二次函數(shù)和存在相似三角形

...wd......wd......wd...二次函數(shù)與存在相似三角形3、〔紅河〕如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)且在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點(diǎn)E．〔1〕求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)和直線BC的解析式；〔2〕求△ODE面積的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3〕是否存在以點(diǎn)P、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似假設(shè)存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請說明理由．解：〔1〕在y=﹣x2+4中，當(dāng)y=0時(shí)，即﹣x2+4=0，解得x=±2．當(dāng)x=0時(shí)，即y=0+4，解得y=4．∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)依次是A〔﹣2，0〕、B〔2，0〕、C〔0，4〕．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b〔k≠0〕，則，解得．所以直線BC的解析式為y=﹣2x+4．〔2〕∵點(diǎn)E在直線BC上，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔x，﹣2x+4〕，則△ODE的面積S可表示為：．∴當(dāng)x=1時(shí)，△ODE的面積有最大值1．此時(shí)，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔1，2〕．〔3〕存在以點(diǎn)P、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，﹣x2+4〕，0＜x＜2．因?yàn)椤鱋AC與△OPD都是直角三角形，分兩種情況：①當(dāng)△PDO∽△COA時(shí)，，，解得，〔不符合題意，舍去〕．當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)△PDO∽△AOC時(shí)，，，解得，〔不符合題意，舍去〕．當(dāng)時(shí)，=．此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上可得，滿足條件的點(diǎn)P有兩個：，．1.(2014?東營·T25)如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，過點(diǎn)B的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線BC交于點(diǎn)D〔3，﹣4〕．〔1〕求直線BD和拋物線的解析式；〔2〕在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使得以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似假設(shè)存在，求出M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由；〔3〕在直線BD上方的拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH垂直于x軸，交直線BD于點(diǎn)H，當(dāng)四邊形BOHP是平行四邊形時(shí)，試求動點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：〔1〕∵y=2x+2，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴B〔0，2〕．當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1，∴A〔﹣1，0〕．∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)B〔0，2〕，D〔3，﹣4〕，∴解得，∴y=﹣x2+x+2；設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得，解得，∴直線BD的解析式為：y=﹣2x+2；〔2〕存在．如圖1，設(shè)M〔a，﹣a2+a+2〕．∵M(jìn)N垂直于x軸，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0時(shí)，x=1，∴C〔1，0〕，∴OC=1．∵B〔0，2〕，∴OB=2．當(dāng)△BOC∽△MON時(shí)，∴，∴，解得a1=1，a2=﹣2.∴M〔1，2〕或〔﹣2，﹣4〕；如圖2，當(dāng)△BOC∽△ONM時(shí)，，∴，∴a=或，∴M〔，〕或〔，〕．又∵M(jìn)在第一象限，∴符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔1，2〕，〔，〕；〔3〕設(shè)P〔b，﹣b2+b+2〕，H〔b，﹣2b+2〕．如圖3，∵四邊形BOHP是平行四邊形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．當(dāng)b=1時(shí)，P〔1，2〕，當(dāng)b=2時(shí)，P〔2，0〕∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，2〕或〔2，0〕．3.(2014·欽州·T26)如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔1，0〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0，4〕，點(diǎn)E〔m，0〕是線段DO上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；〔3〕在〔2〕的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似假設(shè)存在，求出此時(shí)m的值；假設(shè)不存在，請說明理由．解：〔1〕∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A〔1，0〕，與y軸交于點(diǎn)B〔0，4〕，∴，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+4；〔2〕∵E〔m，0〕，B〔0，4〕，PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，∴P〔m，﹣m2﹣m+4〕，G〔m，4〕，∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；〔3〕在〔2〕的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似．∵y=﹣x2﹣x+4，∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D〔﹣3，0〕．當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，﹣3＜m＜0．設(shè)直線BD的解析式為y=kx+4，將D〔﹣3，0〕代入，得﹣3k+4=0，解得k=，∴直線BD的解析式為y=x+4，∴H〔m，m+4〕．分兩種情況：①如果△BGP∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1；②如果△PGB∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．綜上所述，在〔2〕的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似，此時(shí)m的值為﹣1或﹣．4.〔2014·成都·T28〕如圖，拋物線y=〔x+2〕〔x﹣4〕〔k為常數(shù)，且k＞0〕與x軸從左至右依次交于A，B，與x軸交于C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D．〔1〕假設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕假設(shè)在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值；〔3〕在〔1〕的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)〔不含端點(diǎn)〕，連接AF，一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運(yùn)動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運(yùn)動到D后停頓，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中用時(shí)最少解：〔1〕拋物線y=〔x+2〕〔x﹣4〕，令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕．∵直線y=﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)B〔4，0〕，∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直線BD解析式為：y=﹣x+．當(dāng)x=﹣5時(shí)，y=3，∴D〔﹣5，3〕．∵點(diǎn)D〔﹣5，3〕在拋物線y=〔x+2〕〔x﹣4〕上，∴〔﹣5+2〕〔﹣5﹣4〕=3，∴k=．〔2〕由拋物線解析式，令x=0，得y=k，∴C〔0，﹣k〕，OC=k．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此假設(shè)兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．①假設(shè)△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2﹣1所示．設(shè)P〔x，y〕，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴D〔x，x+k〕，代入拋物線解析式y(tǒng)=〔x+2〕〔x﹣4〕，得〔x+2〕〔x﹣4〕=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2〔與點(diǎn)A重合，舍去〕，∴P〔8，5k〕．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得k=．②假設(shè)△ABC∽△ABP，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2﹣2所示．與①同理，可求得：k=．綜上所述，k=或k=．〔3〕由〔1〕知：D〔﹣5，3〕，如答圖3，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，則DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．過點(diǎn)D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30°．過點(diǎn)F作FG⊥DK于點(diǎn)G，則FG=DF．由題意，動點(diǎn)M運(yùn)動的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動時(shí)間：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即運(yùn)動時(shí)間等于折線AF+FG的長度．由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．過點(diǎn)A作AH⊥DK于點(diǎn)H，則t最小=AH，AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求之F點(diǎn)．∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2，直線BD解析式為：y=﹣x+，∴y=﹣×〔﹣2〕+=2，∴F〔﹣2，2〕．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為〔﹣2，2〕時(shí)，點(diǎn)M在整個運(yùn)動過程中用時(shí)最少．5.〔2014·衡陽·T28〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象與x軸的交點(diǎn)為A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C〔0，﹣3m〕〔其中m＞0〕，頂點(diǎn)為D．〔1〕求該二次函數(shù)的解析式〔系數(shù)用含m的代數(shù)式表示〕；〔2〕如圖①，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；〔3〕如圖②，當(dāng)m取何值時(shí)，以A、D、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似解：〔1〕∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕，∴拋物線解析式為：y=a〔x+3〕〔x﹣1〕．將點(diǎn)C〔0，﹣3m〕代入上式，得a×3×〔﹣1〕=﹣3m，∴m=∴拋物線的解析式為：y=m〔x+3〕〔x﹣1〕=mx2+2mx﹣3m〔2〕當(dāng)m=2時(shí)，C〔0，﹣6〕，拋物線解析式為y=2x2+4x﹣6，則P〔x，2x2+4x﹣6〕．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有，解得，∴y=﹣2x﹣6．如答圖①，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則F〔x，﹣2x﹣6〕．∴PF=yF﹣yP=〔﹣2x﹣6〕﹣〔2x2+4x﹣6〕=﹣2x2﹣6x．S=S△PFA+S△PFC=PF?AE+PF?OE=PF?OA=〔﹣2x2﹣6x〕×3∴S=﹣3x2﹣9x=﹣3〔x+〕2+∴S與x之間的關(guān)系式為S=﹣3x2﹣9x，當(dāng)x=﹣時(shí)，S有最大值為．〔3〕∵y=mx2+2mx﹣3m=m〔x+1〕2﹣4∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為〔﹣1，﹣4m如答圖②，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CF2+DF2=m2+1；AD2=DE2+AE2=16∵△ACD與△BOC相似，且△BOC為直角三角形，∴△ACD必為直角三角形．i〕假設(shè)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則AC2+AD2=CD2，即：〔9m2+9〕+〔16m2+4〕=m2+1，整理得：m2=﹣ii〕假設(shè)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，則AD2+CD2=AC2，即：〔16m2+4〕+〔m2+1〕=9m2+9，整理得：m2=，∵m＞0，∴m此時(shí)，可求得△ACD的三邊長為：AD=2，CD=，AC=；△BOC的三邊長為：OB=1，OC=，BC=．兩個三角形對應(yīng)邊不成比例，不可能相似，∴此種情形不存在；iii〕假設(shè)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則AC2+CD2=AD2，即：〔9m2+9〕+〔m2+1〕=16整理得：m2=1，∵m＞0，∴m=1．此時(shí)，可求得△ACD的三邊長為：AD=2，CD=，AC=3；△BOC的三邊長為：OB=1，OC=3，BC=．∵=，∴滿足兩個三角形相似的條件．∴m=1．綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，以A、D、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．6.〔2014·西寧·T28〕如圖，拋物線y=x2+x﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．〔1〕求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；〔2〕求△BCF的面積；〔3〕在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．解：〔1〕當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x﹣2=0，解得x1=2，x2=4，∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為〔2，0〕，〔4，0〕.當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔0，﹣2〕.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b〔k≠0〕，則，解得．∴直線BC的解析式為y=x﹣3；〔2〕∵CD∥x軸，BD∥y軸，∴∠ECD=90°.∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為〔4，0〕，〔0，﹣2〕，∴BC===2.∵△FEC是由△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴△BCF的面積=BC?FC=×2×2=10；〔3〕存在．分兩種情況討論：①過A作AP1⊥x軸交線段BC于點(diǎn)P1，則△BAP1∽△BOC，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔2，0〕，∴點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)是2.∵點(diǎn)P1在點(diǎn)BC所在直線上，∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1.∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為〔2，﹣1〕；②過A作AP2⊥BC，垂足點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作P2Q⊥x軸于點(diǎn)Q．∴△BAP2∽△BCO.∴=，=∴=.解得AP2=.∵=，∴AP2?BP=CO?BP2.∴×4=2BP2.解得BP2=.∵AB?QP2=AP2?BP2，∴2QP2=×.解得QP2=.∴點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是﹣.∵點(diǎn)P2在BC所在直線上，∴x=.∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為〔，﹣〕.∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，﹣1〕或〔，﹣〕．7.〔2014·威海·T25改編〕如圖，拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕經(jīng)過A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，C〔0，2〕三點(diǎn)．〔1〕求這條拋物線的解析式；〔2〕E為拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似假設(shè)存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.解：〔1〕∵