第七章+非參數(shù)檢驗(yàn)

第七章非參數(shù)檢驗(yàn)

主講教師：潘玉榮系別：數(shù)學(xué)與物理系問題的提出在數(shù)據(jù)分析中，由于種種原因，人們往往無法對(duì)總體分布做簡單假定，但卻又希望能從樣本數(shù)據(jù)中獲得盡可能多的信息。非參數(shù)檢驗(yàn)正是一類基于這種考慮，在總體分布未知或知道甚少的情況下，利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體分布等進(jìn)行推斷的方法。

SPSS中非參數(shù)檢驗(yàn)方法主要涉及以下方面：單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)兩獨(dú)立樣本非參數(shù)檢驗(yàn)多獨(dú)立樣本參數(shù)檢驗(yàn)兩配對(duì)樣本非參數(shù)檢驗(yàn)多配對(duì)樣本非參數(shù)檢驗(yàn)§7.1單樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)得到一批樣本數(shù)據(jù)以后，往往希望了解樣本來自的總體分布是否與某個(gè)已知的理論分布相吻合?？梢岳L制樣本數(shù)據(jù)的直方圖、P-P圖、Q-Q圖等方法做粗略判斷，還可以利用非參數(shù)檢驗(yàn)的方法來實(shí)現(xiàn)。SPSS單樣本非參數(shù)檢驗(yàn)正是對(duì)單個(gè)總體的分布進(jìn)行推斷的方法，其中包括了卡方檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布檢驗(yàn)、K-S檢驗(yàn)以及變量值隨機(jī)檢驗(yàn)等方法。7.1.1卡方檢驗(yàn)的基本思想卡方檢驗(yàn)方法可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，推斷總體分布與期望分布是否存在顯著差異，是一種吻合性檢驗(yàn)，通常適合于對(duì)有多項(xiàng)分類值得總體分布的分析?？ǚ綑z驗(yàn)基本思想的理論依據(jù)是：如果從一個(gè)隨機(jī)變量X中隨機(jī)抽取若干個(gè)觀察樣本，這些觀察樣本落在X的k個(gè)互不相交的子集中的觀察頻數(shù)服從一個(gè)多項(xiàng)分布，這個(gè)多項(xiàng)分布當(dāng)k趨向無窮時(shí)近似服從卡方分布?？ǚ椒植嫉牧慵僭O(shè)：樣本來自的總體分布與期望分布或某一理論分布無顯著差異?？ǚ綑z驗(yàn)的應(yīng)用案例為了研究上述心臟病人猝死人數(shù)與日期的關(guān)系，收集到了168個(gè)觀察數(shù)據(jù)，其中星期一至星期日的死亡人數(shù)分別一次為55、23、18、11、26、20、15，并用數(shù)字1～7表示星期。現(xiàn)在利用這批樣本數(shù)據(jù)推斷心臟病人猝死人數(shù)與日期的關(guān)系是否為2.8：1:1:1:1:1:1卡方分布的零假設(shè)：樣本來自的總體分布與期望分布或某一理論分布無顯著差異?！傮w分布卡方檢驗(yàn)的基本操作操作步驟：（1）選擇菜單Analyze→NonparametricTests→Chi-Square,于是出現(xiàn)一個(gè)窗口（2）選定待檢驗(yàn)的變量到TestVariableList框中。（3）在ExpectedRange框選項(xiàng)中確定參與分析的觀測值得范圍，其中Getfromdata表示所有觀察數(shù)據(jù)都參與分析；Usespecifiedrange只有在取值范圍內(nèi)的觀察數(shù)據(jù)才參與分析。

(4)在ExpectedValues框中給出各個(gè)pi值。其中Allcategoriesequal表示所有自己的pi都相同，即期望分布為均勻分布，Values框后可依次輸入pi值?？ǚ綑z驗(yàn)的應(yīng)用案例分析死亡日期

觀察數(shù) 期望數(shù) 殘差 1.00 55 53.5 1.5 2.00 23 19.1 3.9 3.00 18 19.1-1.1 4.00 11 19.1 -8.1 5.00 26 19.1 6.9 6.00 20 19.1 0.9 7.00 15 19.1 -4.1 總數(shù) 168

心臟病猝死卡方檢驗(yàn)結(jié)果

死亡日期 卡方 7.757 df 6 漸近顯著性sig.0.256

從上述表中可以認(rèn)為樣本來自的分布與指定的理論分布無顯著差異，即心臟病人猝死人數(shù)與日期的關(guān)系是否為2.8：1:1:1:1:1:17.1.2二項(xiàng)分布檢驗(yàn)的基本思想二項(xiàng)分布檢驗(yàn)正是要通過樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)樣本來自的總體是否服從指定概率值p的二項(xiàng)分布，其零假設(shè)是樣本來自總體與指定的二項(xiàng)分布無顯著差異。若是小樣本中采用精確檢驗(yàn)方法，計(jì)算n次試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)小于等于x次的概率，即：

若是大樣本下，看看采用近似檢驗(yàn)，采用Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

當(dāng)小于時(shí)加0.5，當(dāng)大于時(shí)減0.5，

SPSS自動(dòng)計(jì)算上述精確概率和近似概率值。如果概率值小于顯著水平，則拒絕零假設(shè)，認(rèn)為樣本來自的總體與制定的二項(xiàng)分布有顯著差異；否則無差異。二項(xiàng)分布檢驗(yàn)的基本操作（1）選擇菜單：分析→非參數(shù)檢驗(yàn)→二項(xiàng)式(Binomial)（2）選擇待定檢驗(yàn)的變量到[檢驗(yàn)變量列表]框中（3）在[定義二分法]框中制定如何分類。如果檢驗(yàn)變量為二值變量，則選[從數(shù)據(jù)中獲取]選項(xiàng)，且數(shù)據(jù)編輯窗口中的第一條數(shù)據(jù)所在類默認(rèn)為“成功”；如果檢驗(yàn)變量不是二值變量，可在【割點(diǎn)】框后輸入具體數(shù)值，小于等于該值得觀測值為成功。（4）在【檢驗(yàn)比例】框中輸入二項(xiàng)分布的檢驗(yàn)概率值。至此，SPSS將自動(dòng)檢驗(yàn)成功的概率是否與輸入的檢驗(yàn)概率值p存在顯著差異。二項(xiàng)分布檢驗(yàn)的應(yīng)用案例為了驗(yàn)證某批合格品率是否不低于90%，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取23個(gè)樣品進(jìn)行檢測并得到檢測結(jié)果數(shù)據(jù)。7.1.3單樣本K-S檢驗(yàn)的基本思想

K-S檢驗(yàn)?zāi)軌蚶脴颖緮?shù)據(jù)推斷樣本來自的總體是否與某一理論分布有顯著差異，是一種擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)方法，適用于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。在SPSS中的理論分布主要包括正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布和泊松分布。SPSS單樣本K-S檢驗(yàn)的基本思路：（1）在零假設(shè)前提下，計(jì)算各樣本觀測值在理論分布中出現(xiàn)的理論累計(jì)概率值F(x).(2)計(jì)算各樣本觀測值的實(shí)際累計(jì)概率值S(x)，計(jì)算實(shí)際累計(jì)概率值與理論概率值的差D(x).(3)計(jì)算差值序列中的最大絕對(duì)值，即D=max(|S(Xi)-F(Xi)|).通常由于實(shí)際累計(jì)概率為離散值，因此D修正為D=max（max(|S(Xi)-F(Xi)|)，max(|S(Xi-1)-F(Xi)|)

).D統(tǒng)計(jì)量也稱為K-S統(tǒng)計(jì)量在SPSS中，無論是大樣本還是小樣本，只給出大樣本下的和對(duì)應(yīng)的概率p值.單樣本K-S檢驗(yàn)的基本操作（1）選擇菜單Analyze→NonparametricTests→1-sampleK-S（2）選定待檢驗(yàn)的變量到TestVariableList框中。(3)在TestDstribution框中選擇理論分布，其中【Normal】為正態(tài)分布，【Uniform】為均勻分布，Poisson為泊松分布，Exponential為指數(shù)分布。至此，SPSS將自動(dòng)計(jì)算K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和對(duì)應(yīng)的概率p值，并將結(jié)果輸出到輸出窗口中。單樣本K-S檢驗(yàn)的應(yīng)用案例案例1：分析21名周歲兒童身高的總體與正態(tài)分布有無顯著差異。案例2:根據(jù)居民存款數(shù)據(jù)，分析居民一次存款金額是否服從正態(tài)分布?！?.2兩獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)含義：由樣本數(shù)據(jù)推斷兩獨(dú)立總體的分布是否存在顯著差異(或兩樣本是否來自同一總體)基本假設(shè):H0:兩總體分布無顯著差異(兩樣本來自同一總體)例如：某工廠用甲乙兩種不同的工藝生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。如果希望檢驗(yàn)兩種工藝下產(chǎn)品的使用壽命是否存在顯著差異，可從兩種工藝生產(chǎn)出的產(chǎn)品中隨機(jī)抽樣，得到各自的使用壽命數(shù)據(jù)：工藝使用壽命樣本值甲工藝675，682,692,679,669,661,693乙工藝662,649,672,663,650,651,646,6527.2.1兩獨(dú)立樣本的K-S檢驗(yàn)將兩樣本混合并按升序排序分別計(jì)算兩個(gè)樣本秩的累計(jì)頻數(shù)和累計(jì)頻率兩個(gè)累計(jì)頻率相減.如果差距較小,則認(rèn)為兩總體分布無顯著差異應(yīng)保證有較大的樣本數(shù)

混合排序后的樣本數(shù)據(jù)組標(biāo)記甲工藝?yán)塾?jì)頻數(shù)乙工藝?yán)塾?jì)頻數(shù)甲工藝?yán)塾?jì)頻率乙工藝?yán)塾?jì)頻率累計(jì)頻率差64620100.1250.12564920200.250.2565020300.3750.37565120400.50.565220500.6250.6256611150.1430.6250.4826622160.1430.750.6076632170.1430.8750.7326691270.2860.8750.5896722280.28610.7146751380.42910.5716791480.57110.4296821580.71410.2866921680.85710.1436931781107.2.2兩獨(dú)立樣本非參數(shù)檢驗(yàn)的基本操作（1）擇菜單Analyze→NonparametricTests→2-IndependentSample（2）選定待檢驗(yàn)的變量到TestVariableList框中。(3)指定存放組標(biāo)志的變量到【groupingvariable】框，并單擊【definegroups】按鈕給出兩個(gè)組標(biāo)志值。(4)在TestType框中選中哪種檢驗(yàn)方法。至此，SPSS將根據(jù)用戶的選擇進(jìn)行檢驗(yàn)，并將結(jié)果輸出到輸出窗口中。7.2.3兩獨(dú)立樣本非參數(shù)檢驗(yàn)的應(yīng)用案例

由上表可知，甲乙兩種工藝下產(chǎn)品使用壽命的累計(jì)概率的絕對(duì)差為0.732.

的觀測值為1.415，概率p為0.037，小于顯著水平0.05，應(yīng)拒絕零假設(shè)，認(rèn)為甲乙兩種工藝下產(chǎn)品壽命的分布存在顯著差異。

案例2:利用第2章居民儲(chǔ)蓄調(diào)查存款數(shù)據(jù)，對(duì)城鎮(zhèn)和農(nóng)村儲(chǔ)戶存款金額的分布進(jìn)行比較分析。（學(xué)生練習(xí)）§7.3多獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)通過分析多組樣本數(shù)據(jù)推斷樣本來自的多個(gè)總體的位數(shù)或分布是否存在顯著差異。多組獨(dú)立樣本是指按獨(dú)立抽樣方式獲得的多組樣本?；炯僭O(shè)H0:多總體分布無顯著差異問題：希望對(duì)北京、上海、成都和廣州四個(gè)城市的周歲兒童的身高進(jìn)行比較分析。采用獨(dú)立抽樣方式獲得四組獨(dú)立樣本。城市身高樣本數(shù)據(jù)北京（1）79,75,78,76,72上海（2）72,71,74,74,73成都（3）76,78,78,77,75廣州（4）70,72,71,71,697.3.1中位數(shù)檢驗(yàn)中位數(shù)檢驗(yàn)通過對(duì)多組獨(dú)立樣本的分析，檢驗(yàn)它們來自的總體的中位數(shù)是否存在顯著差異。零假設(shè)：多個(gè)獨(dú)立樣本來自的多個(gè)總體的中位數(shù)無顯著差異?；舅枷耄喝绻鄠€(gè)的中位數(shù)無顯著差異，或者說多個(gè)總體有共同的中位數(shù)，那么這個(gè)共同的中位數(shù)應(yīng)在各樣本組中均處在中間位置上。中位數(shù)檢驗(yàn)基本步驟將多組樣本混合并按升序排序，并求出混合樣本的中位數(shù)。分別計(jì)算各組樣本中大于和小于上述中位數(shù)的樣本個(gè)數(shù)。利用卡方檢驗(yàn)方法分析各樣本的來自總體對(duì)于上述中位數(shù)的分布是否一致。得到一個(gè)列聯(lián)表，并構(gòu)造卡方