2021年高考數(shù)學真題點評+解析（新高考全國2卷）

2021年高考數(shù)學真題名師評析（新高考全國2卷帶解析）

冷赍料今曲度使用地區(qū)、鍬條總評、考點今布阿日表、欲數(shù)籌盛解接四個模塊,其中被耍保盛解裱模煥又令

4【命?&意囹】【答案】【解折】【五環(huán)】【扣犯轉(zhuǎn)接】塔柱司，其中【解析】中盡可犍梃供多種解法供參考.冷

赍科都今內(nèi)容來源于網(wǎng)珞

一、武卷段用地區(qū)

海南、遼寧、重慶

二、武卷是坪

2021年新高考數(shù)學全國2卷命題，堅持思想性與科學性的高度統(tǒng)一，發(fā)揮數(shù)學應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實際的學科特點,

命制具有教育意義的試題，試題運用我國社會主義建設(shè)和科技發(fā)展的重大成就作為情境，深入挖掘我國社會

經(jīng)濟建設(shè)和科技發(fā)展等方面的學科素材，引導(dǎo)考生關(guān)注我國社會現(xiàn)實與經(jīng)濟、科技進步與發(fā)展,增強民族自豪

感與自信心,增強國家認同，增強理想信念與愛國情懷.如本卷第4題以我國航天事業(yè)的重要成果北斗三號全

球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境設(shè)計立體幾何問題，考查考生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學建模的素養(yǎng)；本

卷第21題取材于生命科學中的真實問題，考查數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)

性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求；本卷第6題，以某物理量的測量為背景，考查正態(tài)分布基本知識的

理解與應(yīng)用，引導(dǎo)考生重視數(shù)學實驗，重視數(shù)學的應(yīng)用.《深化新時代教育評價改革總體方案》提出，構(gòu)建引導(dǎo)

考生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械

刷題''現(xiàn)象.本卷命題積極貫徹《總體方案》要求，加大開放題的創(chuàng)新力度,利用開放題考查考生數(shù)學學科核心

素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)揮數(shù)學科的選拔功能.如本卷第14題的答案是開放的,給不同水平的考生提供充分發(fā)揮數(shù)

學能力的空間，在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用；本卷第18題基于課程標準，重點考查考生的邏

輯推理能力和運算求解題能力,在體現(xiàn)開放性的同時，也考查了考生思維的準確性與有序性；本卷第22題第

（2）問是一道“結(jié)構(gòu)不良問題”，對考生的邏輯推理能力、數(shù)學抽象能力、直觀想象能力等有很深入的考查,

體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.總之,2021年高考數(shù)學全國卷試題很好地落實了立德樹人、服務(wù)選才、

引導(dǎo)教學的高考核心功能，同時突出數(shù)學學科特色，發(fā)揮了高考數(shù)學科的選拔功能，對深化中學數(shù)學教學改革

發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.

三、考點分布細目表

題號命題點模塊（題目數(shù)）

1復(fù)數(shù)的除法運算復(fù)數(shù)（共1題）

2集合的交集與補集運算集合（共1題）

3拋物線的方程與幾何性質(zhì)解析幾何（共4題）

4球的實際應(yīng)用立體幾何（共4題）

5棱臺的體積立體幾何（共4題）

6正態(tài)分布概率統(tǒng)計（共3題）

7對數(shù)式大小的比較函數(shù)（共4題）

8函數(shù)的奇偶性函數(shù)（共4題）

9樣本的數(shù)字特征概率與統(tǒng)計（共3題）

10空間幾何體中的線面位置關(guān)系立體幾何（共4題）

11直線與圓解析幾何（共4題）

12數(shù)列數(shù)列（共2題）

13雙曲線的幾何性質(zhì)解析幾何（共4題）

14函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)（共4題）

2.導(dǎo)數(shù)（共3題）

15平面向量的數(shù)量積平面向量（共3題）

16導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)（共3題）

17數(shù)列的通項與求和數(shù)列（共2題）

18解三角形三角函數(shù)與解三角形（共題）

19線面位置關(guān)系的證明及空間角的計算立體幾何（共4題）

20圓與橢圓解析幾何（共4題）

21概率的應(yīng)用1.概率統(tǒng)計（共3題）

2.不等式（共2題）

22用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、不等式證明1.導(dǎo)數(shù)（共3題）

2.函數(shù)（共4題）

3.不等式（共2題）

四、豉題深度解凄

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)一二對應(yīng)的點位于（）

1-3/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)學運算與數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).難度：容易

【答案】A

2-i(2-0(1+3z)5+5/11,(\i\

【解析】因為匚3=(1一3i)(i+3，)=—而一二2+)、所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為匕，5卜在第一

象限，故選A.

【點評】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識點，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位置匕考查熱點一是復(fù)

數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義，如復(fù)數(shù)的模、共聊復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義等,二是復(fù)數(shù)的加減乘除運算.

【知識鏈接】

解復(fù)數(shù)運算問題的常見類型及解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作

另一類同類項，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡形式.

(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為“+歷(”,6右R)的形式，再結(jié)合相關(guān)

定義解答.

(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為。+歷(a,62R)的形式，再結(jié)合

復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

2.若全集。={1,2,3,4,5,6},集合4={1,3,6},8={2,3,4},則4口令8=()

A.{3}C.{5,6}D.{1,3}

【命題意圖】本題考查集合的交集與補集運算，考查數(shù)學運算與數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).難度：容易

【答案】B

【解析】因為。={1,2,3,4,5,6},5={2,3,4},所以令8={1，5,6},因為4={1,3,6}，所以Ap|電8={1.6},

故選B.

【點評】集合是高考每年必考知識點，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位置上，考查熱點一是集

合的并集、交集、補集運算,二是集合之間的關(guān)系，這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.本題所給兩個集合，都是離

散的數(shù)集，無需化簡，足見命題者有意降低試題難度，突出對交集與補集概念的考查.

【知識鏈接】求解集合的運算問題的三個步驟：

(1)看元素構(gòu)成,集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵，即辨清是數(shù)

集、點集還是圖形集等，如{x[y=/(x)},@[y=/(x)},{(x,y)[y=/(x)}三者是不同的.；

(2)對集合化簡，有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決；

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進行交、并、補等運算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和韋恩圖(Venn).

3.若拋物線y2=2px(p>0)焦點到直線y=x+l的距離為后，則p=()

A.lB.2C.3D.4

【命題意圖】本題考查拋物線的方程與幾何性質(zhì)及點到直線距離公式，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：容易.

【答案】B

［解析】拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標,0)到直線y=x+1的距離=\二=&，所以p=2.

故選B.

【點評】解析幾何中拋物線是必考知識點,或在客觀題中，或在解答題中.

【知識鏈接】

⑴設(shè)是過拋物線產(chǎn)=2力g>0)焦點F的弦，若43a),8(X2必)，則

加

□X|X2=4^2=—P2.

弦長|/8|=xi+x2+p=￡總(a為弦AB的傾斜角).

□以弦力8為直徑的圓與準線相切.

通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦,長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.

(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、

頂點、準線的問題更是如此.

4.衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌跡高度為36000切?(軌道高度

指衛(wèi)星到地球表面的最短距離)，把地球看成一個球心為。半徑為64(X)k〃的球，其上點A的緯度是指。4與

赤道所在平面所成角的度數(shù)，地球表面能直接觀測到的一顆地球靜止同步衛(wèi)星的點的緯度的最大值記為a,

該衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面面積S=2萬，Q—cosa),(單位：也P),則§占地球表面積的百分比為()

A.26%B.34%C.42%D.50%

【命題意圖】本題考查與求有關(guān)的計算問題，考查直觀想象與數(shù)學建模的核心素養(yǎng).難度：容易

【答案】C

地球半徑_6400_8

【解析】由題意可得cosa

地球半徑+衛(wèi)星高度-36000+6400一百

所以S占地球表面積的百分比為琮詈L匕詈=亮"％,故選C.

【點評】本題以我國航天事業(yè)的重要成果北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境設(shè)計立體幾何問題，考查考

生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學建模的素養(yǎng)，同時又能引導(dǎo)考生關(guān)注我國社會現(xiàn)實與經(jīng)濟、科技進步與

發(fā)展，增強民族自豪感與自信心，增強國家認同，增強理想信念與愛國情懷.

【知識素養(yǎng)】球的表面積與體積公式：S=4?R2丫=一乃R3

3

5.正四棱臺的上、下底面邊長為2,4,側(cè)棱長為2,則四棱臺的體積為()

A.20+1273B.28V2C.”也D.—

33

【命題意圖】本題考查棱臺的體積，考查直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：容易.

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)上下底面的中心分別為，過作用M1.。8,垂足為M,則

0出=^QB=2丘,BM=&，所以該棱臺的高h=B、M==叵，所以該四棱臺的體積為

h竽故選C.

3

【點評】往年立體幾何在高考中一般有2道客觀題,1道解答題，本題試卷除了第4題的實際應(yīng)用，也恰好符合

這一規(guī)律，客觀題中立體幾何考查的熱點是幾何體中元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系、幾何體的表面積與體積、

球與幾何體的切接等.

【知識鏈接】空間幾何體的體積的計算方法

(1)計算柱、錐、臺體的體枳,關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面,特別是

軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.

(2)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、還臺為錐法、等積變換法(如求三棱錐的體積可靈活變換

頂點與底面)等，它們是計算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法，應(yīng)熟練掌握.

⑶利用三棱錐的“等體積性”可以解決--些點到平面的距離問題，即將點到平面的距離視為一個三棱錐的高,

通過將其頂點和底面進行轉(zhuǎn)化，借助體積的不變性解決問題.

6.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,c2),則下列結(jié)論中不正確的是()

A.越小,該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大.

B.0越小,該物理量一次測量結(jié)果大于1()的概率為0.5.

C.o-越小,該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等.

D.。越小，該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概率相等.

【命題意圖】本題考查正態(tài)分布，考生數(shù)學建模與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易

【答案】D

【解析】正態(tài)曲線的對稱軸為x=10,B,C正確,°越小，正態(tài)曲線越瘦高，總體分布也集中在對稱軸附近,A正

確；(9.9,10.2)與(10,10.3)不關(guān)于對稱軸對稱,D錯誤，故選D.

【點評】注意本題是判斷：“結(jié)論中不正確的是

【知識鏈接】

1.能熟練應(yīng)用正態(tài)曲線的對稱性解題，并注意以下幾點：

(1)正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1；

(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線%=//對稱，從而在關(guān)于對稱的區(qū)間上概率相等；

(3)幾個常用公式：

□PC￥<7)=1-P四°)；

UP(狎La)=P(檢a+a)(即第(2)條)；

口若所。,則p(xq-b)=-P9b產(chǎn)+b)

2.無論是正態(tài)分布的正向或逆向的應(yīng)用問題，關(guān)鍵都是先確定“必然后利用對稱性，將所求概率轉(zhuǎn)化到三個特

殊區(qū)間.

7.若a=logs2,)=logg3,c=；,則()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.?<b<c

【命題意圖】本題考查數(shù)式大小的比較，考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中點偏易

【答案】C

【解析】

解法一：a=log,2<log,石==log83>log8次=；，故選C.

解法二：a=log,2<loga2=；,/?=log83>log93=g，故選C.

【點評】指數(shù)式與對數(shù)式大小的比較是高考熱點，高考考查頻率非常高.

【知識鏈接】

1.比較兩個指數(shù)基的大小時，盡量化為同底或同指，當?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函

數(shù),利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;當指數(shù)相同，底數(shù)不同時，常用作商法或利用函數(shù)圖象比

較大小;當?shù)讛?shù)、指數(shù)均不同時，可以利用中間值0,1比較，同時注意結(jié)合圖像及特殊值.對于

三個(或三個以上)數(shù)的大小比較，則應(yīng)先根據(jù)值的大小對其分類，常將其分為三類：?

類是小于0的數(shù)，一類是大于0小于1的數(shù)，一類是大于1的數(shù).

2.比較對數(shù)式大小的類型及相應(yīng)的方法：；若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；若底

數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進行分類討論.若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比

較.□若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較.

8.設(shè)函數(shù)的定義域為R,且〃x+2)是偶函數(shù),〃2x+l)為奇函數(shù)，則()

=0B./(-l)=OC./(2)=0D./(4)=0

【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查數(shù)學抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等

【答案】B

【解析】

解法■：由/(2x+l)為奇函數(shù)，可得/(—2x+l)=—/(2x+l》取x=l得/(-1)=—/(5),由/(x+2)是

偶函數(shù)得了(—x+2)=/(x+2)，取x=3得/(-1)=/(5)，所以/(5)=-/(5),/(5)=0，所以

1)=0,故選B.

解法二：構(gòu)造一個符號條件的函數(shù)：f(x)=C0S/X,可以驗證只有〃_1)=0,故選C.

【點評】注意/(x+2)是偶函數(shù)，可得/(-x+2)=/(x+2)，而不是/(-X—2)=/(x+2).

【知識鏈接】本題的背景涉及函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性的關(guān)系,下面給出幾個結(jié)論：

(1)若函數(shù)/(X)的圖象既關(guān)于直線尤=〃對稱，又關(guān)于直線x對稱(。彳沖，則/(x)是周期函數(shù)，且

2僅一。)是它的一個周期.

⑵若函數(shù)f(％)的圖象既關(guān)于點(。,0)對稱，又關(guān)于點(6,0)對稱(awb),則/(X)是周期函數(shù)，且2(6-。)

是它的一個周期.

(3)若函數(shù)元)的圖象既關(guān)于直線x=a對稱，又關(guān)于點(瓦0)對稱(aw/?),則元)是周期函數(shù)，且

4e一。)是它的一個周期.

9.下列統(tǒng)計量可用于度量樣本玉，…當離散程度的有（）

A.x”X2,…X”的標準差B.X],%2,…%的中位數(shù)

C.%,%2,…X”的極差D.XpXj,---%,,的平均數(shù)

【命題意圖】本題考查樣本的數(shù)字特征，考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).難度：容易

【答案】AC

【解析】標準差是方差的算術(shù)平方根.它反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度.極差是最大值與最小值的差，可反應(yīng)數(shù)據(jù)

的離散程度，中位數(shù)是通過排序得到的，它不受最大、最小兩個極端數(shù)值的影響，不可用于度量樣本國,々，…天

離散程度,平均數(shù)反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標,不可用于度量樣本國,馬，…天離

散程度，故選AC.

【點評】求解本題的關(guān)鍵是利用標準差、中位數(shù)、平均數(shù)、極差的概念逐個進行判斷.

【知識鏈接】

1.標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、

方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然

方差與標準差都是測量樣本數(shù)據(jù)離散程度的工具，但在解決實際問題時,一般多采用標準差.

2.有關(guān)平均數(shù)、方差的一些結(jié)論

若數(shù)據(jù)X1,X2,…,Xn的平均數(shù)為3方差為S2.

則axi,ax2,…,axn的平均數(shù)為ax,方差為a2s2.

22

數(shù)據(jù)mxi+a,mx2+a,...,mxn+a的平均數(shù)為mx+a，方差為ms.

10.如圖，下列各正方體中，。為下底的中點,為頂點,P為所在棱的中點,則滿足MN,OP的是（）

【命題意圖】本題考查線線垂直的判斷，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易

【答案】BC

【解析】對于A,如圖，肱VEF,但EF與OP不垂直，所以A不符合條件

對于B,如圖，點Q是所在棱的中點，可得MN_L平血OPQ,所以MN±。尸,所以B符合條件:

對?于C,圖中的MN與B圖中PQ平行，所以C符合條件；

對于D,易得MN與0P不垂直，故選BC.

【點評】要說明一個命題正確，要給出證明，不能想當然.

【知識鏈接】判斷線線垂直一是利用平面幾何知識判斷，如等腰三角形底邊中線與底邊垂直等,二是利用線面

垂直的性質(zhì)定理來判斷.

11.已知直線/:依+勿一/=0與圓。：/+'2=/,點4（區(qū)0）,則下列說法正確的是（）

A.若點A在圓。上,則直線/與圓C相切B.若點A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點A在圓C外,則直線/與圓C相離D.若點A在直線I上,則直線/與圓C相切

【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng).難度：中等.

【答案】ABD

2

22

【解析】時丁A,若點/在圓C上，則a+b=則圓心到直線/距離d=/:、=r,所以直線/與圓C

yja2+b2

相切,A正確：

2

對于B,若點/在圓內(nèi)，則+）2</，則圓心到直線/距離d=/:,<r,所以直線/與圓C相交,B正確；

^a2+b2

2

對于C,若點/在圓外測/+/>/,則圓心至IJ直線/距離d=Y==>r，所以直線/與圓C相離,C錯誤；

y/a2+b2

對于D,若點A在直線/匕則標+從=/,直線/與圓。相切,D正確，故選ABD.

【點評】判斷直線與圓的位置關(guān)系，常通過圓心到直線距離與半徑大小進行判斷.

【知識鏈接】在處理直線與曲線的位置關(guān)系時,一般用二者聯(lián)立所得方程組的解的情況進行判斷（即代數(shù)方法）,

但若曲線是圓，則屬例外情形,此時我們一般不討論△>0,A=0,A<0,而用圓心到直線的距離d與圓的半徑rZ

間的關(guān)系，即?，分別確定相交、相切、相離.

1

12.設(shè)正整數(shù)〃=a0-2°+a,-2+…+以_]+4?2",其中qe{0,1},記功（〃）=q）+qH---F%則（）

A.C9（2H）—C9（rt）B.&>（2"+3）=0（〃）+1

C.<y（8?+5）=<y（4n+3）D0（2"-1）="

【命題意圖】本題考查數(shù)的轉(zhuǎn)化及等比數(shù)列，考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：難

【答案】ACD

【解析】對于A,因為〃=《「2°+q-2i+…+%_「2*T+4,2*,所以

1

2〃=0-2°+-2+q?2-H---F%_],2"+%,，所以=0+tz0+a,H---\-ak=fy（〃）；

對于B,取幾=2,則2〃+3=7=lx2°+lx2i+lx22,所以以5）=1+1+1=3,而口（2）=1,所以B不一定

成立；

34+32

對于C,8H+5=?0-2+?,-2+.??+?,-2*+1x2°+0x2'+lx2=口（“）+2，同理，

4〃+3=4?2-+q?2,+…+%?2--+1x20+1x21—&>（/?）+2，所以C正確：

對于口,2"-1=1*2°+1*21+—+￡2"-1,所以3（2"-1）=",口正確,故選人8。.

【點評】本題的背景是十進制與二進制的轉(zhuǎn)化.

【知識鏈接】本題中，口（〃）是把一個十進制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進制后各位數(shù)字之和，確定4,4,…，4所用的方法是

除2取余法.

22

13.已知雙曲線C:*?一方=1（。〉0,6〉0）,離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為

【命題意圖】本題考查雙曲線的兒何性質(zhì)，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：容易

【答案】y=±6x

【解析】因為e=￡=Jl+（2）=2,所以5=6,所以雙曲線。的漸近線方程為曠=±6t

【點評】雙曲線是高考必考問題,一般作為客觀題考查，若單獨考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，一般為基礎(chǔ)題,

若與其他知識交匯考查，可能會出現(xiàn)難度較大的客觀題.

【知識鏈接】

雙曲線的幾何性質(zhì)中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線宗一奈=15>0,6>0)中,離心率e與雙曲線的漸近線

的斜率k=±g滿足關(guān)系式e2=l+R

14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)□」的函數(shù)/(x)

口/(%巧)=)(5)/(/)；口當xe(0,+oo)時,/'(x)>0；□尸(x)是奇函數(shù).

【命題意圖】本題考查事函數(shù)的運算法則及奇偶性、單調(diào)性.難度：容易.

【答案】y=/(答案不唯一)

【解析】幕函數(shù)滿足「，滿足,/(%)在(0,”)是增函數(shù)，滿足"(》)是偶函數(shù)，所以符合條件的一個函數(shù)

是y=f(答案不唯一).

【點評】本題答案是開放的,給不同水平的考生提供充分發(fā)揮數(shù)學能力的空間，在考查思維的靈活性方面起到

了很好的作用.

【知識鏈接】若/(x),g(x),/?(x)分別是嘉函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，則：

f(ab)=f(a)f(<b),g(a+b)=g(<a)g(b),h(ab)=h(a)+h(b).

15.已知向量a+B+c=。,忖=1,忖=,=2,則++=

【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易

【答案】-39

2

【解析】

解法一：因為“+5+0=6,,|=1,欠=,=2,所以(￡+石+2)-=￡2+E+c+2(Qi+Gc+C?4)=

=9+2(Q?B+B?C+C?Q)=0，所以Q.B+R.C+C?Q=?

解法二：因為a+B+c=Cjq=1,W=口=2,所以(Q+否)=+2a?方+=5+2a.B=0,所以

一7一77一一一一7/T一、一5一29

0?/7二一5，所以4為+匕?0+0?〃=々.。+[8+〃)?0=-2-0=

【點評】平面向量是高考數(shù)學必考知識點，一般以客觀題形式考查,熱點是平面向量的線性運算及平面向量的

數(shù)量積，可以是容易題，也可以是中等難度題,中等難度題常用平面幾何、不等式等知識交匯考查.

【知識鏈接】平面向量數(shù)量積求解問題的策略

□求兩向量的夾角：85。=儒，要注意，[0,71].

口兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：aba*b=O\a-b\=\a-\-b\.

□求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：=〃?。=同2或同=犯^；口±6\=7〃2±2a力+加；若a

=(xy),則|a產(chǎn)山2+產(chǎn).

16.已知函數(shù)/(x)=p'-l|,x,<0,赴>0,函數(shù)/(%)的圖像在點A(5,/(x,))和點B(X2,/(赴))的兩條

切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，則撥1的取值范圍是

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏難.

【答案】(0,1)

x

【解析】當尤>0時/(X)=e-\,f\x)="，所以kBN=e*，同理可得kAM=—e"，因為兩條切線互相垂

直，所以j(-e*1)=-1=>玉+々=0、所以1^1=，"怎/NT=+：?=!因為%>0所

1

以0<K<1,即扁\AM\的取值范圍是(0,1).

【點評】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考熱點，考查方式主要有：求曲線在某點處的切線方程，確定曲線的條數(shù),求公切

線，根據(jù)曲線滿足條件求參數(shù)范圍.

【知識鏈接】

(1)導(dǎo)數(shù)的兒何意義是研究曲線的切線的基石，函數(shù)y=*x)在點X0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=/(x)在點

P(xo,/(xo))處的切線的斜率.也就是說，曲線y=/(x)在點P(xo/(xo))處的切線的斜率是/'(%).求以曲線上的點

(xoj(xo))為切點的切線方程的求解步驟：□求出函數(shù)次x)的導(dǎo)數(shù)/(x)；

求切線的斜率/(xo)；I寫出切線方程y-/(xo)=/'(xo)(x-xo),并化簡.

(2)研究曲線的公切線，?般是分別設(shè)出兩切點，寫出兩切線方程，然后再使這兩個方程表示同一條直線.

(3)求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點由已知條件整理出關(guān)于，的方程，把切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)

于/的方程的實根個數(shù)問題.

17.記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前幾項和，若生=5,,a2a4=S4.

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

(2)求S“>an成立的n的最小值.

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)，試題難度：中等偏易.

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為，由4=55，。2?。4=54得

a,+2d=5a.+1Qd

z八/5//,解得q=—4,d=2,

(q+d)(q+3d)=4。|+6d

所以CLn=q+(〃-1)d———4+2(〃—1)——2n一6.

n(n-l),

(2)解法一?：由(1)知=2〃-6,S“=-4〃+——-~-x2=n~-5n,

所以由S.>an得rr-5n>2n-6，解得〃>6,所以〃的最小值為7.

,、(a,+a,

解法二：由S”>?！暗肧.->0(〃22),即」~~黃——Z>0,

所以q+a“_]=2〃-12>0,解得〃>6,所以〃的最小值為7.

【點評】數(shù)列解答題是新高考必考題.通常考查數(shù)列的通項與求和，難度一般為中等偏易或中等.

【知識鏈接】等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項m和公差4然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為

方程(組)求解.等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式,共涉及五個量―力,〃,￡,知其中三個就能求另外兩個,

體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.

18.在AABC中，角4,8,。所對的邊長為。,仇。,力=。+1,。=。+2.

(1)若2sinC=3sinA,求AAHC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)a,使得八43c為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

【命題意圖】本題考查三角形面積公式、正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).

難度：中等偏易.

【解析】由2sinC=3sinA,及正弦定理得2c=3a,

由匕=a+l,c=a+2.可得2(a+2)=3a,

所以a=4,Z?=5,c=6,

所以cosA=^^=^±^=LsinC=VT^=/

2bc2x5x688

」x4x5x正地

所以AABC的面積S=-a/?sinC

2284

（2）由,h=a+l,c=a+2可得所有C>B>A.

若AABC為鈍角三角形，則c°sC=《l”/＜°.

整理得。2一24-3＜0,解得0＜。＜3,

又。+。+1＞。+2,所以

因為。為正整數(shù),所以中2

所以。=2使得AABC為鈍角三角形.

【點評】解三角形是高考必考題，今年的解三角形題難度比較小，只相當于課本習題難度，屬于得分題.

【知識鏈接】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個定理，它將三角形的邊和角有機地聯(lián)系起來,從而使三角與

幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓與內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù)，也是判斷三

角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù).其主要方法有：化角法，化邊法,面積法，運用初等幾何法.注

意體會其中蘊涵的函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想及分類與整合思想.

19.在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCO是正方形，若AD=2,QD=QA=EQC=3.

(1)求證：平面Q4D1平面ABCD；

(2)求二面角5—。。一A的平面角的余弦值.

【命題意圖】本題考查線面位置關(guān)系的證明及二面角的計算，考查直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng)

【解析】(1)解法-：因為QD=6,CO=2,QC=3,

所以=Q。？+CO?,所以。1QD.

因為底面ABCD是正方形，所以CD±AD,

因為4。n。。=。,所以8，平面24。,

因為CDu平面ABC。,所以平面QA。1平面ABCD

解法二：取的中點為。，連接QQCO.

因為QA=Q。，OA=OD,則QO，A。，

而AO=2,QA=逐，故Q0=V^I=2.

在正方形ABC。中，因為4)=2,故00=1，故8=后,

因為QC=3,故。。2=。。2+。。2,故A。。。為直角三角形且QO^OC,

因為。CDAD=。，故QO_L平面A5C。，

因為QOu平面QAO,故平面QA。，平面ABCZ>

(2)解法一：由COJ■平面QAO及底面ABC。是正方形，

可得平面QAO.

作AM1DQ,垂足為M,連接BM,

則NAMB就是二面角5-Q。一A的平面角，

由QA=QQ=#),AD=2,可得cosNAQD=:宏W，sinNAQr)=^,

AM=AQsin^AQD=^-.BM=ylAB2+AM2=^y-'

所以二面角3-QD-A的平面角的余弦值為需=|?

解法二：在平面ABC。內(nèi)，過。作077/8,交BC于T，則0TJ.AD,

結(jié)合(1)中的QO,平面A3CD,故可建如圖所示的空間坐標系.

則。(0,1,0),2(0,0,2),6(2,-1,0),故的=(―2,1,2),M=(-2,2,0).

設(shè)平面QBD的法向量］=(x,%z),

n-BQ-0-2x+y+2z=0取x=1,則y=1,z=；

則《即《

n-BD=0[-2x+2y=0

故〃=[1,1,；

而平面QAD的法向量為五=(1,0,0),故COS(九"〉=U.

X2

2

二面角B-QD-A的平面角為銳角，故其余弦值為-.

【點評】立體幾何解答題在高考中難度一般低于解析幾何題，屬了得分題，第1間一般為線面位置關(guān)系的證明,

書寫時要注意步驟的規(guī)范，第2問一般用空間向量求空間角，運算失誤是失分主要原因.

【知識鏈接】

1.證明線面位置關(guān)系應(yīng)注意的問題

(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的

判定定理和性質(zhì)定理；

（2）線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時常用的

中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；

（3）證明過程一定要嚴謹，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范.

2.利用向量法計算二面角大小的常用方法

（1）找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二

面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.

（2）找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這

兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

20.已知橢圓。的方程為與+￡=1（。〉°，6>0）,右焦點為尸（夜,01且離心率為豐.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)點M,N是橢圓。上的兩點，直線與曲線/+/=）2@>（））相切.證明：三點共線的

充要條件是|MN|=6.

【命題立意】本題考查橢圓的方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)

【解析】（1）設(shè)C=行了，由右焦點為F（、反,0）,得c=0,

由離心率為得￡=邁，所以。=6為='儲_《2=1，

3a3

2

所以橢圓C的方程為r二+y2=i.

3

（2）由（1）得，曲線為V+V=1（》>0）,

當直線的斜率不存在時,直線MM:x=L不合題意;

當直線施V的斜率存在時，設(shè)M（玉,X）,N（毛,％），

必要性:

若M,N,尸三點共線，可設(shè)直線=—即近一丁一瓶左=0,

由直線腦v可曲線f+丁=1（%>0）相切可得產(chǎn)q=1,解得4=±1,

VF7T

y=±(x-V2)3a3

聯(lián)立〈x2,可得4/一6加工+3=0，所以玉+工2=----,Xj-x2=—

---Fy2=124

13

所以|MN|=ViTLja+x2)2—4玉?々=6

所以必要性成立；

充分性：設(shè)直線MV:y=Ax+8,(妨<0)即依一y+6=0,

由直線MN與曲線x2+y2=i(x>())相切可得網(wǎng)=1,所以￡=Y+I，

-y/k2+\

y=kx+b

聯(lián)立if,［可得(1+3/)/+63+3/-3=0,

一+

3

「匚26kh3b2—3

所以…

2

26kb|.3必—3

所以|MN|=Jl+6.A/(X1+X2)-4X1-X2=Jl+叫

1+3/

n

化簡得3(嚴—1)2=0,所以&=±1,

攵=1[k=—\

所以，廠或“f-，所以直線腦V:y=x-后或y=-x+0,

b=-V2[b=\J2

所以直線MN過點F(應(yīng),0),M,N,尸三點共線，充分性成立；

所以M,N,尸三點共線的充要條件是|MN|=g.

【點評】解析幾何解答題是每年必考題，該題一般分2問，第1問?般考查曲線的方程，第2問一般考查弦長、

三角形面積、定點、定值及最值問題.

【知識鏈接】本題第2問實質(zhì)是證明直線過定點E下面給出圓錐曲線中定點問題的兩種解法

(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到

定點.

(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān).

21.一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第。代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,

再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個

微生物個體繁殖下一代的個數(shù),尸(X=i)=p,(i=0,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,P1=0.3,/?2=02P3=01，求七1(X)；

(2)設(shè)p表示該微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:

23

Po+pxx+p2x+p3x=x的一個最小正實根,求證：當E（x）＜1時,〃=1,當E（x）＞1時,〃＜1；

（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義.

【命題意圖】本題考查隨機變量的分布列及不等式證明，考查數(shù)學建模及邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：難

【解析】：（1）￡（%）=0x0.4+1x0.3+2x0.24-3x0.1=1.

（2）設(shè)/（》）=〃3^+〃2*2+5—1）》+〃0，

32

因為P3+P2+Pl+Po=1，故/（x）=ft%+P2X-（〃2+%+烏卜+,

若E（X）＜1,則P]+2〃2+3,3W1，故，2+2〃3＜。0.

/'（X）=3P3爐+2p2x-（p2+Po+P3），

因為尸（0）=-（〃2+Po+P3）＜0，7'（1）=〃2+2〃3一〃040，

故/'（X）有兩個不同零點看,8,且大＜0＜”々，

且％《一00,%）5天，”）時，/'（x）＞0：時，r（x）＜0：

故7（x）在（Y°，M），（私+8）上為增函數(shù)，在（石,七）上為減函數(shù)，

若工2=1，因為/（X）在（々,+8）為增函數(shù)且/（1）=0,

而當工?0,毛）時，因為/（X）在（玉,工2）上為減函數(shù)，故/（》）＞〃引=/（1）=0,

2

故1為Po+P\X+p2x+P3/=X的一個最小正實根，

2

若々＞1,因為/。）=0且在（0,為）上為減函數(shù)，故1為po+ptX+p2X+P3/=X的一個最小正實根,

綜上，若E（X）＜1,則〃=1.

若E（X）＞1,則P|+2P2+3。3＞1，故P2+2P3＞Po.

此時/'（0）=-（〃2++幺）＜0，/'（I）=P2+203-Po＞°，

故/'（x）有兩個不同零點X3/4,且七＜0＜x4＜1,

且,天）庚龍4，e）時，/'（力＞°；xe（天,王）時，/，（%）＜0；

故/（x）在（9，天），（玉，+8）上為增函數(shù)，在（七,％4）上為減函數(shù)，

而/（1）=0,故/（5）＜0，

又〃O）=〃o＞O,故〃x）在（0,%）存在一個零點。，且