（大學課件）中心極限定理與參數(shù)估計：4.5

§2參數(shù)的區(qū)間估計區(qū)間估計：用樣本來確定一個區(qū)間，使這個區(qū)間以很大的概率包含所估計的未知參數(shù)，這樣的區(qū)間稱為置信區(qū)間。置信區(qū)間與置信水平：設總體X的分布中含有未知參數(shù)θ,若由來自總體X的一個樣本確定的兩個統(tǒng)計量：=（X1，X2，…，Xn），=（X1，X2，…，Xn）對給定的α(0＜α＜1)，

則稱隨機區(qū)間（，）是θ置信區(qū)間，

及分別稱為置信下限和置信上限，1-α稱為置信水平。滿足P{＜θ＜}＝1－α(1)顯然，置信區(qū)間不唯一。

說明:(1)式表示（,

）包含未知參數(shù)θ的真值概率為1－α,如α=0.05時，若從總體中抽得容量相同的100個樣本，則在確定的100個置信區(qū)間中將有95個包含θ的真值，不包含θ真值的區(qū)間只有5個。絕不能理解為θ的真值落在(,)內的概率為1－α！

如何求未知參數(shù)的置信區(qū)間呢？下面通過一個例子闡述其方法。引例.設總體Ｘ～N(μ,σ2),σ2

已知。X1,X2,…，Xn是一個樣本，對于給定的置信水平1-α,求μ的置信區(qū)間。如σ2＝0.15,樣本的一組觀測值為，3.1,3.4,2.7,2.9,3.3,2.9,3.0,3.1,2.8（n=9),取α＝0.05,求出置信區(qū)間。是μ的一個點估計,μ的區(qū)間估計應為在附近的

的一個區(qū)間,如何得到這樣的區(qū)間？自然回想到構造含有和待估參數(shù)μ的樣本函數(shù)，且其分布已知(應與μ無關)。，對于給定的置信水平1-a，通過下式對于給定的數(shù)值得置信區(qū)間為：（2.94,3.10)分析:

因確定U的范圍，確定μ的范圍，即求置信區(qū)間的方法：１．選取統(tǒng)計量。找樣本（Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn）的一個函數(shù)

U（Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）并且U只含所求置信區(qū)間的未知參數(shù)θ，不含其它未知參數(shù)．且分布與θ無關，此函數(shù)一般可從θ的某個點估計經(jīng)過變換得到．２．確定分位點。對于給出的置信水平1-α，確定U的分位點．注意，在確定函數(shù)U時，確保U的分布有表可查．３．變換不等式。利用不等式變形得到未知參數(shù)θ的置信區(qū)間．特別指出：求未知參數(shù)θ的置信區(qū)間所采用函數(shù)

U（Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）與將來進行相關假設檢驗時所采用的統(tǒng)計量為同一函數(shù)．1.2.1－αx0Φ(x)附：常用統(tǒng)計量及分位點的確定方法若X~N（μ，σ2）:X1，X2，…，Xn若X~N（μ，σ2）:X1，X2，…，Xn，有故對給定的置信概率1－α，有由此可得總體均值μ的1－α置信區(qū)間為：一、單個正態(tài)總體均值μ與方差σ2的區(qū)間估計1、σ2已知，μ的1-α置信區(qū)間故對給定的置信概率1－α，有由此可得總體均值μ的1－α置信區(qū)間為：例1.為估計35畝大豆的產(chǎn)量，以200米2面積上的大豆作為總體的一個個體，從中任意抽得24個個體，分別測得大豆的產(chǎn)量如下（單位：千克/200米2）：σ2未知，算得：=41.125，S=6.04，n-1=23，故200米2面積平均產(chǎn)量的0.95置信區(qū)間為：50,42,32,46,35,44,45,38,35,54,42,36,41,34,39,50,43,36,34,49,35,46,38,43試估計大豆產(chǎn)量的范圍（假定大豆產(chǎn)量按正態(tài)分布），置信概率1－α=0.95查表得：

解:α=0.052、σ2未知，μ的1-α置信區(qū)間4.μ未知，σ2的1-α置信區(qū)間σ2的1-α置信區(qū)間為：3.μ已知，σ2的1-α置信區(qū)間條件統(tǒng)計量置信區(qū)間μσ2σ2已知μ已知μ未知σ2未知單個正態(tài)總體期望與方差的1-α置信區(qū)間(小結)2.152.102.122.102.142.112.152.132.132.112.142.132.122.132.102.14試求零件長度標準差σ的置信水平為0.95置信區(qū)間(設總體為正態(tài))．σ2的0.95置信區(qū)間為查表得：α=0.05，n=16．σ的0.95置信區(qū)間為=(0.0127,0.0265)解：此題μ未知，算得x=2.15，S2=0.000293，

例2.從車床加工的一批零件中隨機抽取16個進行試驗，測得零件長度如下（單位：cm)

設總體X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ2

2)相互獨立則分別是來自總體X和Y的樣本（1）（2）若σ12＝

σ22＝σ2μ1-μ2σ12/σ22二、兩個正態(tài)總體均值差及方差比的1-α置信區(qū)間2.σ12，σ22均未知，但在大樣本條件下μ1-μ2的1-α置信區(qū)間由得在n1,n2都很大(一般要求n1,n2,≥50)時，我們可以用σ12,σ22

的無偏估計量S12,S22來代替σ12,σ22進行計算，即可得到大樣本時μ1-μ2的1-α置信區(qū)間為

1.σ12、σ22均已知時，μ1-μ2的1-α置信區(qū)間3.σ12，σ22均未知，但σ12=σ22=σ2時，μ1-μ2的1-α置信區(qū)間由得查表得：該蛋白質含量滿足正態(tài)、等方差條件，試估計μ1－μ2所在的范圍(取α=0.05)．甲：12.6,13.4,11.9,12.8,13.0;乙：13.1,13.4,12.8,13.5,13.3,12.7,12.4解：算得=12.74，s12=0.308；=13.029，s22=0.166。μ1－μ2的0.95置信區(qū)間為：例3.在甲、乙兩地抽取同一品種小麥籽粒的樣本，測得蛋白質含量為：則(3)(4)二、兩個正態(tài)總體均值差及方差比的1-α置信區(qū)間

設總體X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ2

2)相互獨立分別是來自總體X和Y的樣本4.μ1、μ2均未知時，方差比的1－α置信區(qū)間由由及P{F1-α/2＜F＜Fα/2}=1-α及P{F1-α/2＜F＜Fα/2}=1-α得得3.μ1、μ2均已知時，方差比的1－α置信區(qū)間

=0.5419,=0.6065得/的0.95置信區(qū)間為：求方差比/的0.95置信區(qū)間（設為正態(tài)分布）。解：已知nA=nB=10，=0.5419，=0.6065。=（0.222,3.601）查表得由α=0.05，例4.有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次測定。兩個正態(tài)總體均值差與方差比的1-α置信區(qū)間(小結)條件統(tǒng)計量