圓錐曲線練習(xí)試題及詳細(xì)答案

圓錐曲線歸納總結(jié)——forYuri第局部：知識(shí)儲(chǔ)藏1.直線方程的形式〔1〕直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。〔2〕與直線相關(guān)的重要容①傾斜角與斜率②點(diǎn)到直線的距離③夾角公式：〔3〕弦長(zhǎng)公式直線上兩點(diǎn)間的距離：或〔4〕兩條直線的位置關(guān)系①=-1②2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)橢圓的方程的形式有幾種？〔三種形式〕標(biāo)準(zhǔn)方程：距離式方程：參數(shù)方程：(2)雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：距離式方程：(3)三種圓錐曲線的通徑橢圓：；雙曲線：；拋物線：(4)圓錐曲線的定義黃楚雅，分別回憶第一定義和第二定義！(5)焦點(diǎn)三角形面積公式：在橢圓上時(shí)，在雙曲線上時(shí)，〔其中〕(6)記住焦半徑公式：=1\*GB3①橢圓焦點(diǎn)在時(shí)為，焦點(diǎn)在軸上時(shí)為=2\*GB3②雙曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí)為=3\*GB3③拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)為，焦點(diǎn)在軸上時(shí)3333華美的分割線3333第局部：三道核心例題例1．橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為,為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，?！?〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？假設(shè)存在，求出直線的方程;假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。分析：第一問比擬容易，第二問關(guān)鍵是垂心〔小黃同學(xué)，你還記得三角形的“四心〞嗎？〕的處理。由待定系數(shù)法建立方程求解。解〔1〕建立坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為,由得又∵即，∴易得，故橢圓方程為〔2〕假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，設(shè)，∵，故，于是設(shè)直線為，由得，∵又得即由韋達(dá)定理得解得或〔舍〕經(jīng)檢驗(yàn)符合條件。例2．橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過點(diǎn)，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于、兩個(gè)不同點(diǎn)?！?〕求橢圓的方程；〔2〕求的取值圍；〔3〕求證直線、與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。分析：小黃同學(xué)，直線、與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形這個(gè)怎么理解，怎么處理？關(guān)鍵是把它轉(zhuǎn)化成。解：〔1〕設(shè)橢圓方程為則∴橢圓方程為〔2〕∵直線平行于，且在軸上的截距為又由∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，〔3〕設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè)則由而故直線、與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。例3．三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)〔點(diǎn)A在y軸正半軸上〕.〔1〕假設(shè)三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;〔2〕假設(shè)角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心〞〔小黃同學(xué)，你還記得三角形的“四心〞嗎？〕，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出AB⊥AC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程。解：〔1〕設(shè)B(,)，C(,)，BC中點(diǎn)為()，焦點(diǎn)為F(2,0)，則有兩式作差有，整理得〔其中為點(diǎn)弦BC的斜率〕(1)

又F(2,0)為三角形重心，所以由，得由得，代入〔1〕得，從而得到直線BC的方程為〔2〕由AB⊥AC得〔2〕設(shè)直線BC方程為，得又由韋達(dá)定理有，與直線方程結(jié)合，易得代入〔2〕式得，解得或直線過定點(diǎn)〔0，，設(shè)D〔*,y〕，則，即所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。77優(yōu)雅的分割線第局部：七種常見題型1、中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法〔點(diǎn)差法〕：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為、，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式〔當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的情況〕，消去參數(shù)。例如：設(shè)、，為橢圓的弦中點(diǎn)則有，；兩式相減得=歸納：〔1〕橢圓與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為，則有?！?〕雙曲線與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為，則有。〔3〕拋物線與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為，則有，即。典型例題給定雙曲線，過的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)及，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程。2、焦點(diǎn)三角形問題橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，，。〔1〕求證離心率；〔2〕求的最值。3、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的根本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程，直線與軸的交點(diǎn)在拋物線的右邊?！?〕求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)〔2〕設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OA⊥OB，求關(guān)于的函數(shù)的表達(dá)式。4、圓錐曲線的相關(guān)最值〔圍〕問題圓錐曲線中的有關(guān)最值〔圍〕問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。1〕假設(shè)命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。2〕假設(shè)命題的條件和結(jié)論表達(dá)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)〔通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式〕求最值。處理思路1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是求方程求*、y的圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題拋物線)，過且斜率為1的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，。求的取值圍；假設(shè)線段AB的垂直平分線交軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值。5、求曲線的方程問題〔1〕曲線的形狀這類問題一般可用待定系數(shù)法解決典型例題直線直線過原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上。假設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)都在上，求直線和拋物線的方程。MNQO〔2MNQO典型例題直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q〔2，0〕和圓C：*2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)|MN|與|MQ|的比等于常數(shù)(>0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。6、存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于*直線對(duì)稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形。〔當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決〕典型例題橢圓的方程，試確定的取值圍，使得對(duì)于直