古典概型中幾種常用解題方法

古典概型中幾種常用解題方法華德銀沐陽如東中學(xué)“古典概型”在概率論中有很重要的地位，一方面，因?yàn)樗容^簡單，許多概念既直觀又容易理解，另一方面，它又概括了許多實(shí)際問題，有很廣泛的應(yīng)用。近幾年在高考中每年都會(huì)考察一個(gè)填空題1、 古典概型的定義判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型，在于該試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征：有限性，所有的基本事件只有有限個(gè)，即在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)等可能性，每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的.2、 古典概型的計(jì)算公式， ,…… ，,人 1 ， _A如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是一.如果某個(gè)事件n，.一，….一， .一， mA包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件入發(fā)生的概率為P(A)二一.n3、 解決古典概型的常用方法根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，求事件入發(fā)生的概率，關(guān)鍵是求出基本事件的總數(shù)以及事件入所含的基本事件個(gè)數(shù)。為此，弄清隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本事件是什么以及所討論的事伯包含了哪些基本事件是非常重要的。下面根據(jù)實(shí)驗(yàn)的步驟數(shù)總結(jié)古典概型解題方法.(1)枚舉法對(duì)于一步實(shí)驗(yàn)，或雖多步實(shí)驗(yàn)但基本事件總數(shù)較少時(shí)我們都可以通過枚舉的方法把所有的基本事件全部列舉出來，然后在其中找到所求事件入含有的基本事件,在根據(jù)公式求出事件A的概率.例1(2012江蘇卷,T6)現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 .分析:本題為一步實(shí)驗(yàn)，故可以直接枚舉出所有基本事件.解：這10個(gè)數(shù)為1，-3,9,-27,81，-25，26，-如，28，-29，故基本事件的總數(shù)為10個(gè)，“小于8”6 3所含的基本事件的個(gè)數(shù)為6,故所求事件的概率為布=5。例2.(2010山東卷T19)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2,3,4.從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n<m+2的概率.分析：本題第(1)問是一步實(shí)驗(yàn)直接枚舉就可以了，第二(2)雖是兩步步實(shí)驗(yàn)但基本事件較少故仍然可以通過枚舉法來求概率，當(dāng)然也可以用后面介紹的列表法來處理.解(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6個(gè).從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有(1,2)，(1,3)兩個(gè).因此所求事件的概率P=-=-.63(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m,n)有(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共16個(gè)，TOC\o"1-5"\h\z，一 3 ,,一 - 3 13又滿足m+2<〃的事件的概率為P=一.故滿足n<m+2的事件的概率為1-P=1 =-116 1 1616(2)列表法當(dāng)實(shí)驗(yàn)是兩步實(shí)驗(yàn),而且每一步的結(jié)果較少時(shí)也可以用枚舉法，但當(dāng)每一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較多時(shí)，列表法就比較有優(yōu)勢(shì)了例3:同桌兩人玩游戲擲骰子游戲，每人擲一次骰子并計(jì)算兩次點(diǎn)數(shù)之和的奇偶性來決定勝負(fù)，甲選定奇數(shù)，乙選定偶數(shù)，這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平？分析：本題為兩步實(shí)驗(yàn)，但每一步有6種選擇，故基本事件較多，此時(shí)可以利用列表法來列舉各個(gè)基本事件.解：所有可能的情況如下表：7一、第一個(gè)骰子第二個(gè)骰子-一一*-~12345612345672345678345678945678975678910116789101112181 181通過表格可以得到“和為偶數(shù)”的概率為漆=-，“和為奇數(shù)”的概率為瑚=S，因此這個(gè)游戲規(guī)362 362則對(duì)雙方是公平的.變題：如果游戲規(guī)則該為：和為3的倍數(shù)甲勝，和為4的倍數(shù)乙勝，哪一個(gè)人勝的機(jī)會(huì)大？為什么？答案：和為3的倍數(shù)的概率=1，和為4的倍數(shù)的概率=1所以甲獲勝的可能性大.34例4某市長途客運(yùn)站每天6：30-7：30開往某縣的三輛班車，票價(jià)相同，但車的舒適程度不同.小張和小王因事需在這一時(shí)段乘車去該縣，但不知道三輛車開來的順序.兩人采用不同的乘車方案：小張決定無論如何乘坐開來的第一輛車，而小王則是先觀察后上車，當(dāng)?shù)谝惠v車開來時(shí)，他不上車，而是仔細(xì)觀察車的舒適狀況.若第二輛車的狀況比第一輛車好，他就上第二輛車；若第二輛車不如第一輛車，他就上第三輛車.若按這三輛車的舒適程度分為優(yōu)、中、差三等，請(qǐng)你思考并回答下列問題：三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種可能？請(qǐng)列表分析哪種方案乘坐優(yōu)等車的可能性大？為什么？解：(1)三輛車按開來的先后順序?yàn)椋簝?yōu)、中、差；優(yōu)、差、中；中、優(yōu)、差；中、差、優(yōu)；差、優(yōu)、中;差、中、優(yōu)，共6種可能.(2)根據(jù)三輛車開來的先后順序，小張和小王乘車所有可能的情況如下表:順序N 優(yōu)，中，差優(yōu)，差，中中，優(yōu)，差中，差，優(yōu)差，優(yōu)，中差，中，優(yōu)小張、優(yōu)優(yōu)中中差差小王、差中優(yōu)優(yōu)優(yōu)中由表格可知：小張乘坐優(yōu)等車的概率是1，而小王乘坐優(yōu)等車的概率是1.所以小王的乘車方案乘坐優(yōu)等車的可能性大.通過列表的方法可以使得兩步實(shí)驗(yàn)的基本事件能清晰的展示，再求概率就比較容易了.樹形圖法

當(dāng)實(shí)驗(yàn)是三步實(shí)驗(yàn),甚至是更多步實(shí)驗(yàn)時(shí)，枚舉和列表法就不是太好用了，此時(shí)樹形圖可以讓基本事件清晰地展示出來.例5若同時(shí)拋三枚硬幣，則出現(xiàn)“一正兩反”的概率為.分析：本題是三步實(shí)驗(yàn)但基本事件較少故仍然可以通過枚舉法來求概率.但是怎樣保證枚舉時(shí)不重不漏呢?樹形圖可以幫助我們做到這一點(diǎn).反反解：本次試驗(yàn)的基本事件可以用樹形圖表示如下反反第一次第二次第三次即拋三枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）共有8個(gè)基本事件，其中“一正兩反”包含的結(jié)果有：（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）共3個(gè)基本事件，故所求概率為3.8例6口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，4個(gè)人按順序依次從中摸出一球，試計(jì)算第二個(gè)人摸到白球的概率.分析:本題是四步實(shí)驗(yàn)，可以用樹形圖來表示所有基本事件.解用A表示事件“第二個(gè)人摸到白球”.記2個(gè)白球編號(hào)分別為1,2；2個(gè)黑球編號(hào)分別為3,4.于是4個(gè)人按順序依次摸球，從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果用樹狀圖直觀地表示出來（如圖所示）從樹狀圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24.由于口袋內(nèi)的4個(gè)球除顏色外完全相同，因此這24種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，此試驗(yàn)屬于古典概型.在這24等可能的，此試驗(yàn)屬于古典概型.在這24種結(jié)果中，第二個(gè)人摸到白球的結(jié)果有12種，因此“第二個(gè)人121摸到白球”的概率P(A)=^=?.242四、總結(jié)以上舉的幾個(gè)例子，總結(jié)了古典概型的概率求解方法。值得注意的是：在分析問題時(shí)必須確定所研究的試驗(yàn)是幾步試驗(yàn),基本事件個(gè)