函數(shù)的奇偶性及周期性練習(xí)題

函數(shù)的奇偶性與周期性一、函數(shù)的奇偶性知識點(diǎn)歸納1函數(shù)的奇偶性的定義：如果對于函數(shù)f(*)定義域的任意一個(gè)*,都有f(-*)=f(*),則函數(shù)f(*)就叫偶函數(shù).如果對于函數(shù)f(*)定義域的任意一個(gè)*,都有f(-*)=-f(*),則函數(shù)f(*)就叫奇函數(shù).2奇偶函數(shù)的性質(zhì)：〔1〕定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；〔2〕偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；3為偶函數(shù)；假設(shè)奇函數(shù)的定義域包含，則“f(*)為奇函數(shù)〞是"f(0)=0"的非充分非必要條件；4判斷函數(shù)的奇偶性的方法：(1)定義法：假設(shè)函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間，則立即判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；假設(shè)函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間，再判斷f(-*)=-f(*)或f(-*)=f(*)是否成立判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：，(2)圖像法：奇〔偶〕函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于原點(diǎn)〔或y軸〕對稱.5設(shè)，的定義域分別是，則在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇應(yīng)用舉例1、常見函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)：〔為常數(shù)〕，，，為常數(shù)〕偶函數(shù)：〔為常數(shù)〕，時(shí)既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)〔，〔，〔為常數(shù)〕，非奇非偶函數(shù)：，，，，，既奇又偶函數(shù)：2、對奇偶性定義的理解例1下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(*)=0(*∈R)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯(cuò)誤;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，因此②不正確;假設(shè)y=f(*)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(*)=0，但不一定*∈R，故④錯(cuò)誤，選A．練習(xí)：1、〔2007全國Ⅰ〕，是定義在R上的函數(shù)，，則“，均為偶函數(shù)〞是“為偶函數(shù)〞的BA.充要條件B.充分而不必要的條件C.必要而不充分的條件D.既不充分也不必要的條件解析:∵f(*)、g(*)均為偶函數(shù),∴f(－*)=f(*),g(－*)=g(*).∴h(－*)=f(－*)+g(－*)=f(*)+g(*)=h(*).∴h(*)為偶函數(shù).但假設(shè)h(－*)=h(*),即f(－*)+g(－*)=f(*)+g(*),不一定f(－*)=f(*),g(－*)=g(*),例f(*)=*2+*,g(*)=－*.2、〔2007〕設(shè)f〔*〕=lg〔〕是奇函數(shù)，則使f〔*〕＜0的*的取值圍是AA.〔-1，0〕B.〔0，1〕C.〔-∞，0〕D.〔-∞，0〕∪〔1，+∞〕解析:∵f(*)為奇函數(shù),∴f(0)=0.解之,得a=－1.∴f(*)=lg.令f(*)＜0,則0＜＜1,∴*∈(－1,0).3、函數(shù)解析式，判斷或證明函數(shù)的奇偶性例2判斷以下函數(shù)的奇偶性(1)f(*)=*3+*(2)f(*)=3*4+6*2+a(3)f(*)=3*+1(4)f(*)=*2，*∈[-4,4)，〔5〕例3判斷以下各函數(shù)的奇偶性：〔1〕；〔2〕；解：〔1〕由，得定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)不對稱，∴為非奇非偶函數(shù)〔2〕由得定義域?yàn)?，∴，∵∴為偶函?shù)練習(xí)：1、判斷函數(shù)f(*)=的奇偶性解：由題∴函數(shù)的定義域?yàn)閇－1,0)∪(0,1]=－f(*)此時(shí)=－f(*)故f(*)是奇函數(shù)4、抽象函數(shù)奇偶性的判定與證明例4〔2007西城〕函數(shù)對一切，都有，〔1〕求證：是奇函數(shù)；〔2〕假設(shè)，用表示解：〔1〕顯然的定義域是，它關(guān)于原點(diǎn)對稱．在中，令，得，令，得，∴，∴，即，∴是奇函數(shù)．〔2〕由，及是奇函數(shù)，得．例5．(2006年)設(shè)是上的任意函數(shù)，以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是〔C〕Ａ．是奇函數(shù)Ｂ．是奇函數(shù)Ｃ．是偶函數(shù)Ｄ．是偶函數(shù)解：據(jù)奇偶函數(shù)性質(zhì)：易判定f〔*〕·f〔-*〕是偶函數(shù)，f〔*〕-f〔-*〕是奇函數(shù)f〔*〕·|f〔-*〕|的奇偶取決于f〔*〕的性質(zhì)，只有f〔*〕+f〔-*〕是偶函數(shù)正確。5、利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式或求值例6、f(*)是奇函數(shù)，且當(dāng)*>0時(shí)，f(*)=*|*-2|，求*<0時(shí)，f(*)的表達(dá)式.解：∵f(*)是奇函數(shù)，且當(dāng)*>0時(shí)，f(*)=*|*-2|，∴當(dāng)*<0時(shí)，f(*)＝-f(-*)＝-(-*)|(-*)-2|=*|*+2|.練習(xí)：是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的解析式為例7〔2007黃岡中學(xué)月考〕函數(shù)，求+++的值解：由得函數(shù)的定義域是又成立，函數(shù)是奇函數(shù)+=0+=0∴+++=0例8〔2007、〕設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則－1解析:∵f(*)=,∴f(－*)=－又∵f(*)為奇函數(shù),∴f(*)=－f(－*).∴=.∴∴a=－1.練習(xí)：是偶函數(shù)，定義域?yàn)?，則，b=0解：，6、偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，運(yùn)用可將偶函數(shù)問題轉(zhuǎn)化至的圍解決。例9、設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，假設(shè)，數(shù)的取值圍。解：又當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)練習(xí)：是偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，假設(shè)，且，則〔〕二、函數(shù)的周期性知識點(diǎn)歸納定義：假設(shè)T為非零常數(shù)，對于定義域的任一*，使恒成立則f(*)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集常見函數(shù)周期:①y=sin*，最小正周期T＝2π；②y=cos*，最小正周期T＝2π；③y=tan*，最小正周期T＝π；④y=cot*，最小正周期T＝π.周期函數(shù)變換后的周期周期函數(shù)f(*)最小正周期為T,則y=Af(ω*+φ)+k的最小正周期為T/|ω|.例10函數(shù)f(*)對任意實(shí)數(shù)*,都有f(*＋m)＝－f(*),求證:2m是f(*)的一個(gè)周期.證明：因?yàn)閒(*＋m)＝－f(*)所以，f(*＋2m)＝f[(*＋m)＋m]＝－f(*＋m)＝f(*)所以f(*)是以2m為周期的周期函數(shù).練習(xí)：1、函數(shù)f(*)對任意實(shí)數(shù)*,都有f(*＋m)＝f(*-m),求證:2m是f(*)的一個(gè)周期證明：因?yàn)閒(*＋m)＝f(*-m)所以，f(*＋2m)＝f[(*＋m)＋m]＝f[(*＋m)-m]＝f(*)所以f(*)是以2m為周期的周期函數(shù).以上兩題可作為結(jié)論記，注意f(*＋m)＝f(*-m)與f(m＋*)＝f(m-*)的區(qū)別，f(m＋*)＝f(m-*)是f(*)圖像的對稱軸2、函數(shù)f(*)對任意實(shí)數(shù)*,都有，求證:2m是f(*)的一個(gè)周期.證明：由f(*＋2m)＝f[(*＋m)＋m]所以f(*)是以2m為周期的周期函數(shù).3、設(shè)偶函數(shù)對任意，都有，且當(dāng)時(shí)，,則的值為(D)A.B.C.D.解：三、函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合運(yùn)用例11f(*)是偶函數(shù)，而且在(－∞,0)上是增函數(shù)，問f(*)在(0，+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：設(shè)0＜*1＜*2＜+∞則－∞＜－*2＜－*1＜0∵f(*)在(－∞,0)上是增函數(shù)∴f(－*2)＜f(－*1)∵f(*)是偶函數(shù)∴f(*2)＜f(*1)故f(*)在(0，+∞)上是減函數(shù)知識點(diǎn)：偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上對稱性一樣例12函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，假設(shè)，求不等式的解集解：又函數(shù)是奇函數(shù)，它在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一樣且例13、是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求，解：，例14、〔2005〕是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且,則方程f(*)=0在區(qū)間〔0，6〕解的個(gè)數(shù)的最小值是DA．2B．3C．4D．5解析：依題可知f〔*〕=f〔*+3〕.f〔2〕=f〔5〕=0.又∵f〔*〕是定義在R上的奇函數(shù)，∴f〔－*〕=－f〔*〕.∴f〔－2〕=－f〔2〕=0.∴f〔－2〕=f〔1〕=f〔4〕=0.又∵奇函數(shù)有f〔0〕=0，∴f〔3〕=f〔6〕=0.∴在〔0，b〕f〔*〕=0解的個(gè)數(shù)最小值為5.練習(xí)：1、〔2007〕定義域?yàn)镽的函數(shù)f(*)在(8,+∞)上為減函數(shù),且函數(shù)y=f(*+8)為偶函數(shù),則DA.f(6)＞f(7)B.f(6)＞f(9)C.f(7)＞f(9)D.f(7)＞f(10)解析：∵y=f(*+8)為偶函數(shù)，∴y=f(*)圖象關(guān)于*=8對稱.又∵y=f(*)在(8，+∞)上為減函數(shù)，∴y=f(*)在(－∞，8)上為增函數(shù).∴f(7)=f(9)，f(9)＞f(10).∴f(7)＞f(10).2、(2006)定義在R上的奇函數(shù)f(*)滿足f(*+2)＝-f(*)，則f(6)的值為B(A)-1(B)0(C)1(D)2解析：∵f〔*+2〕=-f〔*〕.∴f〔6〕=f〔4+2〕=-f〔4〕=f〔2〕=-f〔2〕.又-f〔*〕為R上的奇函數(shù)，∴f〔2〕=0∴f〔6〕=0.3、〔2005〕假設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的*的取值圍是〔D〕A．B．C．D．〔－2，2〕解析：∵f〔2〕=0且f〔*〕為偶函數(shù)，∴f〔－2〕=0.又∵f〔*