2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專(zhuān)題7.4 數(shù)列求和 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專(zhuān)題7.4數(shù)列求和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)高三其他模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2017·全國(guó)高考真題（理））（2017新課標(biāo)全國(guó)II理科）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞3．（2019·全國(guó)高考真題（文））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．24．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）【多選題】在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān).”則下列說(shuō)法正確的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路5.（2019·全國(guó)高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若，則S4=___________．6．（2021·四川成都市·石室中學(xué)高三三模）記為遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)_____.7．（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列中不超過(guò)2021的所有項(xiàng)的和為_(kāi)__________.8．（2021·福建高三其他模擬）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．9．（2021·遼寧高三其他模擬）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．10．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和Sn，滿足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·吉林松原市·高三月考）在數(shù)學(xué)課堂上，為提高學(xué)生探究分析問(wèn)題的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：現(xiàn)有一個(gè)每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為2，公比為2，的等比數(shù)列的前項(xiàng)，從而形成新的數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．2．【多選題】（2021·河北高三其他模擬）數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類(lèi).螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長(zhǎng)為1的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得；再作正方形的內(nèi)接正方形，且使得；類(lèi)似地，依次進(jìn)行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(其中第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，…)，第n個(gè)直角三角形(陰影部分)的面積為(其中第1個(gè)直角三角形的面積為，第2個(gè)直角三角形的面積為，…)，則（）A．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和3．（2022·河南高三月考（文））已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列滿足，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足首項(xiàng)為1，前3項(xiàng)和為7.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求最小值.6．（2021·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三其他模擬（理））已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在正整數(shù)，使得，求的最小值.7.（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列中，去掉第項(xiàng)，第項(xiàng)，…，第項(xiàng)（為正整數(shù)）得到的數(shù)列記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求證：.9．（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列中，，（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.10．（2020屆山東濟(jì)寧市兗州區(qū)高三網(wǎng)絡(luò)模擬考）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q，且，____________．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．（2）記，求數(shù)列，的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））數(shù)列中，，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．3．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4.（2020·全國(guó)高考真題（文））設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．5.（2020·山東省高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．6.（2020·天津高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．專(zhuān)題7.4數(shù)列求和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)高三其他模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】采用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和【詳解】因?yàn)椋怨蔬xC.2．（2017·全國(guó)高考真題（理））（2017新課標(biāo)全國(guó)II理科）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞【答案】B【解析】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1解得a1=3．故選：B．3．（2019·全國(guó)高考真題（文））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．4．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）【多選題】在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān).”則下列說(shuō)法正確的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】設(shè)此人第天走里路，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，解得，?duì)于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正確；對(duì)于B，由于，所以B不正確；對(duì)于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正確；對(duì)于D，由于，所以D正確，故選：ACD5.（2019·全國(guó)高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．6．（2021·四川成都市·石室中學(xué)高三三模）記為遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)_____.【答案】1023【解析】首先利用已知條件求得等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，解得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以即，解得或，因?yàn)榈缺葦?shù)列是遞增數(shù)列，所以，，所以.故答案為：10237．（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列中不超過(guò)2021的所有項(xiàng)的和為_(kāi)__________.【答案】2046【解析】先根據(jù)題意列方程組，求出通項(xiàng)公式，再判斷不超過(guò)2021的所有項(xiàng)的和為前10項(xiàng)的和，直接利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和即可.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，，因?yàn)椋?，所以，解得：，所?令，解得：.所以數(shù)列中不超過(guò)2021的所有項(xiàng)的和為：.故答案為：2046.8．（2021·福建高三其他模擬）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比數(shù)列的公比，由，即可求解；（2）由（1）求出通項(xiàng)公式，可得數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）令，則由可得，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式相減，可得，即，依題意，為等比數(shù)列，故；（2）由（1）可知為首項(xiàng)等于1，公比等于2的等比數(shù)列，故；故為首項(xiàng)等于，公比等于的等比數(shù)列，故．故．9．（2021·遼寧高三其他模擬）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且滿足．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設(shè)出數(shù)列的公差和公比，結(jié)合條件求出公差和公比，然后寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）求出，結(jié)合錯(cuò)位相減法求和可得數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由，則1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，因?yàn)?，所以，整理得，解得q＝2，所以；（2），，兩式相減，得所以．10．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和Sn，滿足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，可得所求；（2）求得，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，所以，即，在中，令，可得因?yàn)?，所以故是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，所以.（2）因?yàn)樗怨示毺嵘齌IDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·吉林松原市·高三月考）在數(shù)學(xué)課堂上，為提高學(xué)生探究分析問(wèn)題的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：現(xiàn)有一個(gè)每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為2，公比為2，的等比數(shù)列的前項(xiàng)，從而形成新的數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)題意求出n，然后即可求出，再利用錯(cuò)位相減法求出新數(shù)列的和.【詳解】設(shè)介于第個(gè)1與第個(gè)1之間或者為這兩個(gè)1當(dāng)中的一個(gè)，則從新數(shù)列的第1個(gè)1到第個(gè)1一共有項(xiàng)，從新數(shù)列的第1個(gè)1到第個(gè)1一共有項(xiàng)，所以，解得，而，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，令，則，，，所以，故D正確，C錯(cuò)誤，故選：AD.2．【多選題】（2021·河北高三其他模擬）數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類(lèi).螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長(zhǎng)為1的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得；再作正方形的內(nèi)接正方形，且使得；類(lèi)似地，依次進(jìn)行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為(其中第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，…)，第n個(gè)直角三角形(陰影部分)的面積為(其中第1個(gè)直角三角形的面積為，第2個(gè)直角三角形的面積為，…)，則（）A．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和【答案】BD【解析】先得到，即可判斷A，再求出，可判斷B與C，最后求出，可判斷D.【詳解】如圖：由圖知，對(duì)于A：，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故A不正確；對(duì)于BC：因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故B正確，C不正確；對(duì)于D：因?yàn)椋蔇正確，故選：BD.3．（2022·河南高三月考（文））已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）由（1）知，單調(diào)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，可得，即，又因?yàn)?，可得，所以，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，可得，則.令，則，所以，所以.所以.4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列滿足，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足首項(xiàng)為1，前3項(xiàng)和為7.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得首項(xiàng)和公差，可得；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，q>0，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得q，進(jìn)而得到；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和，即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，解得，則；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，q>0，由首項(xiàng)為1，前3項(xiàng)和為7，可得，解得q=2，則；（2）由（1）可得，所以，則，兩式相減可得=，所以.5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三其他模擬（理））已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【解析】（1）由已知條件得到為等比數(shù)列，即可得到通項(xiàng)；（2）錯(cuò)位相減求出，根據(jù)單調(diào)性求出最小值.【詳解】解：（1）由，得，是以2為公比的等比數(shù)列，記公比為，又，，；（2），，，兩式相減，得，即，又，單調(diào)遞增，時(shí)，最小，最小值為.6．（2021·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高三其他模擬（理））已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在正整數(shù)，使得，求的最小值.【答案】（1）；（2）11.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)條件列出，求得首項(xiàng)和公比，從而求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得滿足條件的最小n值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，．由題意得，即，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）有.由得，，即.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，上式不成立；-當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，則.綜上，的最小值為11.7.（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列中，去掉第項(xiàng)，第項(xiàng)，…，第項(xiàng)（為正整數(shù)）得到的數(shù)列記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，根據(jù)三者之間的關(guān)系可整理得到當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，利用等差數(shù)列求和公式可整理求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：，；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為；，，…①，，…②，，，…③，由①知：當(dāng)時(shí)，；由③知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，；由②知：當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；；綜上所述：.8．（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求證：.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】（Ⅰ）解：令，則，則，令，則，得，∵為等差數(shù)列，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（Ⅱ）證：由題意得，∴，∴，∴，∴，∵，∴為遞增數(shù)列，即，∴成立．9．（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列中，，（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.【答案】（I）見(jiàn)解析（2）最大，即【解析】（1）兩式相減，得∴即：∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，即也滿足上式令，則，∴最大，即10．（2020屆山東濟(jì)寧市兗州區(qū)高三網(wǎng)絡(luò)模擬考）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q，且，____________．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．（2）記，求數(shù)列，的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】方案一：選條件①（1）解得或（舍去）（2）方案二：選條件②（1）解得或（舍去）（2）方案三：選條件③解得或（舍去）（2）練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國(guó)高考真題（理））數(shù)列中，，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.2．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．3．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.4.（2020·全國(guó)高考真題（文））設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因?yàn)?，所?5.（2020·山東省高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由于，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè).所以.6.（2020·天津高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.專(zhuān)題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·浙江高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列}，，是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則下列關(guān)系成立的是（）A． B．C． D．2．（2021·江西贛州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問(wèn)題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問(wèn)題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問(wèn)題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開(kāi)始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．5 B．6 C．7 D．83.【多選題】（2020·湖南高三月考）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開(kāi)設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤(rùn)是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費(fèi)400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列論述正確的有（）(參考數(shù)據(jù)：)A．B．C．2020年小王的年利潤(rùn)為40000元D．兩年后，小王手中現(xiàn)款達(dá)41萬(wàn)4．（2021·江西高三其他模擬（理））已知公差不為0的等差數(shù)列的部分項(xiàng)，，，……構(gòu)成等比數(shù)列，且，，，則___________.5．（2021·西安市經(jīng)開(kāi)第一中學(xué)高三其他模擬（理））數(shù)列滿足：，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中為常數(shù)，且（1）若成等比數(shù)列，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.6.（2021·江蘇高考真題）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為且求的取值范圍.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模擬）在數(shù)列中，.等差數(shù)列的前兩項(xiàng)依次為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.9．（2021·重慶高三三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．10．（2021·沂水縣第一中學(xué)高三其他模擬）在數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，證明：．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·河南鄭州市·高三三模（文））1967年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙德?tīng)柌剂_的文章《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類(lèi)圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來(lái)得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長(zhǎng)度為1，在線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個(gè)正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類(lèi)推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個(gè)圖形（圖1為第一個(gè)圖形）中的所有線段長(zhǎng)的和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則a的最小值為_(kāi)_________．2．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶南開(kāi)中學(xué)高三月考）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.3．（2021·全國(guó)高三其他模擬）有下列三個(gè)條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題中“___________”處，使問(wèn)題完整，并加以解答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意的，都有___________.已知數(shù)列滿足，是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.4.（2021·四川自貢市·高三三模（文））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a1，b6＝a5．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：3Tn＜1．5．（2021·全國(guó)高三其他模擬）在①；②；③成等差數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，且___.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若（），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.6．（2021·寧波市北侖中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)；（2）求的前項(xiàng)和及的前項(xiàng)和為．7．（2021·湖北高三其他模擬）在等比數(shù)列{an}中，公比，其前n項(xiàng)和為Sn，且S2=6，___________.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列{cn}滿足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.從①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3與2的等差中項(xiàng)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題中的橫線上，并作答.8．（2021·全國(guó)高三其他模擬）從①，②，③中任選一個(gè)填入下面的空中，并解答．設(shè)等比數(shù)列的公比，且____．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．9．（2021·浙江高三其他模擬）已知數(shù)列{}滿足，且=，n∈（是等比數(shù)列，是等差數(shù)列），記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，{}的前n項(xiàng)和為，若公比數(shù)q等于公差數(shù)d，且（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求（n≥2，且n∈）的最小值．10．（2021·浙江金華市·高三三模）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·北京高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)2.（2020·浙江省高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．3.（2019年浙江卷）設(shè)，數(shù)列中，，,則（）A.當(dāng) B.當(dāng)C.當(dāng) D.當(dāng)4．（2020·江蘇省高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．5.（2019年浙江卷）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記證明：6.（2021·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明專(zhuān)題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·浙江高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列}，，是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則下列關(guān)系成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，由題意可得：，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，由題意可得：A.,故A不正確；B.，故B正確；C.，故C不正確；D.，故D不正確.故選：B2．（2021·江西贛州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問(wèn)題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問(wèn)題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問(wèn)題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開(kāi)始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】把各層的鉛筆數(shù)看出等差數(shù)列，利用求和公式得到，由n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把四個(gè)選項(xiàng)一一代入驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè)最上面一層放根，一共放n（n≥2）層，則最下一層放根，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得：，∴，∵,∴n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把各個(gè)選項(xiàng)分別代入，驗(yàn)證，可得：n=8滿足題意.故選：D3.【多選題】（2020·湖南高三月考）在“全面脫貧”行動(dòng)中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開(kāi)設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算每月獲得的利潤(rùn)是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費(fèi)400元，余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列論述正確的有（）(參考數(shù)據(jù)：)A．B．C．2020年小王的年利潤(rùn)為40000元D．兩年后，小王手中現(xiàn)款達(dá)41萬(wàn)【答案】BCD【解析】由題可知，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為之間的遞推關(guān)系為，，進(jìn)而根據(jù)遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式即可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，元，故A錯(cuò)誤對(duì)于B選項(xiàng)，第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則第月月底小王手中有現(xiàn)款為，由題意故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由得所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為1.2的等比數(shù)列，所以，即所以2020年小王的年利潤(rùn)為元，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，兩年后，小王手中現(xiàn)款為元，即41萬(wàn)，故D正確.故選：BCD.4．（2021·江西高三其他模擬（理））已知公差不為0的等差數(shù)列的部分項(xiàng)，，，……構(gòu)成等比數(shù)列，且，，，則___________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)列式求得．然后再由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求得．【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，

由已知，

即，得，

于是，在等比數(shù)列中，公比．

由為數(shù)列的第項(xiàng)，知；

由為數(shù)列的第項(xiàng)，知，

，故.

故答案為．5．（2021·西安市經(jīng)開(kāi)第一中學(xué)高三其他模擬（理））數(shù)列滿足：，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中為常數(shù)，且（1）若成等比數(shù)列，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先由條件，列式表示為，，，再根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求的值；（2）由條件，歸納可知，再求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】解：（1）由可得，，，所以，，.又，，成等比數(shù)列，所以，則，又，故.（2）時(shí)，，∴，，…，，.6.（2021·江蘇高考真題）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【解析】（1）計(jì)算得到，得到答案.（2），得到數(shù)列通項(xiàng)公式.（3）根據(jù)分組求和法計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由，得，∴，又，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2），∴.（3）.7．（2021·全國(guó)高三其他模擬（理））已知在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為且求的取值范圍.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由條件求得公差，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）求出通項(xiàng)公式，利用分組求和求得，且單增，找到符合的最小n值即可.【詳解】（1）由等差數(shù)列性質(zhì)知，，則，故公差，故（2）由（1）知，易知單調(diào)遞增，且，，故，解得，.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模擬）在數(shù)列中，.等差數(shù)列的前兩項(xiàng)依次為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）cn=8n-10；（2）Sn=(4n-9)×2n+2+36.【解析】（1）根據(jù)遞推公式計(jì)算，，利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.（2）將題目中兩式相加得到，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，計(jì)算得到通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【詳解】解（1）∵a1=b1=1，∴，則數(shù)列{cn}的公差d=6-(-2)=8.∴數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=-2+8(n-1)=8n-10.（2）an+1=3an-bn-3n-1，①bn+1=3bn-an+3n+1，②①+②，得an+1+bn+1=2(an+bn).∵a1+b1=2，∴數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an+bn=2n.∴Sn=-2×2+6×22+…+(8n-10)×2n，則2Sn=-2×22+6×23+…+(8n-10)×2n+1，∴Sn-2Sn=-4+8(22+23+…+2n)-(8n-10)×2n+1，即-Sn=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)×2n+1=(18-8n)×2n+1-36，∴Sn=(4n-9)×2n+2+36.9．（2021·重慶高三三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用裂項(xiàng)求和法求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證得.【詳解】（1）解：，令，解得時(shí)，兩式相減，得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）證明單調(diào)遞增，所以1即10．（2021·沂水縣第一中學(xué)高三其他模擬）在數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）利用已知條件推出數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為1，求出通項(xiàng)公式，結(jié)合由，，成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法，求解數(shù)列的和即可．【詳解】證明：（1）由，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為1，因此，，，由成等比數(shù)列，得，即，解得或（舍去），故．（2）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·河南鄭州市·高三三模（文））1967年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙德?tīng)柌剂_的文章《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類(lèi)圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來(lái)得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長(zhǎng)度為1，在線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個(gè)正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類(lèi)推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個(gè)圖形（圖1為第一個(gè)圖形）中的所有線段長(zhǎng)的和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則a的最小值為_(kāi)_________．【答案】2．【解析】根據(jù)圖形之間的關(guān)系可得的遞推關(guān)系，從而可求的通項(xiàng)公式，故可求a的最小值.【詳解】設(shè)第個(gè)圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則當(dāng)時(shí)，，設(shè)第個(gè)圖形中新增加的等邊三角形的個(gè)數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，，故，其中，由累加法可得，時(shí)，也符合該式，故，故對(duì)任意的恒成立，故即a的最小值為2.故答案為：2.2．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶南開(kāi)中學(xué)高三月考）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用已知條件求出公差d，再利用求通項(xiàng)公式即可；（2）先計(jì)算通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求，代入化簡(jiǎn)數(shù)列不等式為對(duì)任意恒成立，再求最小值即得結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故，又，，成等比數(shù)列，所以，故，將代入得，即，又知，故，所以；（2）由（1）知，，故，所以，即，故，即對(duì)任意恒成立，而在上單調(diào)遞增，故在時(shí)單調(diào)遞增，，所以，故的取值范圍為.3．（2021·全國(guó)高三其他模擬）有下列三個(gè)條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題中“___________”處，使問(wèn)題完整，并加以解答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意的，都有___________.已知數(shù)列滿足，是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)等差?等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列單調(diào)性來(lái)找到數(shù)列的最大項(xiàng)，題干中有3個(gè)條件，選取一個(gè)進(jìn)行分析即可.【詳解】記，從而有().選擇①，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，?所以，所以.由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，即取得最大值.所以存在，2，使得對(duì)任意的，都有.選擇②，方法一：是公差為1的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，上式成立，所以.所以，從而.由，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值.所以存在，使得對(duì)任意的，都有.方法二：利用“夾逼法”，即利用來(lái)求解.，由()，得，解得.選擇③，方法一：，則，從而，即.又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.所以，從而，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故不存在，使得對(duì)任意的，都有.方法二：利用求解.，，則，因?yàn)椋圆淮嬖?，使得?duì)任意的，都有.4.（2021·四川自貢市·高三三模（文））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a1，b6＝a5．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：3Tn＜1．【答案】（1）；；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）首先利用時(shí)，求得，進(jìn)而得到數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，最后根據(jù)首項(xiàng)和公比寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可，再根據(jù)b1＝a1，b6＝a5求得的公差，再寫(xiě)出的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和，最后證明不等式即可.【詳解】解：（1）由，可得n＝1時(shí)，，解得，n≥2時(shí)，，又，兩式相減可得，即有，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以；設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，可得，所以；（2）證明：所以則3Tn＜1．5．（2021·全國(guó)高三其他模擬）在①；②；③成等差數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，且___.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若（），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若選①，由，有，兩式相減，可得數(shù)列為等比數(shù)列，再由首項(xiàng)可求通項(xiàng)；若選②，由，得，再由首項(xiàng)可求通項(xiàng)；若選③，由成等比數(shù)列，得，再由首項(xiàng)可求通項(xiàng).（2）先帶入化簡(jiǎn)，再裂項(xiàng)求和即可.【詳解】（1）若選①，由，有，兩式相減并整理有，可知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比也為2的等比數(shù)列，所以；若選②，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，由，有，即，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比也為2的等比數(shù)列，所以；若選③，由成等比數(shù)列，有，即，因?yàn)橛?，所以有，解得，（舍），?shù)列是首項(xiàng)為2，公比也為2的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)椋?，所?6．（2021·寧波市北侖中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)；（2）求的前項(xiàng)和及的前項(xiàng)和為．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；；（2）；．【解析】（1）根據(jù)題中條件，推出，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由錯(cuò)位相減法，即可求出；設(shè)，先由題中得到的通項(xiàng)，再由分組求和法計(jì)算，根據(jù)求，進(jìn)而可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此；（2）由（1）可得①，則②，①②得，則；設(shè)，則，所以；；因此.7．（2021·湖北高三其他模擬）在等比數(shù)列{an}中，公比，其前n項(xiàng)和為Sn，且S2=6，___________.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列{cn}滿足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.從①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3與2的等差中項(xiàng)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題中的橫線上，并作答.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）選條件①時(shí)，利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;選條件②時(shí)，利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選條件③時(shí)，利用等差中項(xiàng)的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1），得,則，利用累加法結(jié)合裂項(xiàng)相消法，可求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.【詳解】解：(1)若選條件①時(shí)，由S2=6及S4=30，得a1+a2=6，a1+a2+a3+a4=30，兩式相減，得a3+a4=24，即q2(a1+a2)=24，所以q2=4，由，解得，代入a1+a2=6，得a1+2a1=6，解得a1=2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.若選條件②時(shí)，S6﹣S4=96.因?yàn)镾6﹣S4=a5+a6=96，a1+a2=6，所以，a1+a1q=6，兩式相除，得q4=16，結(jié)合q>0，得q=2，所以a1+2a1=6，解得a1=2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.若選條件③時(shí)，a3是S3與2的等差中項(xiàng).由a3是S3與2的等差中項(xiàng)，得2a3=S3+2，則2a3=a1+a2+a3+2，由a1+a2=6，得a3=8，由通項(xiàng)公式，得a1+a1q=6，，消去a1，得3q2﹣4q﹣4=0，結(jié)合q>0，解得q=2，代入a1+a1q=6，得a1=2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.（2）由（1），得，，所以當(dāng)時(shí)，cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+(c4﹣c3)++(cn﹣cn﹣1).又c1=1也適合上式，故數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式是.8．（2021·全國(guó)高三其他模擬）從①，②，③中任選一個(gè)填入下面的空中，并解答．設(shè)等比數(shù)列的公比，且____．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)可得關(guān)于的方程，兩個(gè)方程解出兩個(gè)未知數(shù)；（2）若選①②，結(jié)合表達(dá)式的特點(diǎn)，可用錯(cuò)位相減法求和，若選③，，可用分組求和法解題.【詳解】（1）設(shè)的公比為，因?yàn)椋?，即，解得或舍去，所以?）設(shè)的前項(xiàng)和為，若選①，，兩式相減得所以若選②，兩式相減得，所以．若選③當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以9．（2021·浙江高三其他模擬）已知數(shù)列{}滿足，且=，n∈（是等比數(shù)列，是等差數(shù)列）