質填空：(0，0)下y軸鞏固提升2、如圖所示，已知二次函數y=ax2的圖象經過點A．（1）求a的值；（2）試判斷點（-4，12）是否在此函數的圖象上．解：（1）將點A（2，3）的坐標代入y=ax2得3=a·22，解得；（2）由（1）知拋物線對應的函數表達式為，把點（-4，12）的坐標代入得，左邊=12，右邊=．∵左邊=右邊，∴點（-4，12）在此函數的圖象上．3、已知函數y=mxm2-2m-1的圖象是開口向下的拋物線．（1）求m的值；（2）當x=3時，函數值是多少？當y=-6時，求x的值；（3）試說明當x<3時，函數值的變化情況，并求當x為何值時，函數有最小值，最小值是多少？解：（1）∵函數y=mxm2-2m-1的圖象是開口向上的拋物線，∴m2-2m-1=2，解得m1=3（舍去），m2=-1；（2）由（1）可知此二次函數為y=-x2，（3）當x<0時，y隨x的增大而增大，x=0時函數有最大值，最大值是0.當x=3時，y=-32=-9，當y=-6時，-6=-x2，解得；4、底面是邊長為x（cm）的正方形，高為0.5cm的長方體的體積為y（cm3）．（1）求y關于x的函數關系式，并畫出函數圖象；（2）根據圖象求出y=8cm3時，底面邊長x的值；（3）根據圖象，求出x為何值時，y≥4.5cm3．解：（1）（x>0），圖象如圖所示：（2）當y=8時，，解得x1=4，x2=-4（舍去）；（3）當x≥3時，y≥4.5．y=ax2（a≠0）a>0a<0圖象開口方向頂點坐標對稱軸增減性極值向上向下（0，0）（0，0）y軸y軸x=0時，y最小=0x=0時