現(xiàn)代通信原理課件

現(xiàn)代通信原理ModernCommunicationPrinciples10/14/20231信息與通信工程系現(xiàn)代通信原理ModernCommunicationPr第三章隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析10/14/20232信息與通信工程系第三章10/8/20232信息與通信工程本章安排隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系正態(tài)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲白色隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)----窄帶噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特性10/14/20233信息與通信工程系本章安排隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析隨機(jī)過(guò)程的基本概念10/8/203.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)信號(hào)：具有隨機(jī)特性（某個(gè)參數(shù)或幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或不能完全預(yù)知）的信號(hào)。確定信號(hào)是隨機(jī)信號(hào)的一種特定形式。隨機(jī)信號(hào)種類：包含信息的信號(hào)、各種干擾（人為干擾、天電干擾）、噪聲（熱噪聲、散彈噪聲）隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析方法：統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)過(guò)程理論。10/14/20234信息與通信工程系3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)信號(hào)：具有隨機(jī)特性（某個(gè)參數(shù)3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念

簡(jiǎn)單地說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程是一種取值隨機(jī)變化的時(shí)間函數(shù)，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)來(lái)表示。隨機(jī)過(guò)程兩層含意：“隨機(jī)”（指取值不確定，僅有取某個(gè)值的可能性）；“過(guò)程”（為時(shí)間的函數(shù)）。隨機(jī)過(guò)程是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量的集合，在任意時(shí)刻考察隨機(jī)過(guò)程的值是一個(gè)隨機(jī)變量。

隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)由全部可能的實(shí)現(xiàn)（或樣本函數(shù)）構(gòu)成的集合，每個(gè)實(shí)現(xiàn)都是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不確定的。用或表示。10/14/20235信息與通信工程系3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念簡(jiǎn)單地說(shuō)，隨機(jī)3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念

典型隨機(jī)過(guò)程---接收機(jī)噪聲

數(shù)學(xué)上可用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)和樣本空間的概念定義隨機(jī)過(guò)程：設(shè)進(jìn)行某一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E，是它的樣本空間。如果對(duì)每一個(gè)樣本來(lái)說(shuō)，總可以按某一規(guī)則確定一個(gè)時(shí)間函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，那么，對(duì)所有的樣本，就得到一簇時(shí)間函數(shù)，并稱此簇時(shí)間函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程，其中每個(gè)時(shí)間函數(shù)稱為該隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)。10/14/20236信息與通信工程系3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念典型隨機(jī)過(guò)程---接收機(jī)噪聲3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念

典型隨機(jī)過(guò)程---噪聲10/14/20237信息與通信工程系3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念典型隨機(jī)過(guò)程---噪聲10/8/3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念

歸納起來(lái)，隨機(jī)過(guò)程具有如下特性：（1）取值的隨機(jī)性；（2）樣本的確定性。舉例：是一個(gè)隨機(jī)變量（在t1時(shí)刻觀察隨機(jī)過(guò)程的值）隨機(jī)過(guò)程的某一個(gè)樣本函數(shù)為時(shí)間的確定函數(shù)。為隨機(jī)過(guò)程。其中，A為常數(shù)，為內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。10/14/20238信息與通信工程系3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念歸納起來(lái)，隨機(jī)過(guò)程具有如下特性：3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念

（1）取值的隨機(jī)性t1=0時(shí)，（2）樣本的確定性是一個(gè)隨機(jī)變量;為時(shí)間的確定函數(shù)。時(shí)，10/14/20239信息與通信工程系3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念（1）取值的隨機(jī)性t1=0時(shí)3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念

隨機(jī)過(guò)程包含有空間與時(shí)間雙重概念。它一方面是各次實(shí)現(xiàn)的集合（并列的空間概念），另一方面又是時(shí)間的函數(shù)（時(shí)間的概念）。不過(guò)實(shí)踐中，不可能得到空間上并列的各樣本函數(shù)，而只能得到時(shí)間很長(zhǎng)的一次實(shí)現(xiàn)。因此，可從實(shí)踐中容易獲得的一次實(shí)現(xiàn)來(lái)定義隨機(jī)過(guò)程，如圖所示。隨機(jī)過(guò)程的實(shí)際定義：10/14/202310信息與通信工程系3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程包含有空間與時(shí)間3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念

圖中信號(hào)是隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，它是隨機(jī)取值的時(shí)間函數(shù)，在已經(jīng)過(guò)去的時(shí)間上取值已經(jīng)確定，隨機(jī)性消失；在未來(lái)的時(shí)間點(diǎn)上，取值隨機(jī)，是一個(gè)隨機(jī)變量。該隨機(jī)變量取值的分布規(guī)律就是隨機(jī)過(guò)程在該時(shí)間上的分布規(guī)律。10/14/202311信息與通信工程系3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念圖中信號(hào)是隨機(jī)過(guò)程3.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述

3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征10/14/202312信息與通信工程系3.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述33.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

對(duì)隨機(jī)變量的性質(zhì)：

（1）為不減函數(shù)

（2）

a.概率分布函數(shù)

b.概率密度函數(shù)10/14/202313信息與通信工程系3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量

（2）；正態(tài)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的性質(zhì)：（1）為非負(fù)函數(shù)；（3）時(shí)，；

（4）若在處連續(xù)，則。10/14/202314信息與通信工程系（2）

1.一維概率分布函數(shù)2.一維概率密度函數(shù)3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)對(duì)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，為隨機(jī)變量。

如果存在，則稱為隨機(jī)的一維概率密度函數(shù)。10/14/202315信息與通信工程系1.一維概率分布函數(shù)2.一維概率密度函

一維概率分布函數(shù)及一維概率密度函數(shù)描述了隨機(jī)過(guò)程在固定時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性。解：（其中X

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量）故有,隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)為：3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

舉例：求隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)。

時(shí)，為服從正態(tài)分布隨機(jī)變量，

其均值為零，方差為。10/14/202316信息與通信工程系一維概率分布函數(shù)及一維概率密

3.二維概率分布函數(shù)

4.二維概率密度函數(shù)

二維概率分布函數(shù)及二維概率密度函數(shù)描述了隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性。3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

如果存在，則稱為隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度函數(shù)。10/14/202317信息與通信工程系3.二維概率分布函數(shù)4.二維

5.n維概率分布函數(shù)

6.

n維概率密度函數(shù)3.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)存在，則稱為隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度函數(shù)。如果10/14/202318信息與通信工程系5.n維概率分布函數(shù)6.n維概率密度函數(shù)

對(duì)隨機(jī)變量a.

均值（數(shù)學(xué)期望、一階原點(diǎn)矩）b.

方差（二階原點(diǎn)矩）c.協(xié)方差（對(duì)隨機(jī)變量X、Y）3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

10/14/202319信息與通信工程系對(duì)隨機(jī)變量a.均值（數(shù)學(xué)期望、一階原點(diǎn)矩）b對(duì)隨機(jī)過(guò)程3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

1.隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）時(shí)，為隨機(jī)變量。上式中，t取任意值時(shí)，得到隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望。

為X(t)在t

時(shí)刻的一維概率密度函數(shù)。數(shù)學(xué)期望X(t

)在t

時(shí)刻的隨機(jī)變量的均值,它表示了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻上的隨機(jī)變量的概率分布中心，由一維概率密度函數(shù)所決定。10/14/202320信息與通信工程系對(duì)隨機(jī)過(guò)程3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征1.隨機(jī)過(guò)程的數(shù)

3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

2.隨機(jī)過(guò)程的方差時(shí)，為隨機(jī)變量。上式中，t

取任意值時(shí)，得到隨機(jī)過(guò)程的方差。為X(t)在

t時(shí)刻的一維概率密度函數(shù)。

方差表示了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻上的隨機(jī)變量對(duì)均值的偏離程度。由一維概率密度函數(shù)所決定。10/14/202321信息與通信工程系3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征2.隨機(jī)過(guò)

3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

J進(jìn)一步分析，當(dāng)時(shí)，有（平均功率）

隨機(jī)過(guò)程的均值和方差的含義10/14/202322信息與通信工程系3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征J進(jìn)一步分析，

3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

3.隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)

均值和方差，僅描述了隨機(jī)過(guò)程在孤立時(shí)刻上的統(tǒng)計(jì)特性，它們不能反映出過(guò)程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間的內(nèi)在聯(lián)系，如圖所示。

圖中X(t))和Y(t)具有相同的均值和方差，但統(tǒng)計(jì)特性明顯不同。X(t)變化快，Y(t)變化慢，即過(guò)程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間的內(nèi)在聯(lián)系不同或者說(shuō)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)不同。

X(t)變化快，表明過(guò)程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間波及小，互相依賴弱，即自相關(guān)性弱。而Y(t)變化慢，表明隨機(jī)過(guò)程內(nèi)部任意兩個(gè)時(shí)刻之間波及大，互相依賴強(qiáng)，即自相關(guān)性強(qiáng)。10/14/202323信息與通信工程系3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征3.隨機(jī)過(guò)程

3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

相關(guān)：指隨機(jī)過(guò)程在某時(shí)刻的取值對(duì)下一時(shí)刻的取值的影響。影響越大，相關(guān)性越強(qiáng)，反之，相關(guān)性越弱。隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)10/14/202324信息與通信工程系3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征相關(guān)：指隨機(jī)

3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

與的關(guān)系隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)常記為以下形式：其中，t為考察的起始時(shí)刻，為考察的時(shí)間間隔。

綜上所述，隨機(jī)過(guò)程可以用均值、方差及自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征來(lái)描述。在實(shí)際系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)過(guò)程，其數(shù)字特征的表達(dá)往往十分簡(jiǎn)潔，因此，用數(shù)字特征來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程是行之有效的方法。10/14/202325信息與通信工程系3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

例3.1設(shè)隨機(jī)過(guò)程為，試求隨機(jī)過(guò)程的均值、方差及自相關(guān)函數(shù)。式中，是一個(gè)隨機(jī)變量，它在范圍內(nèi)服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為

10/14/202326信息與通信工程系3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征例3.1設(shè)隨機(jī)過(guò)程為

3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

解：均值為方差為10/14/202327信息與通信工程系3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征解：均值為方差自相關(guān)函數(shù)為

3.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

10/14/202328信息與通信工程系自相關(guān)函數(shù)為3.2.2隨機(jī)3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

隨機(jī)過(guò)程類型：獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程馬爾可夫（Markov）過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程等其中平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是應(yīng)用廣泛的一類隨機(jī)過(guò)程。10/14/202329信息與通信工程系3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程

1.定義3.3.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義及其含義

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程是指過(guò)程的任意維概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。即滿足實(shí)際中，判斷隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)，通常不是去找過(guò)程的高維分布，而是通過(guò)產(chǎn)生的環(huán)境條件來(lái)判斷。如環(huán)境條件不隨時(shí)間的變化而改變，則該過(guò)程就認(rèn)為是平穩(wěn)的。一般地說(shuō)，通信系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。2.含義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的變化而改變。10/14/202330信息與通信工程系1.定義3.3.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

1.一維概率密度函數(shù)3.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維及二維概率密度函數(shù)上式中，令，有

由上式可見(jiàn)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)與考察時(shí)刻無(wú)關(guān)。即平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻服從相同的概率分布。10/14/202331信息與通信工程系1.一維概率密度函數(shù)3.3.2

2.二維概率密度函數(shù)上式中，令，有

式中，，為兩個(gè)考察時(shí)刻之間的時(shí)間間隔。

由上可見(jiàn)，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，而僅與時(shí)間間隔有關(guān)，是的函數(shù)。3.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維及二維概率密度函數(shù)10/14/202332信息與通信工程系2.二維概率密度函數(shù)上式中，令

3.3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征1.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（均值）2.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差

（常數(shù)）

（常數(shù)）10/14/202333信息與通信工程系3.3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征1.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

3.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)式中，為考察隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間間隔。

3.3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征

由上式可知，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，是的函數(shù)，而與考察時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。10/14/202334信息與通信工程系3.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)式中，

3.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)（一）

（1）是的偶函數(shù)，即（2）自相關(guān)函數(shù)具有遞減特性。且當(dāng)時(shí)，有最大值。證明：由于，令，有對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，故，有10/14/202335信息與通信工程系3.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)（二）

（3），即為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的平均功率。（4），即為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的直流功率。

由于證明：

，與之間的相關(guān)性消失，即它們互相獨(dú)立。

所以

（5），即為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差。由方差表示式，有：3.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)10/14/202336信息與通信工程系平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)（二）（

隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無(wú)關(guān)，自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)。隨機(jī)過(guò)程滿足任意維概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。

狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但反之不一定成立。（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程例外）3.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（窄平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）：廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程）：10/14/202337信息與通信工程系隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方

1.隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均3.3.5平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）集合平均（統(tǒng)計(jì)平均）：對(duì)隨機(jī)過(guò)程所有的樣本函數(shù)求統(tǒng)計(jì)平均。時(shí)間平均：對(duì)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)求平均。時(shí)間均值，記為或，定義為時(shí)間方差，記為或，定義為10/14/202338信息與通信工程系1.隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均3.3.5

3.3.5平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）時(shí)間自相關(guān)函數(shù)，記為或，定義為對(duì)一般平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其數(shù)字特征往往可以用過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來(lái)代替，即滿足以下關(guān)系：2.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性

10/14/202339信息與通信工程系3.3.5平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍

3.3.5平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）對(duì)隨機(jī)過(guò)程中的任意一實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）來(lái)說(shuō)，它好像經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程中所有可能的狀態(tài)一樣。

“各態(tài)歷經(jīng)性”將求隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征時(shí)的集合平均（統(tǒng)計(jì)平均簡(jiǎn)化為一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均了。例如，對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程來(lái)說(shuō)，由于“各態(tài)歷經(jīng)性”（或“遍歷性”）的含義：故樣本函數(shù)的平均功率即為隨機(jī)過(guò)程的平均功率。10/14/202340信息與通信工程系3.3.5平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)

滿足各態(tài)歷經(jīng)性條件：注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定都具有各態(tài)歷經(jīng)性。一般來(lái)說(shuō)，通信系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)信號(hào)或噪聲均能滿足該條件，因此以后將它們都視為各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。3.3.5平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）10/14/202341信息與通信工程系滿足各態(tài)歷經(jīng)性條件：注意：具有

3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理維納—欣欽(Wiener-Khintchine)定理平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即它們之間有以下關(guān)系：

式中，，為隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)。注:NorbertWiener(1894-1964),AmericanMathematicianA.I.Khintchine(1894-1959),GermanMathematician10/14/202342信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系-

試求該隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度及平均功率。例3.2已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為，解：由維納—欣欽定理，隨機(jī)過(guò)程功率譜密度為3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理平均功率為10/14/202343信息與通信工程系試求該隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度及

3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理為定量描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)性與頻帶之間的關(guān)系，常使用自相關(guān)時(shí)間和等效帶寬的概念。它們的含義如下：1.自相關(guān)時(shí)間由于，故因而的含義：以為高作一矩形，并使矩形面積與曲線下的面積相等時(shí)，對(duì)應(yīng)的矩形寬度值的一半。10/14/202344信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密

3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理2.等效帶寬由于，故因而的含義：以為高作一矩形，并使矩形面積與曲線下的面積相等時(shí)，對(duì)應(yīng)的矩形寬度值的一半。10/14/202345信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系---

3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理3.自相關(guān)時(shí)間與等效帶寬之間的關(guān)系這說(shuō)明在相同的情況下，自相關(guān)時(shí)間越小，過(guò)程占有頻帶越寬；相反，自相關(guān)時(shí)間越大，過(guò)程占有頻帶越窄。對(duì)不同的隨機(jī)過(guò)程，可通過(guò)它們各自的自相關(guān)時(shí)間及等效帶寬來(lái)比較它們的相關(guān)性。10/14/202346信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密

3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系----維納—欣欽定理極端情況1：非自相關(guān)過(guò)程。即自相關(guān)性最弱，占有帶寬最大（無(wú)窮寬），包含有自零至無(wú)窮大的所有頻譜分量，這如同白光中包含所有可見(jiàn)光譜一樣，所以，非自相關(guān)過(guò)程又稱為白色隨機(jī)過(guò)程。自相關(guān)函數(shù)為功率譜密度為自相關(guān)函數(shù)為極端情況2：直流信號(hào)。功率譜密度為10/14/202347信息與通信工程系3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密

3.5兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系

實(shí)際中，常需要研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)隨機(jī)過(guò)程同時(shí)出現(xiàn)的情況。例如，在信號(hào)接收時(shí)，接收到的信號(hào)往往是有用信號(hào)與噪聲的混合信號(hào)，即

這里，有用信號(hào)x(t)與噪聲n(t)都是隨機(jī)過(guò)程。因此有必要研究多個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性。這里僅討論兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。10/14/202348信息與通信工程系3.5兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系

3.5.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)

則稱為X(t)、Y(t)的

n+m維聯(lián)合概率密度函數(shù)。X(t)

和Y(t)的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)X(t)

和Y(t)

的n+m

維聯(lián)合概率密度函數(shù)如果10/14/202349信息與通信工程系3.5.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)

X(t)

和Y(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立X(t)

和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)若隨機(jī)過(guò)程X(t)

和Y(t)任意n+m

維聯(lián)合概率密度函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則稱隨機(jī)過(guò)程X(t)

和Y(t)是平穩(wěn)相聯(lián)系的。若隨機(jī)過(guò)程X(t)

和Y(t)的各時(shí)間平均值等于各自的統(tǒng)計(jì)平均值，則稱隨機(jī)過(guò)程X(t)

和Y(t)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性。X(t)

和Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性3.5.1聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)10/14/202350信息與通信工程系X(t)和Y(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立X(t)

3.5.2互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程X(t)

和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)如果X(t)

和Y(t)都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且是平穩(wěn)相聯(lián)系的，則

如果X(t)

和Y(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則有10/14/202351信息與通信工程系3.5.2互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過(guò)程X(t)

X(t)

和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)

由X(t)

和Y(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的條件，可知如果X(t)

和Y(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則它們一定是互不相關(guān)的。X(t)

和Y(t)互不相關(guān)互不相關(guān)與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的關(guān)系：兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程如果統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則它們一定互不相關(guān)。但互不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，不一定統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程例外）3.5.2互相關(guān)函數(shù)10/14/202352信息與通信工程系X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)

X(t)

和Y(t)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（對(duì)平穩(wěn)相聯(lián)系的隨機(jī)過(guò)程X(t)

和Y(t)

來(lái)說(shuō)）3.5.2互相關(guān)函數(shù)互譜密度函數(shù)10/14/202353信息與通信工程系X(t)和Y(t)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（對(duì)

x(t)和n(t)均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且平穩(wěn)相聯(lián)系。例：考慮有用信號(hào)與噪聲之和S(t)自相關(guān)函數(shù)為于是3.5.2互相關(guān)函數(shù)通常認(rèn)為x(t)與n(t)之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，且故有10/14/202354信息與通信工程系x(t)和n(t)均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，

正態(tài)隨機(jī)過(guò)程又稱為高斯(Gaussian)隨機(jī)過(guò)程，是一種常見(jiàn)而又重要的隨機(jī)過(guò)程。3.6正態(tài)隨機(jī)過(guò)程典型的正態(tài)隨機(jī)過(guò)程：通信系統(tǒng)中的噪聲。3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)10/14/202355信息與通信工程系正態(tài)隨機(jī)過(guò)程又稱為高斯

3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義

如果隨機(jī)過(guò)程任意維概率密度函數(shù)都服從正態(tài)分布，則稱此隨機(jī)過(guò)程為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。其n維概率密度函數(shù)為式中，為在時(shí)刻的均值；為在時(shí)刻的方差；為歸一化協(xié)方差矩陣行列式，即10/14/202356信息與通信工程系3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義如

3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義其中，為歸一化協(xié)方差系數(shù)；為

為行列式中元素的代數(shù)余子式。10/14/202357信息與通信工程系3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義其中，

3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：，正態(tài)隨機(jī)過(guò)程一維概率密度函數(shù)：10/14/202358信息與通信工程系3.6.1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)1.正態(tài)隨機(jī)過(guò)程如果是廣義平穩(wěn)的，則也是狹義平穩(wěn)的。2.正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的線性變換仍是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。參考下式參考下式中心極限定理為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。10/14/202359信息與通信工程系3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)1.正態(tài)隨機(jī)

3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)3.如果兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程互不相關(guān)，則它們也統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。以X(t)、Y(t)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為例（互不相關(guān)）歸一化協(xié)方差系數(shù)10/14/202360信息與通信工程系3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)3.如果兩

3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)

由于10/14/202361信息與通信工程系3.6.2正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)由于10/8

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)對(duì)確定信號(hào)

對(duì)隨機(jī)過(guò)程

設(shè)輸入隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，輸出隨機(jī)過(guò)程是否也平穩(wěn)？數(shù)字特征又怎樣？問(wèn)題：10/14/202362信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)1.輸出隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)期望

由于是平穩(wěn)的，所以，故2.輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)（）10/14/202363信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)1.輸出隨機(jī)過(guò)程數(shù)

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)式中，

為輸入平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。于是有

上式表明，輸出隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)僅為時(shí)間間隔的函數(shù)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。因此，輸出隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，至少是廣義平穩(wěn)的。10/14/202364信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)式中，

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)3.輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度由維納—欣欽定理令10/14/202365信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)3.輸出

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)例3.3設(shè)功率譜密度為（常數(shù)）的白色隨機(jī)過(guò)程（白噪聲）通過(guò)帶寬為B的理想低通濾波器，如圖所示。試求輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)及噪聲功率。解：理想低通濾波器的傳輸特性為

故，輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度為10/14/202366信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)例3.3設(shè)功率譜密

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為10/14/202367信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)輸出噪聲的功率為輸出隨機(jī)過(guò)程的等效帶寬為：自相關(guān)時(shí)間為：10/14/202368信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)輸出噪聲

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)例3.4設(shè)均值為零，功率譜密度為的高斯（正態(tài)）白噪聲通過(guò)如圖所示的RC低通濾波器，試求輸出隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)。解：由性質(zhì)可知，高斯白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)后輸出過(guò)程仍然是高斯分布的隨機(jī)過(guò)程。RC低通濾波器的傳輸特性為輸出隨機(jī)過(guò)程的均值為10/14/202369信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)例3.4

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)輸出隨機(jī)過(guò)程的方差（或功率）故，輸出隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)為10/14/202370信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)例3.5

設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)如圖所示的乘法器，若已知隨機(jī)過(guò)程的功率譜，試求乘法器輸出響應(yīng)的功率譜。解：乘法運(yùn)算是非線性變換過(guò)程，因此，為得到輸出功率譜，可先求輸出響應(yīng)自相關(guān)函數(shù)，再進(jìn)行傅立葉變換。10/14/202371信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)例3.5

3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)由上式可見(jiàn)，輸出隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間有關(guān)，因此不是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。式中，為輸入隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)。對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程求功率譜時(shí)，應(yīng)先將其自相關(guān)函數(shù)求時(shí)間平均，再進(jìn)行傅立葉變換。對(duì)求時(shí)間平均，輸出隨機(jī)過(guò)程功率譜為結(jié)果為10/14/202372信息與通信工程系3.7平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲加性噪聲（獨(dú)立于信號(hào)而存在，它始終干擾著有用信號(hào)的傳輸。）噪聲乘性噪聲（與信號(hào)本身密切相關(guān)，它可以通過(guò)合理地設(shè)計(jì)信號(hào)及系統(tǒng)特性等措施來(lái)消除）加性噪聲外部噪聲（由信道引入，包括人為噪聲、工業(yè)干擾和天電噪聲。）內(nèi)部噪聲（由通信設(shè)備內(nèi)部產(chǎn)生，它對(duì)信號(hào)的影響最為嚴(yán)重，是研究的重點(diǎn)。）

內(nèi)部噪聲通常認(rèn)為是白噪聲，是一種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。理想的白噪聲服從高斯分布，一般稱為加性高斯白噪聲（AWGN）。10/14/202373信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲加性

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲

理想白噪聲可認(rèn)為是由大量寬度為無(wú)窮窄的脈沖隨機(jī)疊加而成的，如圖所示。如前所述，白噪聲是一個(gè)非自相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，它包含有自零至無(wú)窮大的所有頻譜分量，這類似于光學(xué)中包括有全部可見(jiàn)光譜的白光。白噪聲功率譜密度是一個(gè)常數(shù)，為10/14/202374信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲由維納—欣欽定理，可得白噪聲自相關(guān)函數(shù)為

理想白噪聲是不存在的。通常在工程實(shí)踐中遇到的噪聲是帶限的，帶限噪聲或帶內(nèi)功率譜分布不均勻的噪聲稱為有色噪聲。但當(dāng)帶限噪聲功率譜均勻分布的頻帶范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的工作帶寬時(shí)，就可以認(rèn)為該噪聲具有白噪聲特性。10/14/202375信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲由維納—

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲通信系統(tǒng)中典型的白噪聲：散彈噪聲、熱噪聲散彈噪聲：由通信設(shè)備中有源器件內(nèi)部的載流子或電子發(fā)射的不均勻性引起的一種起伏過(guò)程。散彈噪聲功率譜密度10/14/202376信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲通信系統(tǒng)

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲熱噪聲（電阻熱噪聲）：由通信設(shè)備中電阻類器件（如天線）內(nèi)部的電子熱運(yùn)動(dòng)（布朗運(yùn)動(dòng)）引起的一種起伏過(guò)程。熱噪聲的電壓功率譜密度為

式中，

為波爾茲曼常數(shù)；T為環(huán)境的絕對(duì)溫度。10/14/202377信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲熱噪聲（電阻熱

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲等效電流功率譜密度為電壓源的噪聲功率為噪聲電壓源的均方根電壓值為同理，電流源的噪聲功率為噪聲電流源的均方根電流值為10/14/202378信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲等效電流

3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲線性網(wǎng)絡(luò)中包含電阻類元件時(shí)熱噪聲功率譜計(jì)算圖中a、b點(diǎn)之間的電壓熱噪聲的功率譜為式中，為電阻的電壓功率譜密度。10/14/202379信息與通信工程系3.8白噪聲、散彈噪聲和熱噪聲線性網(wǎng)絡(luò)

3.9白色隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)----窄帶噪聲窄帶線性系統(tǒng)傳輸特性白噪聲窄帶線性系統(tǒng)窄帶噪聲功率譜密度窄帶噪聲

10/14/202380信息與通信工程系3.9白色隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)-

例：理想窄帶系統(tǒng)輸出功率譜密及自相關(guān)函數(shù)。0，其它功率譜密度窄帶噪聲自相關(guān)函數(shù)3.9白色隨機(jī)過(guò)程通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)----窄帶噪聲自相關(guān)函數(shù)10/14/202381信息與通信工程系例：理想窄帶系統(tǒng)輸出功率譜密0，其

3.9.1窄帶噪聲的波形特征

白噪聲具有無(wú)窮的帶寬，而窄帶線性系統(tǒng)僅在中心頻率附近允許白噪聲通過(guò)。因此，白噪聲通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)時(shí)，實(shí)際上是窄帶線性系統(tǒng)對(duì)輸入白噪聲的選頻過(guò)程。其結(jié)果是輸出噪聲中僅有中心頻率附近的頻率分量，因此窄帶噪聲波形是一個(gè)頻率近似為f0

，包絡(luò)和相位緩慢變化的正弦波。窄帶噪聲波形的“準(zhǔn)正弦波”特性10/14/202382信息與通信工程系3.9.1窄帶噪聲的波形特征

窄帶噪聲時(shí)域表示式（1）3.9.1窄帶噪聲的波形特征顯然，由于噪聲的窄帶特性，包絡(luò)和相位的變化一定比載波的變化要緩慢得多。式中，和分別為窄帶噪聲的包絡(luò)和相位，它們都是隨機(jī)過(guò)程。窄帶噪聲時(shí)域表示式（2）（包絡(luò)和相位形式）10/14/202383信息與通信工程系窄帶噪聲時(shí)域表示式（1）3.9.1窄帶

式中，同相分量和正交分量在性質(zhì)上都是具有低通特性的隨機(jī)過(guò)程。---同相分量---正交分量（同相、正交分量形式）由上可知：窄帶噪聲的統(tǒng)計(jì)特性可以由包絡(luò)和相位或同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，當(dāng)已知了窄帶噪聲的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，其包絡(luò)和相位或同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性也可以確定下來(lái)。3.9.1窄帶噪聲的波形特征10/14/202384信息與通信工程系式中，同相分量和正交分量在性質(zhì)上都是具有

分析前提：假設(shè)輸入白噪聲是均值為零的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，由3.7節(jié)知，窄帶噪聲也是均值為零的平穩(wěn)高斯過(guò)程。3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性一、同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性同相、正交分量形式：1.均值由窄帶噪聲的均值為零及平穩(wěn)特性，對(duì)任意的時(shí)間，都有上式成立，因此得同相分量和正交分量是均值為零的隨機(jī)過(guò)程。10/14/202385信息與通信工程系分析前提：假設(shè)輸入白噪聲是均值為零的平

在t1及t2時(shí)刻，同相分量和正交分量是服從高斯分布的隨機(jī)變量。令及，得由于是高斯隨機(jī)過(guò)程，因此，在任意時(shí)刻，都是高斯隨機(jī)變量。2.自相關(guān)函數(shù)

3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性10/14/202386信息與通信工程系在t1及t2時(shí)刻，同相分量和正交分

3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性10/14/202387信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)

由窄帶噪聲的平穩(wěn)特性，有故同相分量和正交分量都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。結(jié)論：同相分量和正交分量都是均值為零服從高斯分布

的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性10/14/202388信息與通信工程系由窄帶噪聲的平穩(wěn)特性，有故同相分量和正交

重寫自相關(guān)函數(shù)式為上式在及時(shí)，可寫為以下形式3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性10/14/202389信息與通信工程系重寫自相關(guān)函數(shù)式為上式在

上式表明，窄帶噪聲和它的同相分量及正交分量具有相同的方差或功率，即上式中，當(dāng)時(shí)，可得由互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，有3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性10/14/202390信息與通信工程系上式表明，窄帶噪聲和它的

同理可得由上可知，和是奇函數(shù)，因此有上式表明，同相分量及正交分量在同一時(shí)刻是互不相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，因而，由正態(tài)（高斯）隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)可知，它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程。

綜上所述，窄帶噪聲的同相分量及正交分量是均值為零，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，其方差或功率相同，且等于窄帶噪聲的方差或功率。3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性10/14/202391信息與通信工程系同理可得由上可知，

3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性二、包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性同相和正交分量一維概率密度函數(shù)它們的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中，為窄帶噪聲的方差（功率）。10/14/202392信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)

利用概率論中的雅可比行列式，可以由導(dǎo)出包絡(luò)和相位的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中，為雅可比(Jacobi)行列式，且

（）3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性10/14/202393信息與通信工程系利用概率論中的雅可比行列式，可以由導(dǎo)出包絡(luò)和相

3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性代入雅可比(Jacobi)行列式，得利用概率論中求邊際分布的方法，可分別得到包絡(luò)和相位的一維概率密度函數(shù)上式表明，窄帶噪聲的包絡(luò)服從瑞利（Rayleigh）分布。10/14/202394信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)

3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性上式表明，窄帶噪聲的相位服從均勻分布。包絡(luò)和相位分布特性10/14/202395信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)

3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性由于，因此，包絡(luò)和相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的（一維分布）。服從瑞利分布的窄帶噪聲的包絡(luò)特點(diǎn)：（1）時(shí)，出現(xiàn)最大值。

（2）包絡(luò)的期望值為;中位值：累積分布概率為50%時(shí)的包絡(luò)值，即滿足下式的值：（3）包絡(luò)的中位值為。10/14/202396信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)

3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性（4）包絡(luò)的均方值為;

（5）包絡(luò)的方差為。關(guān)鍵參數(shù)：（方差）=窄帶噪聲的功率10/14/202397信息與通信工程系3.9.2同相和正交分量以及包絡(luò)和相位統(tǒng)計(jì)特性（4）包