第3章Poisson排隊(duì)系統(tǒng)解析與模擬方法

第3章Poisson排隊(duì)系統(tǒng)解析與模擬方法3.1M/M/1/1古典解析法3.2M/M/1/1近代解析法3.3JavaModellingTools模擬法3.1M/M/1/1古典解析法

本小節(jié)分析M/M/1/1排隊(duì)系統(tǒng)，先對(duì)該系統(tǒng)的瞬態(tài)特性進(jìn)行推導(dǎo)，然后由瞬態(tài)特性得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，采用的方法包括微分方程和概率論。

1.瞬態(tài)特性分析

遵從第2章的符號(hào)設(shè)定，設(shè)N(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)(即總顧客數(shù))。由于M/M/1/1排隊(duì)系統(tǒng)的系統(tǒng)容量為1，因而隨機(jī)過(guò)程{N(t)，t≥0}的取值只能是0或1，計(jì)作I={0，1}。令系統(tǒng)在時(shí)刻t處于狀態(tài)i，i∈I，其概率記為

記狀態(tài)i經(jīng)過(guò)時(shí)間Dt變化為時(shí)刻t+Dt的狀態(tài)j，j∈I，其轉(zhuǎn)移概率為則由全概率公式知

(3.1)

即系統(tǒng)在時(shí)刻t+Dt處于狀態(tài)0時(shí)，可能有兩種情況：(1)系統(tǒng)在時(shí)刻t處于狀態(tài)0，經(jīng)過(guò)時(shí)間Dt后依然處于狀態(tài)0；(2)系統(tǒng)在時(shí)刻t處于狀態(tài)1，經(jīng)過(guò)時(shí)間Dt后變化為狀態(tài)0。下面來(lái)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率P00(t，t+Dt)。由于在N(t)=0的條件下，N(t+Dt)=0這一事件可分解為下述兩個(gè)互斥事件之和：

(1)在時(shí)間間隔(t，t+Dt)內(nèi)沒有顧客到達(dá)；

(2)在時(shí)間間隔(t，t+Dt)內(nèi)，至少有一名顧客到達(dá)并且進(jìn)入系統(tǒng)(M(t，t+Dt)>0)，與此同時(shí)，系統(tǒng)至少服務(wù)完一個(gè)顧客(V(t，t+Dt)>0)，且到達(dá)并進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)與被服務(wù)完的顧客數(shù)相同，從而有N(t+Dt)=0。由于輸入過(guò)程為Poisson流，由前面章節(jié)的知識(shí)容易得到情況(1)的概率為

P1=P{M(t，t+Dt)=0}=e－lDt=1－lDt+o(Dt)

而情況(2)的概率可從其描述得到

P2=P{M(t，t+Dt)>0，V(t，t+Dt)>0，

N(t+Dt)=0|N(t)=0}并且根據(jù)M/M/1/1排隊(duì)系統(tǒng)的五個(gè)特性，該概率可分解為如下3個(gè)概率的乘積，并計(jì)算如下

于是有對(duì)于轉(zhuǎn)移概率P10(t，t+Dt)，可采用類似的方法計(jì)算?？紤]到在N(t)=1的條件下，N(t+Dt)=0這一事件可分解為下述兩個(gè)互斥事件之和：

(1)在時(shí)間間隔(t，t+Dt)內(nèi)沒有顧客到達(dá)，但是卻服務(wù)完一個(gè)顧客；

(2)在時(shí)間間隔(t，t+Dt)內(nèi)至少有一名顧客到達(dá)并且進(jìn)入系統(tǒng)(M(t，t+Dt)>0)，與此同時(shí)，系統(tǒng)至少服務(wù)完兩個(gè)顧客(V(t，t+Dt)=2)，且到達(dá)并進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)比被服務(wù)完的顧客數(shù)多一人，從而有N(t+Dt)=0。由于輸入過(guò)程為Poisson流，服務(wù)過(guò)程服從負(fù)指數(shù)分布，由第2章的知識(shí)容易得到情況(1)的概率為而情況(2)的概率可求得于是有

則公式(3.1)可計(jì)算如下從而有

(3.2)

類似地有整理得

(3.3)

如果該系統(tǒng)初始時(shí)刻空閑(即在0時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)的人數(shù)恒為0，合理假設(shè))，則有

(3.4)現(xiàn)在聯(lián)立式(3.2)、式(3.3)和式(3.4)，容易求得瞬態(tài)概率

t時(shí)刻系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)(即總顧客數(shù))L(t)為注意到該系統(tǒng)的容量為1，顧客如果能夠進(jìn)入系統(tǒng)，必可立即接受服務(wù)。因此，對(duì)任意時(shí)刻t，系統(tǒng)的平均等

待隊(duì)長(zhǎng)(即排隊(duì)等候人數(shù))Lw(t)=0，而每個(gè)進(jìn)入系統(tǒng)的顧

客平均等待時(shí)間Tw(t)=0。至于t時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的每一個(gè)顧客，其平均逗留時(shí)間為

2.穩(wěn)態(tài)特性分析

在第2章中已經(jīng)指出當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間后進(jìn)入平穩(wěn)狀態(tài)(或統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)階段)時(shí)的狀態(tài)概率以及系統(tǒng)的其它數(shù)量指標(biāo)，下面列舉了M/M/1/1系統(tǒng)的各個(gè)數(shù)量指標(biāo)：并且系統(tǒng)的有效到達(dá)率

此處P0可看做系統(tǒng)空閑的概率，l為單位時(shí)間到達(dá)系統(tǒng)的平均顧客數(shù)，l有效可看做單位時(shí)間到達(dá)并進(jìn)入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)，通常稱為有效到達(dá)率。3.2M/M/1/1近代解析法

1.把排隊(duì)過(guò)程看做生滅過(guò)程

依然遵從第2章的符號(hào)設(shè)定，設(shè)N(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)(總顧客數(shù))。系統(tǒng)容量為1，即單個(gè)服務(wù)窗無(wú)排隊(duì)，

故N(t)只能有兩種可能狀態(tài)：0(服務(wù)窗空閑)以及1(服務(wù)窗忙)，并且系統(tǒng)只能在這兩個(gè)狀態(tài)之間變化，要么從0增加到1(生)，要么從1減少到0(滅)，如圖3.1所示。圖3.1M/M/1/1排隊(duì)模型的狀態(tài)流圖因?yàn)橄到y(tǒng)僅有兩個(gè)互通的狀態(tài)，故必存在平穩(wěn)分布，即系統(tǒng)一定能夠到達(dá)統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)?？紤]系統(tǒng)到達(dá)統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時(shí)，每個(gè)狀態(tài)的流入量等于流出量，因此可以列出統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下的流量方程，如表3.1所示。其中，P0為系統(tǒng)處于狀態(tài)0的概率，P1為系統(tǒng)處于狀態(tài)1的概率，且有

P0+P1=1

該式也稱為概率歸一化條件，即系統(tǒng)處于每個(gè)狀態(tài)的概率之和為1。

2.由生滅過(guò)程求概率分布

事實(shí)上，由表3.1可以得到P1=(l/m)P0，將其代入歸一化條件，可以求得M/M/1/1排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)分布，如表3.2所示。

3.由狀態(tài)分布求系統(tǒng)中平均顧客數(shù)量

表3.2所描述的就是在統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)內(nèi)有0個(gè)人的概率與系統(tǒng)內(nèi)有1個(gè)人的概率，顯然系統(tǒng)中平均顧客數(shù)量即為其數(shù)學(xué)期望——均值，因此有

這與上一節(jié)求得的結(jié)果是一致的。注意到當(dāng)系統(tǒng)中已經(jīng)有一個(gè)顧客的時(shí)候，新來(lái)的顧客只能離去，因此P1就是系統(tǒng)的損失概率P損，即

單位時(shí)間內(nèi)真正進(jìn)入系統(tǒng)的顧客速率為單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)但是因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)有人而離開的速率為

顯然有

從而3.3JavaModellingTools模擬法

1.JMT安裝與運(yùn)行

安裝完畢后運(yùn)行JMT，出現(xiàn)如圖3.2所示界面，其中包括JMT的簡(jiǎn)單說(shuō)明，以及六個(gè)模擬工具的名稱、相互關(guān)系與選擇界面。圖3.2JMT模擬工具選擇界面

2.采用JSIMgraph模擬M/M/1/1

首先進(jìn)入界面后，在菜單欄中的文件下拉菜單中點(diǎn)擊創(chuàng)建一個(gè)新項(xiàng)目。此時(shí)界面會(huì)初始化?，F(xiàn)在我們建立一個(gè)M/M/1/1的排隊(duì)模型，過(guò)程如下：

(1)使用工具欄第二排提供的功能。選擇Source、Queue、Sink，并用連線將它們連起來(lái)。這樣我們的模型就初步畫好了，如圖3.3所示。圖3.3建立M/M/1/1示意圖(2)進(jìn)行參數(shù)設(shè)置。我們具體在工具欄第一行使用到的功能有，類特性設(shè)定、定義分析變量、定義并調(diào)整分析參量、What-if設(shè)置，如圖3.4所示位置。圖3.4參數(shù)設(shè)定按鈕位置(3)查看Class特性編輯界面。打開圖標(biāo)為Class的按鈕，也就是類特性設(shè)定功能按鈕，可以看到其編輯界面如圖3.5所示。圖3.5C