東北師大附屬中學(xué)高三第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案球與幾何體的切接問題

東北師大附中2023-2023高三數(shù)學(xué)(文理)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案073A高考直擊球與幾何體的切接問題球與幾何體的切接問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，主要考察空間想象能力和邏輯思維能力,下面我們就近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接作深入的探究，從中掌握高考命題的趨勢(shì)和高考的出題思路，從近幾年全國(guó)高考命題來(lái)看,這局部?jī)?nèi)容主要出選擇、填空，大題很少出。一、正方體與球的切接問題〔1〕、正方體的內(nèi)切球，如圖1。位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r=a。〔2〕正方體的外接球，如圖2。位置關(guān)系：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r=3a?！?〕正方體的棱切球，如圖3。位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r=2a。正四面體與球的切接問題〔1〕、正四面體的內(nèi)切球，如圖4。位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h；球的半徑為R，這時(shí)有4R=h=63a；〔可以利用體積橋證明〔2〕、正四面體的外接球，如圖5。位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h；球的半徑為R，這時(shí)有4R=3h=6a；〔可用正四面體高h(yuǎn)減去內(nèi)切球的半徑得到〕〔3〕、正四面體的棱切球，如圖6。位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h；球的半徑為R，這時(shí)有4R=2a=3h；h=63三、正方體、正四面體與球的切接問題的數(shù)據(jù)關(guān)系推導(dǎo)可以借用下面幾何體的切接關(guān)系推導(dǎo)。正方體為ABCD-A1B1C1D1、正四面體為A1C1BD，圖中兩個(gè)球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球和外接球，顯然這兩個(gè)球也是正四面體為A1C1BD的棱切球與外接球，這樣我們就不難從一維量棱長(zhǎng)a、半徑、直徑、高；二維量外表積、全面積；三維量體積之間進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。把握以上正方體與正四面體與球的切接問題，以不變應(yīng)萬(wàn)變，可以輕而易舉解決高考題。四、近幾年高考及高考摸擬中球與幾何體的切接問題1、〔07年安徽?理?8題〕半徑為1的球面上的四點(diǎn)是正四面體的頂點(diǎn)，那么與兩點(diǎn)間的球面距離為〔C〕〔可改為求AB的距離263〕A． B． C．D．2、〔07福建?理?10題〕頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝QUOTE2，那么A、C兩點(diǎn)間的球面距離為〔B〕〔可改為求角AOB是多少？π2〕A．B．QUOTEC．QUOTED．QUOTE3、07〔湖南?理?8題〕棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的外表上，分別是棱，的中點(diǎn)，那么直線被球截得的線段長(zhǎng)為〔D〕A． B． C． D．4、〔07陜西?理?6題〕一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，那么該正三棱錐的體積是〔C〕A．B．C．D．5、〔07全國(guó)Ⅱ?理?15題〕一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的外表積為〔cm2〕6、〔07安徽?理?15題〕在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是①③④⑤〔寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)〕。①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體。7、〔07遼寧?理?15題〕假設(shè)一個(gè)底面邊長(zhǎng)為32，側(cè)棱長(zhǎng)為6的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，那么此球的體積為〔8、〔天津?理?12題〕一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，那么此球的外表積為〔〕9、〔2023·海南、寧夏文科卷〕一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為_________10、〔08安徽卷16〕在同一個(gè)球面上,假設(shè),那么兩點(diǎn)間的球面距離是4π3〔可改為求COSBOC=1/10〕11、〔福建卷15〕假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，那么其外接球的外表積是〔9π〕12、〔浙江卷14〕球面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，那么球的體積等于13.〔遼寧卷14〕在體積為的球的外表上有A，B，C三點(diǎn)，AB=1，BC=，A，C兩點(diǎn)的球面距離為，〔此條件可改為AC=3〕，那么球心到平面ABC的距離為14、〔2023四川卷文〕如圖，在半徑為3的球面上有A、B、C三點(diǎn)，∠ABC=90°，BA=BC,球心O到平地面ABC的距離是322，那么B，C兩點(diǎn)的球面距離是〔可改為求∠BOC=60°A.B.C.D.2【答案】B【解析】∵AC是小圓的直徑。所以過球心O作小圓的垂線，垂足O’是AC的中點(diǎn)。O’C＝，AC＝3，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC?！?，那么兩點(diǎn)的球面距離＝15、〔2023陜西卷文〕假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，那么以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為〔B〕(A)(B)(C)(D)解析:由題意知以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體〔即兩個(gè)同底同高同棱長(zhǎng)的正四棱錐〕，所有棱長(zhǎng)均為1，其中每個(gè)正四棱錐的高均為，故正八面體的體積為,應(yīng)選B.16、〔2023江西卷理〕正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，假設(shè)兩點(diǎn)的球面距離為，〔此條件可改為AB=22〕，那么正三棱柱的體積為8．【解析】由條件可得，所以，到平面的距離為，所以所求體積等于．ABO1OABO1O17、〔2023陜西卷文〕如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，，A、B是圓上兩點(diǎn)，假設(shè)=，那么A,B兩點(diǎn)間的球面距離為〔可改為那么AB=2〕解析:由,=2由勾股定理在中那么有,又=那么所以在，，那么，那么由弧長(zhǎng)公式得.18、.(2023湖南卷理)在半徑為13的球面上有A,B,C三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，那么〔1〕球心到平面ABC的距離為12；〔2〕過A，B兩點(diǎn)的大圓面與平面ABC所成二面角為〔銳角〕的正切值為3〔此問可改為面AOB與面ABC所成的二面角為〔銳角〕的正切值?！场敬鸢浮浚骸?〕12；〔2〕3【解析】〔1〕由的三邊大小易知此三角形是直角三角形，所以過三點(diǎn)小圓的直徑即為10，也即半徑是5，設(shè)球心到小圓的距離是，那么由，可得?！?〕設(shè)過三點(diǎn)的截面圓的圓心是中點(diǎn)是點(diǎn)，球心是點(diǎn)，那么連三角形，易知就是所求的二面角的一個(gè)平面角，，所以，即正切值是3。19、〔2023遼寧文數(shù)〕〔11〕是球外表上的點(diǎn)，，，，，那么球的外表積等于〔A〕4〔B〕3〔C〕2〔D〕解析：選A.由，球的直徑為，外表積為20、〔2023四川理數(shù)〔11〕〕半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為，面BCD是平面內(nèi)邊長(zhǎng)為R的正三角形，線段AC、AD分別與球面交于點(diǎn)M，N，那么M、N兩點(diǎn)間的球面距離是(A)〔可改為MN兩點(diǎn)的距離為0.8R〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：由，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝cos∠BAC＝連結(jié)OM，那么△OAM為等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD而AC＝R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝，連結(jié)OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝所以M、N兩點(diǎn)間的球面距離是21、〔2023全國(guó)卷1文數(shù)〕〔12〕在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，假設(shè)AB=CD=2,那么四面體ABCD的體積的最大值為(B)(A)(B)(C)(D)【解析】:命題意圖:本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB與P,設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為,那么有,當(dāng)直徑通過AB與CD的中點(diǎn)時(shí),,故22、2023全國(guó)卷1理數(shù)〕〔12〕在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，假設(shè)AB=CD=2,那么四面體ABCD的體積的最大值為(B)(A)(B)(C)(D)23、〔2023重慶理9〕高為24的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，那么底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為 A．24 B．22 C．1 D24、〔2023全國(guó)新課標(biāo)理15〕矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，那么棱錐O-ABCD的體積為8325、【2023高考新課標(biāo)文8】平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，那么此球的體積為(B)〔A〕eq\r(6)π〔B〕4eq\r(3)π〔C〕4eq\r(6)π〔D〕6eq\r(3)π【解析】球半徑，所以球的體積為，選B.26、〔2023年高考〔新課標(biāo)理〕〕三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長(zhǎng)為的正三角形,為球的直徑,且;那么此棱錐的體積為(A)A． B． C． D．解析：的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離為球的直徑點(diǎn)到面的距離為此棱錐的體積為27.(2023長(zhǎng)春一摸文)假設(shè)一個(gè)正方體的外表積為，其外接球的外表積為，那么____________.解析:設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，那么正方體外表積為，其外接球半徑為正方體體對(duì)角線長(zhǎng)的，即為，因此外接球外表積為，那么.28.(2023長(zhǎng)春二摸文16.)如果一個(gè)棱柱的底面是正多邊形，并且側(cè)棱與底面