七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)8.4三元一次方程組的解法

知識(shí)點(diǎn)一

三元一次方程(組)

定義條件三元一次方程含有三個(gè)未知數(shù),并且含有未知

數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1,這樣的方程叫

做三元一次方程.(1)含有三個(gè)未知數(shù);(2)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1;(3)方程等號(hào)的左右兩邊是整式.三元一次方程組一般地,含有三個(gè)未知數(shù),含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且由三個(gè)方程組成,這樣的方程組叫做

三元一次方程組.(1)方程組中共有三個(gè)未知數(shù);(2)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1;(3)每個(gè)方程等號(hào)兩邊都是整式.溫馨提示(1)三元一次方程組中,每一個(gè)方程都是一次方程;(2)三元一次方程組中,不一定每個(gè)方程都是三元一次方程,如

也是三元一次方程組.第一頁(yè)第二頁(yè)，共52頁(yè)。例1

下列方程是三元一次方程的是

.(填序號(hào))①x+y-z=1;②4xy+3z=7;③

+y-7z=0;④6x+4y-3=0.解析

①是;②不是,4xy的次數(shù)為2;③不是,

不是整式;④不是,方程中只有2個(gè)未知數(shù).答案①第二頁(yè)第三頁(yè)，共52頁(yè)。例2下列方程組中是三元一次方程組的是

()A.

B.

C.

D.

解析

A項(xiàng)含有4個(gè)未知數(shù);B項(xiàng)中2yz的次數(shù)為2;D項(xiàng)中y+

=4不是整式方程.故選C.答案

C點(diǎn)撥理解三元一次方程組的定義要注意以下幾點(diǎn):(1)方程組中的每一

個(gè)方程都是一次方程;(2)一般地,如果三個(gè)一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知

數(shù),它們就能組成一個(gè)三元一次方程組.第三頁(yè)第四頁(yè)，共52頁(yè)。知識(shí)點(diǎn)二

三元一次方程組的解法

基本思路具體步驟解三元一次方程組通過(guò)“代入”或“加減”進(jìn)行消元,把“三元”化為“二元”,使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組,進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.(1)變形:變?nèi)淮畏匠探M為二元一次方程組;(2)求解:解二元一次方程組;(3)回代:將求得的未知數(shù)的值代入原方程組的一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠讨?得到一個(gè)一元一次方程;(4)求解:解一元一次方程,求出第三個(gè)未知數(shù);(5)寫(xiě)解:用“{”將所求的三個(gè)未知數(shù)的值聯(lián)立起來(lái),即得原方程組的解.轉(zhuǎn)化思想三元一次方程組

二元一次方程組

一元一次方程溫馨提示(1)在消元時(shí),首先注意確定消去哪個(gè)未知數(shù),再根據(jù)情況選擇代入消元還是加減消元;(2)有些特殊的方程組可用特殊的消元法,解題時(shí)要根據(jù)各方程的特點(diǎn)尋求較簡(jiǎn)單的解法.第四頁(yè)第五頁(yè)，共52頁(yè)。例3解方程組:

第五頁(yè)第六頁(yè)，共52頁(yè)。解析

①×2-②,得x+8z=11.④①×3+③,得10x+7z=37.⑤④與⑤聯(lián)立,得

解這個(gè)方程組,得

把x=3,z=1代入①,得y=2.所以原方程組的解為

點(diǎn)撥當(dāng)方程組中某兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí),通

常用加減消元法消去這個(gè)未知數(shù).第六頁(yè)第七頁(yè)，共52頁(yè)。題型一

靈活求解三元一次方程組例1解方程組:(1)

(2)

第七頁(yè)第八頁(yè)，共52頁(yè)。解析

(1)①+②+③,得2(x+y+z)=10,即x+y+z=5.④由④-①,得z=4.由④-②,得x=-1.由④-③,得y=2.所以原方程組的解為

(2)由①②,得x∶y∶z=3∶4∶5.設(shè)x=3k(k≠0),y=4k,z=5k,代入③,得3k+4k+5k=36,解得k=3.所以x=9,y=12,z=15.所以原方程組的解為

第八頁(yè)第九頁(yè)，共52頁(yè)。點(diǎn)撥第(1)題采用整體消元的方法得到方程組的解,這是一種比較簡(jiǎn)單

的求解方法,也可以先用方程①②消去y,把所得到的方程和③組成二元

一次方程組求解.形如第(2)題,當(dāng)方程組中未知數(shù)以比例形式出現(xiàn)時(shí),可

設(shè)1份為k,再根據(jù)其比例確定各未知數(shù),然后將其代入方程組中的一個(gè)合

適方程中,求出k的值,從而求出各未知數(shù)的值,此種方法稱(chēng)為參數(shù)法.第九頁(yè)第十頁(yè)，共52頁(yè)。題型二

三元一次方程組的簡(jiǎn)單應(yīng)用例2在y=ax2+bx+c中,當(dāng)x=-1時(shí),y=2;當(dāng)x=2時(shí),y=8;當(dāng)x=5時(shí),y=158.(1)求a,b,c的值;(2)求當(dāng)x=-2時(shí),y的值.解析

(1)根據(jù)題意,得

解這個(gè)方程組,得

(2)由(1)得y=8x2-6x-12.當(dāng)x=-2時(shí),y=8×(-2)2-6×(-2)-12=32.點(diǎn)撥

本題實(shí)質(zhì)上仍是一個(gè)解三元一次方程組的問(wèn)題,式子y=ax2+bx+c

是以后要學(xué)的二次函數(shù)的解析式,轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組是解決后面

許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法.第十頁(yè)第十一頁(yè)，共52頁(yè)。題型三

三元一次方程組在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例3某汽車(chē)公司計(jì)劃用20輛汽車(chē)裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜36噸到外地

銷(xiāo)售(每輛汽車(chē)按規(guī)定滿(mǎn)載,且每輛汽車(chē)只能裝同一種蔬菜,每種蔬菜不

少于1車(chē)),相關(guān)數(shù)據(jù)如下表,應(yīng)該如何安排,可使公司獲得利潤(rùn)18300元?蔬菜種類(lèi)甲乙丙每輛汽車(chē)能裝的噸數(shù)211.5每噸蔬菜可獲得的利潤(rùn)

(百元)574第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共52頁(yè)。解析

設(shè)裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜的車(chē)輛分別為x輛、y輛、z輛,由題意

得

解得

答:當(dāng)裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜的車(chē)輛分別為15輛、3輛、2輛時(shí),可使公

司獲得利潤(rùn)18300元.點(diǎn)撥本題考查了三元一次方程組在實(shí)際生活中的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是

找出等量關(guān)系,并列出方程組.第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共52頁(yè)。知識(shí)點(diǎn)一

三元一次方程(組)1.下列方程是三元一次方程的是

()A.x+y-z=1

B.4xy+3z=7C.

+y-7z=0

D.6x+4y-3=0答案

A

A是;B不是,4xy為二次項(xiàng);C不是,

不是整式;D不是,方程中只有2個(gè)未知數(shù).第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共52頁(yè)。2.下列方程組不是三元一次方程組的是

()A.

B.

C.

D.

答案

D

選項(xiàng)D的xyz=1中“xyz”的次數(shù)是3,故D中方程組不符合三元

一次方程組的定義.故D中的方程組不是三元一次方程組.3.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程,那么a=

,b=

.答案-1;0解析

a-1≠0,b+1=1,2-|a|=1,∴a=-1,b=0.第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共52頁(yè)。知識(shí)點(diǎn)二

三元一次方程組的解法4.解方程組

若用代入消元法解方程組,第一步應(yīng)把

化為

,代入

中,消去

,組成二元一次方程

組;如果用加減消元法解這個(gè)方程組,第一步應(yīng)用

,消去

,與①組成二元一次方程組.答案①;y=11-3x;②③;y;②-③;z5.若

則x+y+z=

.答案12解析

三個(gè)方程相加,即可得出x+y+z=12.第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共52頁(yè)。6.解方程組:(1)

(2)

第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共52頁(yè)。解析

(1)解法一:由①+②+③,得2x+2y+2z=90,即x+y+z=45.④④-①,得z=18,④-②,得x=12,④-③,得y=15.因此,原方程組的解為

解法二:由①+②-③,得2y=30,即y=15.由①+③-②,得2x=24,即x=12.由②+③-①,得2z=36,即z=18.因此,原方程組的解為

解法三:由①,得x=27-y.④第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共52頁(yè)。把④代入③,得z+27-y=30,即z-y=3.⑤由②與⑤組成方程組,得

解這個(gè)方程組,得

把y=15代入④,得x=12.因此,原方程組的解為

(2)③-①,得x-2y=-8.④②-④,得y=9.把y=9代入②,得x-9=1,所以x=10.第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共52頁(yè)。把x=10,y=9代入①,得10+9+z=26,解得z=7.所以原方程組的解為

第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共52頁(yè)。1.下列方程中三元一次方程的個(gè)數(shù)為

()①z+3y+x=0;②3a+b=4c;③

-3y+2z=3m(m為常數(shù));④xyz-y+3z=5.A.1

B.2

C.3

D.4答案

B

根據(jù)三元一次方程的定義來(lái)判斷,③中

不是整式,④中xyz的次數(shù)為3,所以③④不是三元一次方程;只有①②是三元一次方程.故選B.第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共52頁(yè)。2.下列方程組中,是三元一次方程組的是

()A.

B.

C.

D.

答案

B

因?yàn)锳選項(xiàng)和C選項(xiàng)中都有四個(gè)未知數(shù),而D選項(xiàng)中的含未知

數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是二次,所以A、C、D都不是三元一次方程組,故選B.第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共52頁(yè)。3.解三元一次方程組

時(shí),要使運(yùn)算簡(jiǎn)便,應(yīng)采取的消元的方法是

()A.先消去x

B.先消去yC.先消去z

D.以上說(shuō)法都不正確答案

D

可以同時(shí)消去兩個(gè)未知數(shù),故選D.第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共52頁(yè)。4.如果方程組

的解是

則a=

,b=

,c=

.答案2;3;1解析

把

代入方程組得

解得

第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共52頁(yè)。5.解方程組:

解析

①-③得-y=5,∴y=-5.把y=-5代入②,得z=-11,再將z=-11代入①得x=-7,所以方程組的解為

第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共52頁(yè)。1.以

為解建立一個(gè)三元一次方程,不正確的是

()A.3x-4y+2z=3

B.

x-y+2z=-2C.x+y-z=-2

D.

-

-z=1

答案

C

把x=3,y=1,z=-1分別代入四個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)算.第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共52頁(yè)。2.已知三元一次方程組

經(jīng)過(guò)步驟①-③和③×4+②消去未知數(shù)z后,得到的二元一次方程組是

()A.

B.

C.

D.

答案

A

①-③得4x+3y=2;③×4+②得7x+5y=3.第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共52頁(yè)。3.有甲、乙、丙三種商品,如果購(gòu)甲種商品3件、乙種商品2件、丙種商

品1件共需315元,購(gòu)甲種商品1件、乙種商品2件、丙種商品3件共需285

元,那么購(gòu)甲、乙、丙三種商品各一件共需

元.答案150解析

設(shè)甲種商品每件x元,乙種商品每件y元,丙種商品每件z元.根據(jù)題意,得

兩方程相加得4x+4y+4z=600,所以x+y+z=150.即共需150元.第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共52頁(yè)。4.解下列三元一次方程組:(1)

(2)

第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共52頁(yè)。解析

(1)

①+②,得3x-3y=15,即x-y=5,④②-③,得x+2y=11,⑤⑤-④,得3y=6,解得y=2,把y=2代入④,得x=7.再把x=7,y=2代入③,得z=-2.第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共52頁(yè)。所以原方程組的解為

(2)

①-③×2,得5y=5,解得y=1,②+③,得8x-5y=7,④把y=1代入④,解得x=

,再把x=

,y=1代入③,得z=-1.第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共52頁(yè)。所以原方程組的解為

第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共52頁(yè)。1.(2015山東聊城陽(yáng)谷期中)若(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,則x+y+z等于

(

)A.-

B.

C.2

D.-2答案

A

∵(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,∴

解得

∴x+y+z=2-2-

=-

.第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共52頁(yè)。2.解方程組:(1)

(2)

第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共52頁(yè)。解析

(1)

把①代入②得2y+2z=10,即y+z=5④,把①代入③得3y+3z-y=9,即2y+3z=9⑤,④×3-⑤得y=6,把y=6代入④得z=-1,把y=6,z=-1代入①得x=5,則方程組的解為

第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共52頁(yè)。(2)

①+③得3x+4y=18④,④-②得y=3,把y=3代入②得x=2,把x=2,y=3代入①得z=1,所以方程組的解為

第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共52頁(yè)。3.在等式y(tǒng)=ax2+bx+c中,當(dāng)x=-1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5時(shí),y=60.

求a、b、c的值.解析

根據(jù)題意,得

②-①,得a+b=1,④③-①,得4a+b=10.⑤④與⑤組成二元一次方程組

解得

把a(bǔ)=3,b=-2代入①,得c=-5.所以a、b、c的值分別為3、-2、-5.第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共52頁(yè)。4.某單位職工在植樹(shù)節(jié)時(shí)去植樹(shù),甲、乙、丙三個(gè)小組共植樹(shù)50棵,乙組

植樹(shù)的棵數(shù)是甲、丙兩組的和的

,甲組植樹(shù)的棵數(shù)恰是乙組與丙組的和,求每組各植樹(shù)多少棵.解析

設(shè)甲組植樹(shù)x棵,乙組植樹(shù)y棵,丙組植樹(shù)z棵,根據(jù)題意,得

解得

答:甲組植樹(shù)25棵,乙組植樹(shù)10棵,丙組植樹(shù)15棵.第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共52頁(yè)。一、選擇題1.(2016河南師大附中月考,3,★★☆)下列說(shuō)法不正確的是

()A.方程3x+2y+z=20有唯一一個(gè)解B.若x,y,z是非負(fù)數(shù),則三元一次方程3x+5y+2z=0只有一個(gè)解C.方程4a+b+2c=7是三元一次方程D.方程組

是三元一次方程組答案

A

方程3x+2y+z=20有無(wú)數(shù)個(gè)解,故選A.第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共52頁(yè)。2.(2016遼寧撫順一中期末,6,★★☆)若|x-3y+5|+|3x+y-5|+|x+y-3z|=0,則

()A.

B.

C.

D.

答案

B

由題意可得三元一次方程組

①+②×3,得10x-10=0,解得x=1.把x=1代入②,得y=2.再把x=1,y=2代入③,得

z=1.第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共52頁(yè)。二、解答題3.(2016山東牟平一中質(zhì)量檢測(cè),19,★★☆)解方程組

(7分)第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共52頁(yè)。解析

①+②,得5x+2y=16,④①-③,得2x-2y=-2,⑤④+⑤,得7x=14,解得x=2.把x=2代入④,得y=3.把x=2,y=3代入③,得z=1.所以方程組的解為

第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共52頁(yè)。(2014河南南街中學(xué)期中,22,★☆☆)解方程組

解析

把③分別代入①②,得

解得

把y=2代入③,得x=8,所以方程組的解為

第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共52頁(yè)。填空題(2015山東濱州中考,18,★★☆)某服裝廠專(zhuān)門(mén)安排210名工人進(jìn)行手工襯

衣的縫制,每件襯衣由2個(gè)衣袖、1個(gè)衣身、1個(gè)衣領(lǐng)組成.如果每人每天

能夠縫制衣袖10個(gè),或衣身15個(gè),或衣領(lǐng)12個(gè),那么應(yīng)該安排

名工

人縫制衣袖,才能使每天縫制出的衣袖、衣身、衣領(lǐng)正好配套.答案120第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共52頁(yè)。解析

設(shè)應(yīng)該安排x名工人縫制衣袖,