小學(xué)奧數(shù)-舉一反三三年級

第1講找規(guī)律一、知識要點(diǎn)按照一定次序排列起來的一列數(shù)，叫做數(shù)列。如自然數(shù)列：1，2，3，4，……雙數(shù)列：2，4，6，8，……我們研究數(shù)列，目的就是為了發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并依據(jù)這個規(guī)律來填寫空缺的數(shù)。按照一定的順序排列的一列數(shù)，只要從連續(xù)的幾個數(shù)中找到規(guī)律，則就可以知道其余所有的數(shù)。尋找數(shù)列的排列規(guī)律，除了從相鄰兩數(shù)的和、差考慮，有時還要從積、商考慮。善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律是填數(shù)的關(guān)鍵。二、精講精練【例題1】在括號填上適宜的數(shù)?！?〕3，6，9，12，〔〕，〔〕〔2〕1，2，4，7，11，〔〕，〔〕〔3〕2，6，18，54，〔〕，〔〕練習(xí)1：在括號填上適宜的數(shù)。〔1〕2，4，6，8，10，〔〕，〔〕〔2〕1，2，5，10，17，〔〕，〔〕〔3〕2，8，32，128，〔〕，〔〕〔4〕1，5，25，125，〔〕，〔〕〔5〕12，1，10，1，8，1，〔〕，〔〕【例題2】先找出規(guī)律，再在括號里填上適宜的數(shù)?！?〕15，2，12，2，9，2，〔〕，〔〕〔2〕21，4，18，5，15，6，〔〕，〔〕練習(xí)2：按規(guī)律填數(shù)。〔1〕2，1，4，1，6，1，〔〕，〔〕〔2〕3，2，9，2，27，2，〔〕，〔〕〔3〕18，3，15，4，12，5，〔〕，〔〕〔4〕1，15，3，13，5，11，〔〕，〔〕〔5〕1，2，5，14，〔〕，〔〕【例題3】先找出規(guī)律，再在括號里填上適宜的數(shù)?！?〕2，5，14，41，〔〕〔2〕252，124，60，28，〔〕〔3〕1，2，5，13，34，〔〕〔4〕1，4，9，16，25，36，〔〕練習(xí)3：按規(guī)律填數(shù)?！?〕2，3，5，9，17，〔〕，〔〕〔2〕2，4，10，28，82，〔〕，〔〕〔3〕94，46，22，10，〔〕，〔〕〔4〕2，3，7，18，47，〔〕，〔〕【例題4】根據(jù)前面圖形里的數(shù)的排列規(guī)律，填入適當(dāng)?shù)臄?shù)。51051091471211169141399327124363612〔3〕練習(xí)4：找出排列規(guī)律，在空缺處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。3737598121014121614848416168323216645151272118927【例題5】按規(guī)律填數(shù)。〔1〕187，286，385，〔〕，〔〕233123312541412346433524練習(xí)5：根據(jù)規(guī)律，在空格填數(shù)?！?〕198，297，396，〔〕，〔〕325432543864214526653257372537253895234527753425第2講有余除法一、知識要點(diǎn)把一些書平均分給幾個小朋友，要使每個小朋友分得的本數(shù)最多，這些書分到最后會出現(xiàn)什么情況呢？一種是全局部完，還有一種是有剩余，并且剩余的本數(shù)必須比小朋友的人數(shù)少，否則還可以繼續(xù)分下去。每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小，這就是有余數(shù)除法計算中特別要注意的。解這類題的關(guān)鍵是要先確定余數(shù)，如果余數(shù)，就可以確定除數(shù)，然后再根據(jù)被除數(shù)與除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系求出被除數(shù)。在有余數(shù)的除法中，要記?。骸?〕余數(shù)必須小于除數(shù)；〔2〕被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)。二、精講精練【例題1】[]÷6＝8……[]，根據(jù)余數(shù)寫出被除數(shù)最大是幾？最小是幾？【思路導(dǎo)航】除數(shù)是____，根據(jù)____________，余數(shù)可填_____________.根據(jù)____________，又商、除數(shù)、余數(shù)，可求出最大的被除數(shù)為6×8＋5＝53，最小的被除數(shù)為______________。列式如下：________________________________________答：被除數(shù)最大是53，最小是______。練習(xí)1：(1)下面題中被除數(shù)最大可填________，最小可填_______。[]÷8＝3……[](2)下面題中被除數(shù)最大可填________，最小可填_______。[]÷4＝7……[](3)下題中要使除數(shù)最小，被除數(shù)應(yīng)為________。[]÷[]＝12……4【例題2】算式[]÷[]＝8……［］中，被除數(shù)最小是幾？【思路導(dǎo)航】題中只告訴我們商是8，要使被除數(shù)最小，則只要除數(shù)和余數(shù)小就行。余數(shù)最小為______，則除數(shù)則為______。根據(jù)這些，我們就可求出被除數(shù)最小為：8×______＋______＝_______。練習(xí)2：(1)下面算式中，被除數(shù)最小是幾？①[]÷[]＝4……［］②[]÷[]＝7……［］③[]÷[]＝9……［］(2)下面算式中商和余數(shù)相等，被除數(shù)最小是幾？①[]÷[]＝3……［］②[]÷[]＝6……［］(3)算式[]÷8＝[]……［］中，商和余數(shù)都相等，則被除數(shù)最大是幾？【例題3】算式28÷[]＝[]……4中，除數(shù)和商分別是______和______?！舅悸穼?dǎo)航】根據(jù)“被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)〞，可以得知“商×除數(shù)＝被除數(shù)－余數(shù)〞，所以此題中商×除數(shù)＝28－4＝24。這兩個數(shù)可能是1和24，____和____，____和____，____和____，又因?yàn)橛鄶?shù)為4，因此除數(shù)可以是24,12,8,6,商分別為____，____，____，____。_________________________________________________________________答：除數(shù)和商分別是24，1；____，____；____，____；____，____。練習(xí)3：(1)下面算式中，除數(shù)和商各是幾？①22÷[]＝[]……4②65÷[]＝[]……2③37÷[]＝[]……7④48÷[]＝[]……6(2)149除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是5,請寫出所有這樣的兩位數(shù)。__________________________________________________________________________(3)算式[]÷4＝[]……[]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？__________________________________________________________________________【例題4】算式[]÷7＝[]……[]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？【思路導(dǎo)航】題目中告訴我們除數(shù)是7，商和余數(shù)相等，因?yàn)橛鄶?shù)必須比除數(shù)小，所以余數(shù)和商可為1,2,3,4,5,6,這樣被除數(shù)就可以求出來了。7×1＋1＝87×2＋2＝167×3＋3＝247×4＋4＝327×5＋5＝407×6＋6＝48答：被除數(shù)可以是8,16,24,32,40,48。練習(xí)4：(1)以下算式中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？①[]÷6＝[]……[]②[]÷5＝[]……[]③[]÷4＝[]……[]④[]÷3＝[]……[](2)一個三位數(shù)除以15，商和余數(shù)相等，請你寫出五個這樣的除法算式。(3)算式[]÷9＝[]……[]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)最大是____?！纠}5】算式[]÷[]＝[]……4中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？【思路導(dǎo)航】題目中告訴我們余數(shù)是4,除數(shù)和商相等，因?yàn)橛鄶?shù)必須比除數(shù)小，所以除數(shù)必須比4大，但其中要求最小的被除數(shù)，因而除數(shù)應(yīng)填_______，商也是______。由算式____________________，所以被除數(shù)最小是__________。練習(xí)5：下面算式中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？(1)[]÷[]＝[]……6(2)[]÷[]＝[]……8(3)[]÷[]＝[]……3(4)[]÷[]＝[]……9(5)[]÷[]＝[]……7第3講配對求和一、知識要點(diǎn)被人稱為“數(shù)學(xué)王子〞的高斯在年僅8歲時，就以一種非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的結(jié)果。小高斯是用什么方法算得這么快呢？原來，他用了一種簡便的方法：先配對再求和。數(shù)列的第一個數(shù)〔第一項(xiàng)〕叫首項(xiàng)，最后一個數(shù)〔最后一項(xiàng)〕叫末項(xiàng)，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個不變的數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個不變的數(shù)則稱為這個數(shù)列的公差。計算等差數(shù)列的和，可以用以下關(guān)系式：等差數(shù)列的和＝〔首項(xiàng)＋末項(xiàng)〕×項(xiàng)數(shù)÷2末項(xiàng)＝首項(xiàng)＋公差×〔項(xiàng)數(shù)－1〕項(xiàng)數(shù)＝〔末項(xiàng)－首項(xiàng)〕÷公差＋1二、精講精練【例題1】你有好方法算一算嗎？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝〔〕練習(xí)1：速算。(1)1+2+3+4+5+……+20(2)1+2+3+4+……+99+100(3)21+22+23+24+……+100【例題2】計算。(1)21+23+25+27+29+31(2)312+315+318+321+324練習(xí)2：計算。(1)48+50+52+54+56+58+60+62(2)108+128+148+168+188【例題3】有一堆木材疊堆在一起，一共是10層，第1層有16根，第2層有17根，……下面每層比上層多一根，這堆木材共有多少根？練習(xí)3：(1)體育館的東區(qū)共有30排座位，呈梯形，第1排有10個座位，第2排有11個座位，……這個體育館東區(qū)共有多少個座位？(2)有一串?dāng)?shù)，第1個數(shù)是10，以后每個數(shù)比前一個數(shù)大4,最后一個數(shù)是90，這串?dāng)?shù)連加的和是多少？(3)有一個鐘，一點(diǎn)鐘敲1下，兩點(diǎn)鐘敲2下，……十二點(diǎn)鐘敲12下，分鐘指向6敲1下，這個鐘一晝夜敲多少下？【例題4】計算992+993+994+995+996+997+998+999。練習(xí)4：計算。(1)95+96+97+98+99(2)2006+2007+2008+2009(3)9997+9998+9999(4)100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例題5】計算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81練習(xí)5：計算。(1)1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1(2)1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19(3)2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16第4講加減巧算一、知識要點(diǎn)在進(jìn)展加減運(yùn)算時，為了又快又好，除了要熟練地掌握計算法則外，還需要掌握一些巧算的方法。加減法的巧算主要是運(yùn)用“湊整〞的方法，把接近整十、整百、整千的數(shù)看做所接近的數(shù)進(jìn)展簡算。進(jìn)展加減巧算時，湊整之后，對于原數(shù)與整十、整百、整千……相差的數(shù)，要根據(jù)“多加要減去，少加要再加，多減要加上，少減要再減〞的原則進(jìn)展處理。另外，可以結(jié)合加法交換律、結(jié)合律以及減法的性質(zhì)進(jìn)展湊整，從而到達(dá)簡算的目的。二、精講精練【例題1】你有好方法迅速算出結(jié)果嗎？(1)502+799-298-98(2)9999+999+99+9練習(xí)1：計算。(1)308+203-399-97(2)99999+9999+999+99+9(3)1999+199+19(4)375+483+525+617【例題2】計算。(1)487+321+113+279(2)736-567+264(3)877+345-677(4)528-248-152練習(xí)2：計算。(1)321+127+73+279(2)235-125+365(3)987-733-167(4)487+(413-89)【例題3】計算下面各題。(1)962-(284+262)(2)432-(154-168)練習(xí)3：計算。(1)421+(279-125)(2)812+(168-112)(3)823-(175+323)(4)538-(283-162)【例題4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84練習(xí)4：計算。(1)800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5(2)1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90【例題5】計算:98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1練習(xí)5：計算。(1)2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006(2)1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99第5講圖形個數(shù)一、知識要點(diǎn)同學(xué)們，你想學(xué)會數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地數(shù)出線段、角、三角形、長方形……那就必須要有次序、有條理地數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以便得到正確的結(jié)果。要正確數(shù)出圖形的個數(shù)，關(guān)鍵是要從根本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的根本圖形是什么，有多少個，然后再數(shù)出由根本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。二、精講精練【例題1】數(shù)出以下圖中有多少條線段？【思路導(dǎo)航】方法一：我們可以采用以線段左端點(diǎn)分類數(shù)的方法。以A點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD3條；以B點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：BC、BD2條；以C點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：CD1條。所以，圖中共有線段3+2+1=6〔條〕。方法二：把圖中線段AB、BC、CD看做根本線段來數(shù)，則，由1條根本線段構(gòu)成的線段有：AB、BC、CD3條；由2條根本線段構(gòu)成的線段有:AC、BD2條；由3條根本線段構(gòu)成的線段有：AD1條。所以，圖中一共有3+2+1=6〔條〕線段。練習(xí)1：〔1〕數(shù)出以下圖中有多少條線段？〔2〕數(shù)出以下圖中有幾個長方形？【例題2】數(shù)出圖中有幾個角？【思路導(dǎo)航】數(shù)角的個數(shù)可以采用與數(shù)線段一樣的方法來數(shù)。方法一：以O(shè)A為一邊的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3個；以O(shè)B為一邊的角還有：∠BOC、∠BOD2個；以O(shè)C為一邊的角還有：∠COD1個。所以，圖中共有角3+2+1=6〔個〕。方法二：把圖中∠AOB、∠BOC、∠COD看做根本角來數(shù)，則，由1個根本角構(gòu)成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD3個；由2個根本角構(gòu)成的角有:∠AOC、∠BOD2個；由3個根本角構(gòu)成的角有：∠AOD1個。所以，圖中一共有3+2+1=6〔個〕角。練習(xí)2：數(shù)出圖中有幾個角？〔1〕〔2〕【例題3】數(shù)出右圖中共有多少個三角形？【思路導(dǎo)航】方法一：我們可以采用按邊分類數(shù)的方法。以PA為邊的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3個；以PB為邊的三角形還有：△PBC、△PBD2個；以PC為邊的三角形還有：△PCD1個。所以，圖中共有三角形3+2+1=6〔個〕。方法二：把圖中三角形△PAB、△PBC、△PCD看做根本三角形來數(shù)，則，由1個根本三角形構(gòu)成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD3個；由2個根本三角形構(gòu)成的三角形有:△PAC、△PBD2個；由3個根本三角形構(gòu)成的三角形有：△PAD1個。所以，圖中一共有3+2+1=6〔個〕三角形。方法三：我們發(fā)現(xiàn)，要數(shù)出圖中三角形的個數(shù)，只需數(shù)出線段AD中包含幾條線段就可以了，即3+2+1=6〔個〕。所以圖中共有6個三角形。練習(xí)3：數(shù)出圖中共有多少個三角形？〔1〕〔2〕【例題4】數(shù)出以下圖中有多少個長方形？【思路導(dǎo)航】數(shù)圖中有多少個長方形和數(shù)三角形的方法一樣，長方形是由長、寬兩對線段圍成，線段CD上有3+2+1=6〔條〕線段，其中每一條與AC中一條線段對應(yīng)，分別作為長方形的長和寬，這里共有6×1=6〔個〕長方形，而AC上共有2+1=3〔條〕線段也就有6×3=18〔個〕長方形。它的計算公式為：長方形的總數(shù)=長邊線段的總數(shù)×寬邊線段的總數(shù)〔3+2+1〕×〔2+1〕=18〔個〕答：圖中共有18個長方形。練習(xí)4：〔1〕數(shù)出以下圖中有多少個長方形？〔2〕數(shù)出以下圖中有多少個正方形？【例題5】有5個同學(xué)，每兩個人握手一次，一共要握手多少次？【思路導(dǎo)航】這道題可以用數(shù)線段的方法來解答。根據(jù)題意，畫出線段圖，每一個端點(diǎn)代表一個同學(xué)。從圖上可以看出，第1個同學(xué)要與其余4個同學(xué)握手共握手4次；第2個同學(xué)還要與其余3個同學(xué)握手共握手3次，第3個同學(xué)要與其余2個同學(xué)握手共握手2次；第4個同學(xué)還要與最后1個同學(xué)握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10〔次〕練習(xí)5：〔1〕銀海學(xué)校三年級有9個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣一共要拔河幾次？〔2〕有1，2，3，4，5，6，7，8等8個數(shù)字，能組成多少個不同的兩位數(shù)？第6講植樹問題一、知識要點(diǎn)爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？〞晶晶一看，隨口答題：“27米。〞同學(xué)們，晶晶答對了嗎？這一類應(yīng)用題我們通常稱為“植樹問題〞。解答這類問題的關(guān)鍵是要弄清總距離、間隔長和棵數(shù)三者之間的關(guān)系。解答植樹問題先要考慮植樹的方式，一般在不封閉的線路上植樹，棵數(shù)＝總距離÷間隔長＋1；在封閉的線路上植樹，棵數(shù)＝總距離÷間隔長。另外，生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解答。比方鋸木頭、爬樓梯問題等等，這時解題的關(guān)鍵是要將題目中的條件和問題與植樹問題中的“總距離〞、“間隔長〞、“棵數(shù)〞對應(yīng)起來。二、精講精練【例題1】小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？【思路導(dǎo)航】要得出正確的結(jié)果，我們可以畫出如下的示意圖：根據(jù)“已經(jīng)植了9棵〞，從圖中可以看出，第一棵樹和第九棵樹之間的間隔是9-1=8〔個〕，每個間隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24〔米〕，具體列式如下：3×〔9-1〕=3×8=24〔米〕答：第一棵和第九棵樹相距24米。練習(xí)1：〔1〕在路的一側(cè)插彩旗，每隔5米插一面，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共插了20面，這條道路有多長？〔2〕在學(xué)校的走廊兩邊，每隔4米放一盆菊花，從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共放了20盆，這條走廊長多少米？【例題2】在一條長42米的大路兩側(cè)栽樹，從起點(diǎn)到終點(diǎn)一共栽了14棵，相鄰兩棵樹之間的距離都相等，問相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？【思路導(dǎo)航】根據(jù)“在路的兩側(cè)共栽了14棵樹〞這個條件，我們可以先求出每一側(cè)栽了14÷2=7〔棵〕樹，則從第1棵樹到第7棵樹之間的間隔是7-1=6〔個〕。42米長的大路平均分成6段，每段是42÷6=7〔米〕。列式如下：42÷〔14÷2-1〕=42÷〔7-1〕=42÷6=7〔米〕答：相鄰兩棵樹之間的距離是7米。練習(xí)2：在公園一條長30米的路的兩側(cè)放椅子，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共放了12把椅子，相鄰兩把椅子的距離相等，相鄰兩把椅子之間相距多少米？【例題3】把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘，每鋸開一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段？【思路導(dǎo)航】我們先求出鋼管被鋸開了28÷4=7〔處〕，因而被鋸開的段數(shù)有7+1=8〔段〕。列式如下：28÷4+1=7+1=8〔段〕答：這根鋼管被鋸成了8段。練習(xí)3：一根圓木鋸成2米長的小段，一共花了12分鐘。每鋸下一段要3分鐘，這根圓木長多少米？【例題4】甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓，照這樣計算，甲跑到16樓時，乙跑到了多少樓？【思路導(dǎo)航】解答爬樓梯問題時，不能以樓層進(jìn)展計算，而要用樓梯段數(shù)進(jìn)展計算，因?yàn)榈谝粚訕鞘遣挥门赖模皹菍訑?shù)-1”才是要走的“樓梯段數(shù)〞，根據(jù)題意“甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓〞，實(shí)際上是說“〔3-1〕×[〔16-1〕÷〔4-1〕]+1=2×5+1=11〔樓〕答：甲跑到16樓時，乙跑到了11樓。練習(xí)4：小明和小紅兩人爬樓梯比賽，小明跑到第4層時，小紅跑到第5層，照這樣計算，當(dāng)小明跑到第16層時，小紅跑到了第幾層？【例題5】一個圓形跑道長300米，沿跑道周圍每隔6米插一面紅旗，每兩面紅旗中間插一面黃旗，跑道周圍各插了多少面紅旗和黃旗？【思路導(dǎo)航】在圓周上插旗，插的面數(shù)正好等于分成的段數(shù)，所以插了紅旗300÷6=50〔面〕，由于每兩面紅旗中間插一面黃旗，所以黃旗的面數(shù)就等于紅旗的面數(shù)，也是50面。300÷6=50〔面〕答：跑道周圍插了50面紅旗和50面黃旗。練習(xí)5：〔1〕有一個正方形水池，周長是200米。如果沿著水池周圍每隔10米裝一盞紅燈，再在相鄰的兩盞紅燈中間等距離地裝4盞黃燈。問水池周圍一共裝了幾盞紅燈？幾盞黃燈？〔2〕一條公路長480米，在兩旁植樹，兩端都植。每隔12米植一棵樟樹，兩棵樟樹中間又等距離地栽了3棵柳樹。問樟樹和柳樹各栽了多少棵？第7講簡單推理一、知識要點(diǎn)數(shù)學(xué)課上，教師布置了一道題：□＋△=28□=△＋△＋△□=〔〕△=〔〕要得出正確的結(jié)論，就要進(jìn)展分析、推理。學(xué)會了推理，能使你變得更聰明，頭腦更靈活。數(shù)學(xué)上有許多重大的發(fā)現(xiàn)和疑難問題的解決都離不開推理。解答這類推理題時，要求小朋友仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析等式中幾個圖形之間的關(guān)系，尋找解題的突破口，然后再利用等量代換、消去等方法來進(jìn)展解答。二、精講精練【例題1】下式中，□和△各代表幾？□＋△=28□=△＋△＋△□=〔〕△=〔〕【思路導(dǎo)航】根據(jù)□＋△=28，我們可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△，4個△等于28，一個△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。練習(xí)1：1．＋○=18=○＋○=〔〕○=〔〕2．△＋○=25△=○＋○＋○＋○△=〔〕○=〔〕3．○＋□=36○=□＋□＋□＋□＋□○=〔〕□=〔〕【例題2】下式中，□和△各代表幾？□×△=36□÷△=4□=〔〕△=〔〕【思路導(dǎo)航】根據(jù)□÷△=4可知△為一份，□是這樣的4份，即□=4△；又根據(jù)□×△=36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，進(jìn)一步得到△=3，□=4△=4×3=12。練習(xí)2：1．○和□各表示幾？○×□=16□÷○=4○=〔〕□=〔〕2．想想，填填?！稹痢?20○=△＋△＋△＋△＋△○=〔〕△=〔〕3．□和○各代表幾？□=○＋○＋○＋○○×□=16□=〔〕○=〔〕【例題3】下式中，□和△各代表幾？□＋□＋△=16□＋△＋△=14□=〔〕△=〔〕【思路導(dǎo)航】16里面有2個□，1個△；14里面有1個□，2個△，16減去14等于2，即□－△=2，則如果把△換成了□，則16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，則□=〔16＋2〕÷3=6，△=16－6×2=4。練習(xí)3：1．□＋□＋○＋○=38□＋□＋○=22□=〔〕○=〔〕2．□＋□＋□＋△＋△=52□＋□＋△＋△＋△=48□=〔〕△=〔〕3．○＋△＋□＋□=10△＋□＋△＋□=12△＋○＋□＋○=12○=〔〕□=〔〕△=〔〕【例題4】下式中，□和○各代表幾？□＋□＋○＋○＋○=34○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48□=〔〕○=〔〕【思路導(dǎo)航】34里面有2個□、3個○，48里面有3個□、4個○，用48減去34得到□＋○=14，34中有2個〔□＋○〕及1個○。所以，○=34－14×2=6，□=〔34－6×3〕÷2=8。練習(xí)4：1．＋＋△＋△＋△=24△＋△＋△＋△＋＋＋=36=〔〕△=〔〕2．○＋○＋○＋△＋△=54△＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76○=〔〕△=〔〕3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96△＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123□=〔〕△=〔〕【例題5】下式中，□、和△各代表幾？＋=□＋□＋□□＋□＋□=△＋△＋△＋△＋□＋△＋△=80=〔〕□=〔〕△=〔〕【思路導(dǎo)航】因?yàn)?個等于3個□，3個□又等于4個△，所以2個等于4個△，則1個等于2個△。在＋□＋△＋△=80中，2個△可以用1個替代，就變?yōu)椋酰?80，而2個又可以用3個□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。練習(xí)5：1．△＋△=○＋○＋○○＋○＋○=□＋□＋□○＋□＋△＋△=100○=〔〕□=〔〕△=〔〕2．○＋○=□＋□＋□□＋□＋□=△＋△△＋□＋○=40△=〔〕□=〔〕○=〔〕3．□＋□=○＋○＋○○＋○＋○=＋＋＋＋＋＋＋□＋○＋＋＋＋=320○=〔〕□=〔〕=〔〕第8講算式謎一、知識要點(diǎn)一個完整的算式，缺少幾個數(shù)字，那就成了一道算式謎。解算式謎，就是要將算式中缺少的數(shù)字補(bǔ)齊，使它成為一道完整的算式。解算式謎的思考方法是推理加上嘗試，首先要仔細(xì)觀察算式特征，由推理能確定的數(shù)先填上；不能確定的，要分幾種情況，逐一嘗試。分析時要認(rèn)真分析數(shù)字與所缺數(shù)字的關(guān)系，抓準(zhǔn)解題的突破口。二、精講精練【例題1】在下面算式的□，填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立。答案：【思路導(dǎo)航】被乘數(shù)個位是8，積的個位是2，可推出乘數(shù)可能是4或9，但積的百位上是7，因而乘數(shù)只能是4，被乘數(shù)百位是1，則十位上只能是9?！菜闶揭娪疑稀尘毩?xí)1：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立?！纠}2】□里填哪些數(shù)字，可使這道除法算式成為一道完整的算式？【思路導(dǎo)航】除數(shù)和商的*些位上的數(shù)，求被除數(shù)，可以從商的末位上的數(shù)與除數(shù)相乘的積想起，，可知被除數(shù)個位為0，再想商十位上的數(shù)與6的乘積為一位數(shù)，這個數(shù)只能是1，這樣確定商的十位為1，最后被除數(shù)十位上的數(shù)為。練習(xí)2：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。【例題3】在下面豎式的□里，各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立。答案：【思路導(dǎo)航】要求□里填哪些數(shù)，我們可以先想被除數(shù)的十位上的數(shù)是多少。容易知道，被除數(shù)的十位數(shù)字比7大，只可能是8或9。如果十位數(shù)字是8，則商的個位只能是2；如果十位數(shù)字是9，則商的個位是3或4。所以，這道題有三種填法〔見上頁〕。練習(xí)3：□里可以填哪些數(shù)字？【例題4】在下面豎式的□里，各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立。答案：【思路導(dǎo)航】通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，由于余數(shù)是7，則除數(shù)必須比7大，且被除數(shù)個位上應(yīng)填7；由于商是4時是除盡的，所以被除數(shù)十位上應(yīng)為2，同時，因而除數(shù)可能是3或8，可是除數(shù)必須比7大，因而除數(shù)只能是8，因而被除數(shù)百位上是3，而商的百位上為0，商的千位是8或3，所以一共有兩種填法〔見上〕。練習(xí)4：在下面豎式的□里，各填入一個適宜的數(shù)字，使算式成立?！纠}5】在下面□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。答案：【思路導(dǎo)航】通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，商的個位8與除數(shù)的乘積是48，由此可求出除數(shù)為6。再根據(jù)商的千位與6的乘積是二十幾，于是可求出商的千位是4，因而被除數(shù)的萬位是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除數(shù)的百位是1，十位是6，個位是8。〔填法見上〕練習(xí)5：在下面□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立。第9講乘法速算一、知識要點(diǎn)我們已經(jīng)學(xué)會了整數(shù)乘法的計算方法，但計算多位數(shù)乘法要一位一位地乘，運(yùn)算起來比擬麻煩。其實(shí)，多位數(shù)與一些特殊的數(shù)相乘，也可以用簡便的方法來計算。計算乘法時，如果一個因數(shù)是25，另一個因數(shù)考慮可拆成4×幾，這樣可“先拆數(shù)再擴(kuò)整〞。兩位數(shù)、三位數(shù)及更高位數(shù)乘以11，可采用“兩頭一拉，中間相加〞的方法，但要注意相鄰兩位相加作積的中間數(shù)時，哪一位上滿十要向前一位進(jìn)一。比方兩位數(shù)乘以11，我們有“兩位數(shù)與11相乘，首尾不變中間變，左右相加放中間，滿十進(jìn)一頭就變。〞二、精講精練【例題1】試著計算以下各題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？〔1〕26×11〔2〕57×11〔3〕253×11〔4〕467×11【思路導(dǎo)航】通過計算、觀察可以發(fā)現(xiàn)，一個數(shù)與11相乘，所得的結(jié)果就是將這個數(shù)的首位和末位拉開分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個數(shù)相鄰兩位由個位加起，和寫在十位、百位……，哪一位上滿十就向前一位進(jìn)一。〔1〕26×11=286〔2〕57×11=627〔3〕253×11=2783〔4〕247×11=2717練習(xí)1：很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕12×11〔2〕34×11〔3〕25×11〔4〕11×44〔5〕48×11〔6〕65×11〔7〕11×75〔8〕87×11〔9〕124×11〔10〕305×11〔11〕439×11〔12〕872×11【例題2】下面的乘法計算有規(guī)律嗎？〔1〕25×24〔2〕21×25〔3〕25×427〔4〕1998×25【思路導(dǎo)航】因?yàn)?5×4=100，因此，一個數(shù)與25相乘，我們就看這個數(shù)里有幾個4，有幾個4就有幾個100，余1就加25，余2就加50，余3就加75?！?〕25×24=100×6=600〔2〕21×25=100×5+25=525〔3〕25×427=100×106+75=10600+75=10675〔4〕1998×25=100×499+50=49900+50=49950練習(xí)2：速算?！?〕12×25〔2〕34×25〔3〕25×121〔4〕25×46〔5〕148×25〔6〕643×25〔7〕25×7252〔8〕5678×25【例題3】很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕24×15〔2〕248×15〔3〕5678×15【思路導(dǎo)航】因?yàn)?5=10+5，則24×15就可以寫成24×〔10+5〕，也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用36×10=360。一個因數(shù)乘以15，也就是用這個數(shù)加上它的一半再乘以10。具體過程如下：〔1〕24×15〔2〕248×15〔3〕5678×15=〔24+12〕×10=〔248+124〕×10=〔5678+2839〕×10=36×10=360=372×10=3720=8517×10=85170練習(xí)3：很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕34×15〔2〕436×15〔3〕8472×15【例題4】很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕45×9〔2〕32×99〔3〕78×999【思路導(dǎo)航】〔1〕我們可以先用45×10=450，這樣就多加了一個45，因此我們還要從450中減去1個45，即450-45=405?！?〕我們可以先用32×100=3200，這樣就多加了一個32，因此我們還要從3200中減去1個32，即3200-32=3168?！?〕我們可以先用78×1000=78000，這樣就多加了一個78，因此我們還要從78000中減去1個78，即78000-78=77922。從上面幾題可以看出，一個數(shù)與9相乘，就用這個數(shù)乘以10，再減去這個數(shù)；一個數(shù)與99相乘，就用這個數(shù)乘以100，再減去這個數(shù)；一個數(shù)與999相乘，就用這個數(shù)乘以1000，再減去這個數(shù)?！?〕45×9〔2〕32×99〔3〕78×999=45×10-45=32×100-32=78×1000-78=450-45=405=3200-32=3168=78000-78=77922練習(xí)4：計算。〔1〕32×9〔2〕461×9〔3〕1234×9〔4〕45×99〔5〕85×99〔6〕728×99〔7〕24×999〔8〕3×999〔9〕56×999【例題5】下面的乘法計算有規(guī)律嗎？〔1〕15×15〔2〕25×25〔3〕35×35〔4〕45×45〔5〕65×65〔6〕95×95【思路導(dǎo)航】通過計算我們發(fā)現(xiàn)，個位是5的兩個一樣的兩位數(shù)相乘，積的末尾兩位都是25，25前面的數(shù)是這個兩位數(shù)首位數(shù)與首位數(shù)加1的積，例如：我們還可以發(fā)現(xiàn)，這種方法還適用于個位是5的兩個一樣的多位數(shù)相乘的計算。練習(xí)5：速算?！?〕55×55〔2〕75×75〔3〕85×85〔4〕105×105〔5〕125×125〔6〕995×995第10講添運(yùn)算符號一、知識要點(diǎn)根據(jù)題目給定的條件和要求，添運(yùn)算符號和括號，使等式成立，這是一種很有趣的游戲。這種游戲需要動腦筋找規(guī)律，講究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。添運(yùn)算符號問題，通常采用嘗試探索法。主要嘗試方法有兩種：1．如果題目中的數(shù)字比擬簡單，可以從等式的結(jié)果入手，推想哪些算式能得到這個結(jié)果，然后拼湊出所求的式子；2．如果題目中的數(shù)字多，結(jié)果也較大，可以考慮先用幾個數(shù)字湊出比擬接近于等式結(jié)果的數(shù)，然后再進(jìn)展調(diào)整，使等式成立。通常情況下，要根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇方法，有時將以上兩種方法組合起來使用，更有助于問題的解決。二、精講精練【例題1】在下面各題中添上＋、－、×、÷、〔〕，使等式成立。12345=1012345=1012345=1012345=10【思路導(dǎo)航】對于這種問題，我們也可以用倒推法來分析。從結(jié)果10想起，最后一個數(shù)是5，可以從下面幾種情況中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10?！?〕從□＋5=10考慮，□=5，前4個數(shù)必須組成得數(shù)是5的算式有：〔1＋2〕÷3＋4＋5=10〔1＋2〕×3－4＋5=10〔2〕從□－5=10考慮，□=15，前4個數(shù)必須組成得數(shù)是15的算式有：1＋2＋3×4－5=10〔3〕從□×5=10考慮，□=2，前4個數(shù)必須組成得數(shù)是2的算式有：〔1×2×3－4〕×5=10〔1＋2＋3－4〕×5=10〔4〕從□÷5=10考慮，□=50，前面4個數(shù)必須組成得數(shù)是50的算式，而前面4個數(shù)無法組成得數(shù)是50的算式。練習(xí)1：1．你能在下面的各數(shù)中添上運(yùn)算符號，使算式成立嗎？〔1〕4125=10〔2〕4125=102．在下面各數(shù)中添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號，使等式成立?！?〕34568=8〔2〕34568=83．巧添運(yùn)算符號，使等式成立?！?〕3333=1〔2〕3333=2〔3〕3333=3【例題2】拿出都是8的四牌，添上＋、－、×、÷或〔〕，使等式成立。你能試一試嗎？8888=08888=18888=28888=3【思路導(dǎo)航】這道題除了可以用倒推法來分析，還可以這樣想：〔1〕等于0的思考方法：假設(shè)最后一步運(yùn)算是減法，則這四個數(shù)可以分成兩組，這兩組的和、差、積、商應(yīng)該相等，有：8＋8－〔8＋8〕=08×8－8×8=08－8－〔8－8〕=08÷8－8÷8=0〔2〕等于1的思考方法：假設(shè)最后一步是除法，則四個數(shù)分成兩組，這兩組的和、積、商分別相等，一樣的數(shù)相除也可得到1，有：〔8＋8〕÷〔8＋8〕=18×8÷〔8×8〕=18÷8÷〔8÷8〕=18×8÷8÷8=18÷8×8÷8=18÷〔8×8÷8〕=1〔3〕等于2的思考方法：假設(shè)最后一步是加法，則兩組數(shù)各為1，有：8÷8＋8÷8=2〔4〕等于3的思考方法：假設(shè)最后一步是除法，則前三個數(shù)湊為3個8，有：〔8＋8＋8〕÷8=3練習(xí)2：1.在各數(shù)中添上＋、－、×、÷或〔〕，使算式相等。4444=04444=14444=24444=34444=44444=52.巧添各種運(yùn)算符號和括號，使等式成立。55555=055555=155555=255555=33.用8個8組成5個數(shù)，再添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號，使它們的和是1000。88888888=1000【例題3】在4個4之間添上＋、－、×、÷或括號，使組成的得數(shù)是8。4444=8【思路導(dǎo)航】這類問題，我們可以用倒推方法來分析。這道題最后得數(shù)是8，而最后一個數(shù)是4，我們可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再進(jìn)展解答?！?〕從□＋4=8考慮，□=4，前面3個4必須組成得數(shù)是4的算式有：4＋4－4＋4=84－4＋4＋4=84－〔4－4〕＋4=8〔2〕從□－4=8考慮，□=12，前3個4必須組成得數(shù)是12的算式有：4＋4＋4－4=84×4－4－4=8〔3〕從□×4=8考慮，□=2，前面3個4必須組成得數(shù)是2的算式有：〔4＋4〕÷4×4=8〔4〕從□÷4=8考慮，□=32，前3個4必須組成得數(shù)是32的算式有：〔4＋4〕×4÷4=84×〔4＋4〕÷4=8練習(xí)3：1．你能在下面數(shù)中填上＋、－、×、÷，使結(jié)果等于數(shù)嗎？答〔1〕9999=18〔2〕5555=102．在下面數(shù)中填上＋、－、×、÷或〔〕，使算式成立。答〔1〕44444=8〔2〕33333=93．在下面幾個數(shù)中填上＋、－、×、÷或〔〕，使等式成立。答〔1〕2356=6〔2〕2356=6【例題4】在下面12個5之間添上＋、－、×、÷，使算式成立。555555555555=1000【思路導(dǎo)航】這道題的結(jié)果比擬大，那我們就要盡量想出一些大的數(shù)來，使它與1000比擬接近，如：555＋555=1110這個數(shù)比1000大了110，然后我們在剩下的6個5中湊出110減掉就可以了。555＋555－55－55＋5－5=1000練習(xí)4：1.用12個3組成8個數(shù)，它們的結(jié)果等于2000。333333333333=20002.在9個2之間添上運(yùn)算符號，使結(jié)果等于1000。222222222=10003.用7個6組成4個數(shù)，使下面的算式成立。6666666=600【例題5】在下面式子中適當(dāng)?shù)牡胤教砩希?、－號，使等式成立?87654321=21【思路導(dǎo)航】這題左邊的數(shù)字比擬多，等號右邊的得數(shù)是21，可以考慮在等號左邊最后兩個數(shù)字2、1前添＋，這時我們必須使前面幾個數(shù)字的結(jié)果為0，然后再用倒推的方法可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=09－8＋7－6＋5－4－3＋21=21練習(xí)5：1．在下面算式中適當(dāng)?shù)牡胤教砩希ⅲ?，使等式成立?87654321=232．在下面式子的適當(dāng)?shù)胤教砩希ⅲ?、×號，使等式成立?2345678=13．在下面算式中適當(dāng)?shù)牡胤教砩希ⅲ?，使等式成立?2345678=14第11講文字算式謎一、知識要點(diǎn)一般說來，算式都是由一些數(shù)字和運(yùn)算符號組成的，可有些算式卻由漢字或英文字母組成，我們稱它為文字算式。文字算式是一種數(shù)字謎，解答時要注意在同一道題中，一樣的文字或英文字母應(yīng)表示一樣的數(shù)字，不同的文字或英文字母應(yīng)表示不同的數(shù)字。通過本周的學(xué)習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)解文字算式謎與添運(yùn)算符號、填豎式的步驟與方法根本是一樣的，都要仔細(xì)觀察算式的特征，認(rèn)真分析，正確選擇解題的突破口，最后通過嘗試找尋正確答案。二、精講精練【例題1】下式中，每個字各代表一個不同的數(shù)字，其中“心〞代表9，請問其他漢字分別代表哪個數(shù)字？【思路導(dǎo)航】乘數(shù)個位與被乘數(shù)個位相乘，“心〞ד心〞=9×9=81，所以“少〞=1，乘積就是111111111。根據(jù)積，用乘數(shù)“心〞去逐一乘被乘數(shù)，9ד中〞的積個位數(shù)應(yīng)該是3，所以“中〞=7，往前一位進(jìn)7；9ד樂〞的積的個位數(shù)應(yīng)是4，“樂〞=6，往前一位進(jìn)6；9ד俱〞的積個位數(shù)應(yīng)是5，“俱〞=5，往前一位進(jìn)5；9ד球〞積個位數(shù)字應(yīng)是6，“球〞=4，往前一位進(jìn)4；9ד足〞的積個位數(shù)是7，所以“足〞=3，往前一位進(jìn)3；9ד年〞的積的個位數(shù)是8，“年〞=2，往前一位進(jìn)2；9×1＋2=11，即：12345679×9=111111111練習(xí)1：下面〔左下〕每個字代表不同的數(shù)字，這些漢字分別代表幾？2．如果A、B滿足下面算式，它們各代表幾？〔上中〕3．上右圖各個漢字分別代表幾？【例題2】下面不同的漢字代表不同的數(shù)字，一樣的漢字代表一樣的數(shù)字。它們各表示幾？【思路導(dǎo)航】由積的個位是2，乘數(shù)是3，可推出被乘數(shù)個位上“學(xué)〞是4，4×3=12，在積的個位上寫2，向十位進(jìn)1；因?yàn)榉e的十位上“學(xué)〞為4，所以“數(shù)〞×3應(yīng)為3，推出“數(shù)〞為1；因?yàn)椤皵?shù)〞為1，百位上“庚〞×3末位應(yīng)為1，因而“庚〞為7，千位上5×3＋2=17，在千位上寫7，向萬位進(jìn)1，因而“羅〞為5，萬位上8×3＋1=25，在千位上寫5，向前一位進(jìn)2，因而“華〞為8。練習(xí)2：下面各個豎式中的漢字分別代表幾？××【例題3】在下面的豎式中，a、b、c、d各代表什么數(shù)字"【思路導(dǎo)航】仔細(xì)審題發(fā)現(xiàn)千位a×9的結(jié)果是一位數(shù)，于是就可以確定a只能是1。接著思考個位d×9=1是不可能的，所以應(yīng)該是d×9等于幾十一，于是確定d=9?；蛘呦肭簧?×9=9，所以d一定是9。最后確定剩下的c為8。只有8×9=72，72＋8=80，積中才會有0。練習(xí)3：1．下面〔左下〕豎式中的字母各代表幾？2．上面〔右上〕豎式中的字母各代表幾？A＋B＋C=〔〕【例題4】下面算式里，一樣的漢字代表同一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果以下3個等式成立：則，小=〔〕朋=〔〕友=〔〕愛=〔〕科=〔〕學(xué)=〔〕則，小=〔〕朋=〔〕友=〔〕愛=〔〕科=〔〕學(xué)=〔〕愛愛×科科=愛學(xué)學(xué)愛朋朋×朋朋=小小學(xué)學(xué)【思路導(dǎo)航】通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)第三個等式最特殊，它是一樣的兩位數(shù)相乘得到千位和百位、十位和個位分別一樣的積，逐步試驗(yàn)，11×11，22×22得不到四位數(shù)，然后從33×33試，我們發(fā)現(xiàn)88×88=7744，這樣可以得出：朋=8，小=7，學(xué)=4。將朋=8、小=7代入第一個算式中得出77×88=6776，確定友=6。這樣，0——9中，只剩下9，5，3，2，1，0這幾個數(shù)字，其中0、1不考慮，試后發(fā)現(xiàn)55×99=5445，所以愛=5，科=9。練習(xí)4：×××新=〔〕年=〔〕快=〔〕樂=〔〕【例題5】下面算式中四個字分別代表四個數(shù)，你能求出來嗎？新=〔〕年=〔〕快=〔〕樂=〔〕【思路導(dǎo)航】從千位上看，千位上得數(shù)是2，假設(shè)新=2，則百位上，“新＋年〞不可能等于0，因而“新〞不可能是2，只能是“新=1〞。從百位上看，新＋年＋進(jìn)來的數(shù)=10，我們可判斷“年〞=7或8。而“新＋年=8”，即使個位進(jìn)來2，十位上也不可能向百位進(jìn)2，因而“年〞=8，十位上“新＋年〞=1＋8=9，而個位上已向十位進(jìn)了1，因而“快〞=0，最后從“新＋年＋快＋樂〞=11中可推出“新=〔1〕年=〔8〕快=〔0〕樂=〔1〕練習(xí)5：1．下面〔左下〕算式中一樣的漢字代表一樣的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，請問這些漢字各代表幾？2．上面〔上中〕各字母分別代表幾？3．上面〔上右〕豎式中每個字母代表不同的數(shù)字，想想下面的算式怎樣寫？第12講填數(shù)游戲一、知識要點(diǎn)小朋友都喜愛做游戲。填數(shù)游戲不但非常有趣，而且能促使你積極地思考問題、分析問題、開展能力。但有時也有一定的難度，不過，只要你掌握了填寫方法，填起來就很輕松了。填數(shù)時，要仔細(xì)觀察圖形，確定圖形中關(guān)鍵的位置應(yīng)填幾，一般是圖形的頂點(diǎn)及中間位置。另外，要將所填的空與所提供的數(shù)字聯(lián)系起來，一般要先計算所填數(shù)的總和與所提供數(shù)字的和之差，從而確定關(guān)鍵位置應(yīng)填幾。關(guān)鍵位置的數(shù)確定好了，其他問題就迎刃而解了。二、精講精練【例題1】在以下圖中分別填入1——9，使兩條直線上五個數(shù)的和相等，和是多少呢？【思路導(dǎo)航】我們可以這樣想，把1——9中間的5填到中心的○，剩下八個數(shù)，一大一小，搭配成和都是10的四組，這樣兩條直線上五個數(shù)的和都是5＋10×2=25。如果把1填在中心的○，這樣剩下的八個數(shù)可以一大一小搭配成和都是11的四組，這時兩條直線上五個數(shù)的和是1＋11×2=23。想想：兩條直線上五個數(shù)的和還可以是多少？練習(xí)1：1.在以下圖〔左下〕中填入2——10，使橫行、豎行中的五個數(shù)的和一樣。和是多少呢？2.把1、4、7、10、13、16、19七個數(shù)填入圖〔中上圖〕中7朵花里，使每條直線上三個數(shù)的和相等。3.把6、8、10、12、14、16、18七個數(shù)填在右上圖的○中，使每排三個數(shù)及外圓上三個數(shù)的和都是32?！纠}2】把數(shù)字1——8分別填入以下圖的小圓圈，使每個五邊形上5個數(shù)的和都等于20?！舅悸穼?dǎo)航】題目中所給8個數(shù)字的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36，題中要使每個五邊形上五個數(shù)的和等于20，則兩個五邊形上數(shù)字的總和是20×2=40。兩個五邊形上的數(shù)字總和比8個數(shù)的和多40－36=4，多4的原因是圖中中間兩個圓圈的數(shù)字算了兩次，多算了一次。1——8中只有1和3的和為4，所以先確定關(guān)鍵的中間兩個圓圈中，一個填1.一個填3。20－〔1＋3〕=16，16可以分成2＋6＋8和4＋5＋7，所以此題應(yīng)該這樣填：練習(xí)2：1.將數(shù)字1——6填入以下圖〔左下〕中的小圓圈，使每個大圓上4個數(shù)的和都是15。2.把5、6、7、8、9、10這六個數(shù)填入右上圖三角形三條邊的○，使得每條邊上的三個數(shù)的和是21。3.把1——8這八個數(shù)，分別填入以下圖的各個□，使得每一橫行、每一豎行的三個數(shù)的和是13?！纠}3】在圖中填入2——9，使每邊3個數(shù)的和等于15?！舅悸穼?dǎo)航】解這題的關(guān)鍵是填出圖中的4個頂點(diǎn)，因?yàn)榍蠛蜁r這4個頂點(diǎn)各算了兩次，多算了一次，所以4邊數(shù)的和是15×4=60，所給的數(shù)的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=44，所以4個頂點(diǎn)數(shù)的和是60－44=16。我們可選出3＋7＋4＋2=16填入4個頂點(diǎn)。想一想，有沒有其他填法？練習(xí)3：1.把1——8填入以下圖〔下左〕中，使每邊3個數(shù)的和等于13。2.將1——9這九個數(shù)填入中上圖中，使三角形每條邊上四個數(shù)的和等于19，且有一個頂點(diǎn)的數(shù)字為1。3.把1——10這十個數(shù)填入右上圖中，使每個正方形頂點(diǎn)圓圈四個數(shù)之和都相等，而且最大。這個和是多少？【例題4】把1——8填入以下圖○，使每邊上三個數(shù)的和最大。求最大的和是多少？【思路導(dǎo)航】要使每邊上三個數(shù)之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因?yàn)樗膫€角上的數(shù)在求和時各用了兩次，其他數(shù)各用了一次。由此我們可以列出求和的算式為：[〔8＋7＋6＋5〕×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4和不是整數(shù)，說明四條邊上的總和要減少2才行，這只要將填在角上的5換成3即可。所以，最大的和為：〔62－2〕÷4=15練習(xí)4：1.把3——10填入以下圖〔左下〕○中，使每邊上三個數(shù)的和最大，求最大的和是多少？2.把1——8填入中上圖○中，使每邊上三個數(shù)的和最小。最小的和是多少？3.將數(shù)字1——8填入右上圖中，使橫行□中的數(shù)之和等于豎行□中的數(shù)之和，這個和可以是多少？【例題5】在以下圖〔左下〕各圓空余局部填上3、5、7、8，使每個圓的4個數(shù)的和都是21?！舅悸穼?dǎo)航】這題的關(guān)鍵是找出中間局部填什么，因?yàn)樗o的3個數(shù)都是雙數(shù)，恰好每個圓有兩個雙數(shù)，它們的和也是雙數(shù)，再填入兩個數(shù)后，使每個圓的4個數(shù)的和是21.21是單數(shù)，也就是每個圓填入的兩個數(shù)的和為單數(shù)，而3、5、7、8中3、5、7都是單數(shù)，要使和為單數(shù)，8要填入中間局部，如右上圖。練習(xí)5：1.在圖〔左以下圖〕中各圓的空余局部分別填上1、2、4、6，使每個圓中4個數(shù)的和是15。2.在圖〔中上圖〕中各圓空余局部分別填上4、5、7、9，使每個圓中4個數(shù)的和是27。3.在圖〔右上圖〕中各圓空余局部分別填上6、8、10、11.使每個圓中4個數(shù)的和是33。第13講周期問題一、知識要點(diǎn)在日常生活中，有一些按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)的現(xiàn)象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四個季節(jié)，一個星期七天等等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題，我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數(shù)的知識來解答。在研究這些簡單周期問題時，我們首先要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，然后利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結(jié)果。二、精講精練【例題1】小丁把同樣大小的紅、白、黑珠子按先2個紅的、后1個白的、再3個黑的的規(guī)律排列〔如以下圖〕，請你算一算，第32個珠子是什么顏色？從上圖可以看出，珠子是按“兩紅一白三黑〞的規(guī)律重復(fù)排列，即6個珠子為一周期。32÷6=5〔組〕……2〔個〕，32個珠子中含有5個周期多2個，所以第32個珠子就是重復(fù)5個周期后的第2個珠子，應(yīng)為紅色。練習(xí)1：1.如圖，算出第20個圖形是什么？○△△□□□○△△□□□○△△……2.“數(shù)學(xué)趣味題數(shù)學(xué)趣味題……〞依次重復(fù)排列，第2001個字是什么？3.把38面小三角旗按以下圖排列，其中有多少面白旗？【例題2】2001年10月1日是星期一，問：10月25日是星期幾？【思路導(dǎo)航】我們知道，每星期有7天，也就是說以7天為一個周期不斷地重復(fù)。從10月1日到10月25日經(jīng)過25－1=24天，24÷7=3〔星期〕……3〔天〕，說明24天中包括3個星期還多3天。所以從10月1日開場過3個星期，最后一天還是星期一，從這最后一天起再過3天就應(yīng)是星期四。練習(xí)2：1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期幾？2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期幾？3.2001年6月1日是星期五，9月1日是星期幾？【例題3】100個3相乘，積的個位數(shù)字是幾？【思路導(dǎo)航】這道題我們只考慮積的個位數(shù)字的排列規(guī)律。1個3.積的個位是3；2個3相乘積的個位數(shù)字是9；3個3相乘積的個位數(shù)字是7；4個3相乘積的個位數(shù)字是1；5個3相乘積的個位數(shù)字是3……可以發(fā)現(xiàn)，積的個位數(shù)字分別以3、9、7、1不斷重復(fù)出現(xiàn)，即每4個3積的個位數(shù)字為一周期。100÷4=25〔個〕，因此100個3相乘積的個位數(shù)字是第25個周期中的最后一個，即是1。練習(xí)3：1.23個3相乘，積的個位數(shù)字是幾？2.100個2相乘，積的個位數(shù)字是幾？3.50個7相乘，積的個位數(shù)字是幾？【例題4】有一列數(shù)按“3279186……〞排列，則前54個數(shù)字之和是多少？【思路導(dǎo)航】上面一列數(shù)中，從第1個數(shù)字開場重復(fù)出現(xiàn)的局部是“43279186〞，周期數(shù)是8。要求出這列數(shù)字的和，就要先求出這列數(shù)里共有多少組“43279186〞。54÷8=6〔組〕……6〔個〕因此，前6組數(shù)字和是〔4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6〕×6=240，余下6個數(shù)字之和是4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以，這列數(shù)中前54個數(shù)字之和是240＋26=266。練習(xí)4：1.一列數(shù)按“6294……〞排列，則前40個數(shù)字之和是多少？2.有一列數(shù)按“67294……〞排列，則前50個數(shù)字之和是多少？3.有一列數(shù)“23165……〞，請問從左起第2個數(shù)字到第25個數(shù)字之間〔含第2個與第25個數(shù)字〕所有數(shù)字的和是多少？【例題5】小紅買了一本童話書，每兩頁文字之間有3頁插圖，也就是說3頁插圖前后各有1頁文字。如果這本書有128頁，而第1頁是文字，這本童話書共有插圖多少頁？【思路導(dǎo)航】這本童話書3頁插圖前后各有1頁文字，也就是說這本書是按“1頁文字3頁插圖“的規(guī)律重復(fù)排列的，把“1頁文字3頁插圖〞看作一周期，128頁中含有128÷〔1＋3〕=32個周期，所以這本童話書共有插圖3×32=96頁。練習(xí)5：1.校門口擺了一排花，每兩盆菊花之間擺3盆月季，共擺了112盆花。如果第一盆花是菊花，則共擺了多少盆月季花？2.同學(xué)們做早操，36個同學(xué)排成一列，每兩個女生中間是兩個男生，第一個是女生，這列隊伍中男生有多少人？3.一個圓形花輔周圍長30米，沿周圍每隔3米插一面紅旗，每兩面紅旗中間插兩面黃旗?；ㄝo周圍共插了多少面黃旗？第14講數(shù)學(xué)趣題一、知識要點(diǎn)在日常生活中，常有一些妙趣橫生、帶有智力測試性質(zhì)的問題，如：3個小朋友同時唱一首歌要3分鐘，100個小朋友同時唱這首歌要幾分鐘？類似這樣的問題一般不需要較復(fù)雜的計算，也不能用常規(guī)方法來解決，而常常需要用小朋友的靈感、技巧和機(jī)智獲得答案。對于趣味問題，首先要讀懂題意，然后要經(jīng)過充分的分析和思考，運(yùn)用根底知識以及自己的聰明才智巧妙地解決。二、精講精練【例題1】如果每人步行的速度一樣，2個人一起從學(xué)校到兒童樂園要3小時，則6個人一起從學(xué)校到兒童樂園要多少小時？【思路導(dǎo)航】2個人一起從學(xué)校到兒童樂園要3小時，也就是1個人從學(xué)校到兒童樂園要3小時；6個人一起從學(xué)校到兒童樂園所用的時間與一個人所用的時間相等，所以6個人一起從學(xué)校到兒童樂園還是用3小時。練習(xí)1：1.3個人同時唱3首歌用9分鐘，9個人同時唱同樣的3首歌用幾分鐘？2.5只貓5天能捉5只老鼠，照這樣計算，要在100天里捉100只老鼠要多少只貓？3.6個人從甲地到乙地用4小時，如果每人的步行速度一樣，則3個人從甲地到乙地要用幾小時？【例題2】一條毛毛早由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，30天能長到20厘米。問長到5【思路導(dǎo)航】毛毛蟲每天長大一倍，說明第二天的身長是第一天身長的2倍。這條毛毛蟲在第30天時，身長為20厘米，則在第29天時，這條毛毛蟲的身長為20÷2=10厘米；在第28天時，這條蟲的身長為10÷2=5厘米練習(xí)2：1.有一個池塘中的睡蓮，每天長大一倍，經(jīng)過10天可以把整個池塘全部遮住。問睡蓮要遮住半個池塘需要多少天？2.一條小青蟲由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，20天能長到36厘米。問長到9厘米時要用幾天？3.一條毛毛蟲由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，15天能長到4厘米。問要長到32厘米共要多少天？【例題3】小貓要把15條魚分成數(shù)量不相等的4堆，問最多的一堆中最多可放幾條魚？【思路導(dǎo)航】小貓要把15條魚分成數(shù)量各不相等的4堆，要讓最多的一堆中小魚條數(shù)盡量多，則其余三堆小魚的條數(shù)就要盡量少。所以，小貓可以在第一堆中放1條，在第二堆中放2條魚，在第三堆中放3條魚，這樣第四堆就可放：15－〔1＋2＋3〕=9〔條〕。練習(xí)3：1.小明要把20顆珠子分成數(shù)量不等的5堆，問最多的一堆中最多可放幾顆珠子？2.教師為共有18人的舞蹈隊設(shè)計隊形，要求分成人數(shù)不等的5隊，問最多的一隊最多可排幾人？3.兔媽媽拿來1盤蘿卜共25個，分給4只小兔，要使每只小兔分得的個數(shù)都不同。問分得最多的一只小兔至多分得幾個？【例題4】把100只桃子分裝在7個籃子里，要求每個籃子里裝的桃子的只數(shù)都帶有6字。想一想，該怎樣分？【思路導(dǎo)航】因?yàn)?×6=36只，這樣就可以在每個籃子里裝6只桃，共裝6個籃子，還有一個籃子里裝100－36=64只桃。64這個數(shù)，正好也含有數(shù)字6，符號題目要求。練習(xí)4：1.把100個雞蛋分裝在6個盒里，要求每個盒里裝的雞蛋的數(shù)目都帶有6字，想想看，應(yīng)該怎樣分？2.有人認(rèn)為8是個桔祥數(shù)字，他們得到的東西的數(shù)量都要含有數(shù)字8。現(xiàn)在有200塊糖要分給一些人，請你幫助設(shè)計一個桔祥的分糖方案。3.7只箱子分別放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只蘋果，現(xiàn)在要從這7只箱子里取出87只蘋果，但每只箱子的蘋果要么全部取走，要么不取。你看該怎么取？【例題5】舒舒和思思到書店去買書，兩人都想買"動腦筋"這本書，但錢都不夠。舒舒缺2元8角，思思缺1分錢，用兩個人合起來的兒買一本，仍然不夠。這本書多少錢？【思路導(dǎo)航】思思買這本書缺1分錢，兩個人合起來的錢買一本書仍然不夠，這說明舒舒根本沒有錢，所以這本書的價錢是2元8角。練習(xí)5：1.小華和娟娟到商店買文具盒，兩人看中同一個文具盒，但錢都不夠。小華缺9元4角，娟娟缺1分，兩人合起來買一個仍然不夠。這個文具盒多少錢？2.華和潔到商店買同一種練本，但發(fā)現(xiàn)錢都沒帶夠，華缺6角，潔缺2分錢，但兩人合起來買一本仍不夠。這種本子一本多少錢？3.王阿姨和阿姨到商場買電視機(jī)，兩人都看中同一種電視機(jī)，但王阿姨缺600元，阿姨缺900元，用兩人帶的錢合起來買這一臺電視機(jī)正好。這臺電視機(jī)多少錢？第15講乘除巧算一、知識要點(diǎn)前面我們已給同學(xué)們介紹了加、減法中的巧算，大家學(xué)會了運(yùn)用“湊整〞的方法進(jìn)展巧算，實(shí)際上這種湊整的方法也同樣可以運(yùn)用在乘除計算中。為了更好地湊整，同學(xué)們要牢記以下幾個計算結(jié)果：2×5=10，4×25=100，8×125=1000。提高計算能力，除了加、減、乘、除根本運(yùn)算要熟練之外，還要掌握一定的運(yùn)算技巧。巧算中，經(jīng)常要用到一些運(yùn)算定律，例如乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律等等，善于運(yùn)用運(yùn)算定律，是提高巧算能力的關(guān)鍵。二、精講精練【例題1】你有好方法算出下面各題的結(jié)果嗎？〔1〕25×17×4〔2〕8×18×125〔3〕8×25×4×125〔4〕125×2×8×5【思路導(dǎo)航】〔1〕我們知道25×4=100，因而我們要盡量把25與4放在一塊計算，這樣比擬簡便。所以我們先算25×4=100，再與17相乘即100×17=1700；〔2〕因?yàn)?×125=1000，因而我們先把8與125放在一塊計算，8×125=1000，再乘18：1000×18=18000；〔3〕25×4=100、125×8=1000，因此這道題我們要通過移位的方法把25與4相乘，125與8相乘，然后再把1000與100相乘，1000×100=100000；〔4〕因?yàn)?25×8=1000，2×5=10，因而這道題也要移一移，先計算125×8=1000和2×5=10，再計算1000×10=10000。練習(xí)1：1.計算：〔1〕25×23×4〔2〕125×27×82.計算：〔1〕5×25×2×4〔2〕125×4×8×25〔3〕2×125×8×53.想一想，怎樣算比擬簡便？125×16【例題2】你有好方法計算下面各題嗎？〔1〕25×8〔2〕16×125〔3〕16×25×25〔4〕125×32×25【思路導(dǎo)航】〔1〕25×4=100，因?yàn)?=2×4，所以我們可以把25×8轉(zhuǎn)化為25×4×2.然后先算25×4=100，再算出100×2=200?！?〕125×8=1000，16=8×2.因而我們可以把16×125轉(zhuǎn)化為2×〔8×125〕，然后算出8×125=1000，再乘2得到2000；〔3〕因?yàn)?5×4×100，16=4×4，這樣可以將兩個4分別與兩個25相乘，所以原式就轉(zhuǎn)化為〔4×25〕×〔4×25〕，再分別計算，得到結(jié)果100×100=10000；〔4〕因?yàn)?25×8=1000，25×4=100，我們又發(fā)現(xiàn)32=4×8，所以可將4和8分別與25、125相乘，得到〔125×8〕×〔25×4〕，再分別算出結(jié)果為1000×100=100000。練習(xí)2：1.〔1〕25×12〔2〕125×32〔3〕48×1252.〔1〕125×16×5〔2〕25×8×53.〔1〕125×64×25〔2〕32×25×25【例題3】你能很快算出它們的結(jié)果嗎？〔1〕82×88〔2〕51×59【思路導(dǎo)航】通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)這兩題都是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，被乘數(shù)和乘數(shù)十位上的數(shù)字一樣，個位數(shù)字和是10，像這樣的題目，我們可以將首位數(shù)字加1再乘首位數(shù)字，得數(shù)作為積的前兩位數(shù)字；將兩個末位數(shù)字相乘，得數(shù)作為積的末位兩個數(shù)字，如果末位數(shù)字相乘的積是一位數(shù)，要在前面被一個0?！?〕82×88先用首位數(shù)字加1再乘首位數(shù)字，即〔8＋1〕×8=72作為積的前兩位數(shù)字，再用兩個末位數(shù)字相乘2×8=16作為積的末位兩個數(shù)字，所以82×88=7216；〔2〕51×59先用首位數(shù)字加1乘首位數(shù)字，即〔5＋1〕×5=30作為積的前兩位數(shù)字，再用兩個末位數(shù)字相乘1×9=9，它們的積是一位數(shù)，要前9前面被一個0，作為積的末兩個數(shù)字，所以，51×59=3009。練習(xí)3：1.〔1〕72×78〔2〕45×452.〔1〕81×89〔2〕91×993.〔1〕42×48〔2〕61×69【例題4】簡便運(yùn)算：〔1〕130÷5〔2〕4200÷25〔3〕34000÷125【思路導(dǎo)航】這里可以運(yùn)用商不變的性質(zhì)，即被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或縮小一樣的倍數(shù)〔0除外〕，商不變，因而：〔1〕130÷5可將130和5同時乘2.使除除變?yōu)?0，然后再用260÷10=26；〔2〕4200÷25可以將4200和25同時乘4，使除數(shù)變?yōu)?00，然后再用16800÷100=168；〔3〕34000÷125可以將34000和125同時乘8，使除數(shù)變?yōu)?000，然后再用272000÷1000=272。練習(xí)4：1.你能迅速算出結(jié)果嗎？〔1〕170÷5〔2〕3270÷5〔3〕2