根軌跡方程閉環(huán)系統(tǒng)特征方程

4-1根軌跡法的基本概念

根軌跡的定義根軌跡與系統(tǒng)性能閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系根軌跡方程本節(jié)內(nèi)容第一頁1第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二頁，共30頁。1、根軌跡的定義開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮時,閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡.注意：當開環(huán)零、極點相消時，閉環(huán)特征方程的根閉環(huán)系統(tǒng)的極點優(yōu)點：避免高階方程求根；開環(huán)零、極點如何變化才能滿足系統(tǒng)性能的要求。根軌跡盧p65第二頁2第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第三頁，共30頁。1、根軌跡的定義特征方程式為閉環(huán)傳遞函數(shù)為胡p137第三頁3第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第四頁，共30頁。2、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性－k0

穩(wěn)態(tài)性能－極點位置容許范圍；根軌跡增益動態(tài)性能－阻尼狀態(tài)盧p66;胡p138K=0開環(huán)極點

閉環(huán)極點第四頁4第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第五頁，共30頁。3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系閉環(huán)傳遞函數(shù)為：前向通路增益前向通路根軌跡增益反饋通路根軌跡增益盧p67;胡p139第五頁5第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第六頁，共30頁。3、閉環(huán)與開環(huán)零、極點的關(guān)系系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)盧p67;胡p1391）閉環(huán)根軌跡增益＝K*＝KG*KH*2）閉環(huán)零點＝{zi,pj}3）閉環(huán)極點＝{zj,pi,K*}結(jié)論n=q+h,m=f+l開環(huán)根軌跡增益第六頁6第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第七頁，共30頁。4、根軌跡方程閉環(huán)系統(tǒng)特征方程:當系統(tǒng)有m個開環(huán)零點和n個開環(huán)極點時,上式等價為根軌跡方程相角條件模值條件盧p68;胡p140充要條件第七頁7第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第八頁，共30頁。4-2根軌跡繪制的基本法則

根軌跡繪制的基本法則閉環(huán)極點的確定本節(jié)內(nèi)容：變化參數(shù)為根軌跡增益相角遵循條件180度根軌跡：第八頁8第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第九頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則1根軌跡的起點和終點根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點.無限零點、無限極點根軌跡起點根軌跡終點,其余兩個終點為無窮遠根軌跡起點,第三條軌跡起于無窮遠根軌跡終點第九頁9第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)=max(m,n)m開環(huán)有限零點數(shù)，n開環(huán)有限極點數(shù)根軌跡分支是連續(xù)的且對稱于實軸第十頁10第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十一頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則3根軌跡的漸近線n>m時,有n-m條漸近線漸近線與實軸交角：漸近線與實軸交點：0n-m=1:180°=2:±90°=3:±60°,180°=4:±45°,±135°第十一頁11第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十二頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1胡p143根軌跡起點：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j終點：z1=-1、無窮遠處根軌跡有max{m=4,n=1}=4條分支,且對稱于實軸.第十二頁12第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十三頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題1有n-m=3條漸近線交角:交點:±60°,180°第十三頁13第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十四頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則4根軌跡在實軸上的分布實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零點和極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。例:第十四頁14第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十五頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－1根軌跡的分離點與分離角根軌跡的分離點：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(1)何時存在分離點?(2)如何解分離點方程?試探法、重根法分離角輻角條件逼近法－試探法分離點的坐標d滿足下列方程：重根法第十五頁15第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十六頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則5－2根軌跡的會合點根軌跡的會合點：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相會的點會合點與求分離點方法相同第十六頁16第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十七頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2開環(huán)極點：0,-2,-3開環(huán)零點為-1n=3,m=1漸近線與實軸交角：+900,-900交點坐標為：分離點坐標d滿足:oj-3-21-1-103條根軌跡分支n-m=2條漸近線.分離角第十七頁17第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十八頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題2重根法見盧p76例題4－3第十八頁18第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第十九頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題3單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解:G(s)的零、極點的標準形式：開環(huán)極點：-1-j、-1+j開環(huán)零點：-2實軸上的根軌跡區(qū)為[-2,-∞)一個分離點d：或(舍去)j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××規(guī)律:兩個開環(huán)實數(shù)或復(fù)數(shù)極點,一個開環(huán)零點(不位于兩實極點之間)則……第十九頁19第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二十頁，共30頁。啟示由兩個極點（實數(shù)或復(fù)數(shù)）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要零點沒有位于兩實數(shù)極點之間，當K*從零到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點的距離為半徑的一個圓，或其一部分。j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××4－2－1根軌跡繪制的基本法則第二十頁20第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二十一頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終止角起始角滿足:起始角:根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角.終止角

:根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角.極點P1處的起始角為:例題4:第二十一頁21第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二十二頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則6根軌跡的起始角和終止角例題4:零點z1處的終止角為根軌跡終止角滿足:第二十二頁22第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二十三頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則7根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交的交點處的K*和

值的計算：用勞思判據(jù)確定令其閉環(huán)特征方程中的s=j

第二十三頁23第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二十四頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題54條漸近線分離點d:確定起始角第二十四頁24第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二十五頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則例題5系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為應(yīng)用勞思判據(jù)有令s1行的首項為零,得K*=8.16代入K*=8.16并令s=j

解出交點坐標

=±1.1輔助方程確定根軌跡與虛軸交點方法第二十五頁25第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第二十六頁，共30頁。4－2－1根軌跡繪制的基本法則法則8根之和例題6當n-m≥2,開環(huán)極點為p1,2=-1±j,p3=-3開環(huán)零點為z1=2系統(tǒng)有3條根軌跡分支2條漸近線起始角：j第二十六頁26第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第