2021年高考文數真題試卷（全國乙卷）

2021年高考文數真題試卷（全國乙卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，總共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。（共12題；共51分）

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則Cu(MUN)=<()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4）

2設.iz=4+3i,則z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

3已.知命題p：3xGR,sinx<l；命題q：VxGR,e岡21,則下列命題中為真命題的是（）

A.pAqB.-ipAqC.pA-iqD.-i（pVq）

4.函數f（x）=sin:+cos?的最小正周期和最大值分別是（)

A.3ji和-\^2B.3n和2C.6it和V2D.6.和2

%4-y>4

5.若x,y滿足約束條件{x-y<2，則z=3x+y的最小值為()

y<3

A.18B.10C.6D.4

6.cos2——cos2—=()

1212

A.iB.3C*D.遺

2322

7在區(qū)間（0,1）隨機取1個數，則取到的數小于i的概率為（)

A3c2

A.-B.—C.iD.i

4336

8.下列函數中最小值為4的是（）

.44

A_121上_1_AD—I1-J-Cy=2X+22-xD...—Inx+--

A.y-x+2x+4B.y—|sinx|+|sinMyInx

9.設函數f（x）=*，則下列函數中為奇函數的是（）

A.&一1)-1B.七一1)+1C.f（x+l）-lD.f（x+1）+1

10.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，P為BiDi的中點，則直線PB與AD1所成的角為（）

.n_it

A."B."*建

23

11.設B是橢圓C：9+y2=1的上頂點，點P在c上，則|PB|的最大值為（）

A.-B.V6C.V5D.2

2

2

12.設axO,若x=a為函數f（x）=a（x-a）（x-［））的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分（共4題；共17分）

13.已知向量a=（2,5）,b=（入,4）,若a//b，則入=.

14.雙曲線W"=1的右焦點到直線x+2y-8=0的距離為______.

45

15.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為g，B=60。，a2+c2=3ac,則b=.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖,

則所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（共5題；共50分）

17.某廠研究了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和

一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為土和?，樣本方差分別記為S,和S22

（1）求無，y,si2,S22；

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果y-x>2J苧，則認為

新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD1底面ABCD,M為BC的中點，且PB1AM.

（1）證明：平面PAM1平面PBD；

（2）若PD=DC=L求四棱錐P-ADCD的體積.

19.設｛an｝是首項為1的等比數列，數列｛4｝滿足%=等，已知%,3a2,9成等差數列.

(1)求5｝和｛%｝的通項公式；

(2)記Sn和Tn分別為｛a,J和(bn)的前n項和.證明：Tn<^.

20.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2.

(1)求C的方程.

(2)已知。為坐標原點，點P在C上，點Q滿足PQ=9QF,求直線OQ斜率的最大值.

21.已知函數/(%)=x3-x2+ax+1.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)求曲線y=/(x)過坐標原點的切線與曲線y=/(x)的公共點的坐標.

四、［選修4-4：坐標系與參數方程］(共1題；共2分)

22.在直角坐標系xOy中，。C的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫出。C的一個參數方程；

(2)過點F(4,1)作0C的兩條切線，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩

條直線的極坐標方程.

五、［選修4-5：不等式選講］(共1題；共2分)

23.已知函數f(x)=|x-a|+1x+31.

(1)當a=l時，求不等式f(x)26的解集；

(2)若f(x)>-a,求a的取值范圍.

答案解析部分

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，總共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.【答案】A

【考點】交集及其運算，補集及其運算

【解析】【解答】因為11={1,2,3,4,5},集合乂={1,2}川={3,4}則MUN={1,2,3,4},

于是Cu(MUN)二⑸。

故答案為：A

【分析】先求MUN,再求Cu(MUN)o

2.【答案】C

【考點】復數代數形式的混合運算

【解析】【解答】因為iz=4+3i,所以Z=但=#=3—4i。

I-1

故答案為：C

【分析】直接解方程，由復數的除法運算法則，得到結果。

3.【答案】A

【考點】全稱量詞命題，存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應用

【解析】【解答】因為命題P是真命題，命題q也是真命題，

故答案為：A

【分析】先判斷命題P，q的真假，然后判斷選項的真假。

4.【答案】C

【考點】正弦函數的圖象，y=Asin(3X+4))中參數的物理意義，正弦函數的周期性，正弦函數的零點與最

值

【解析】【解答】因為f(x)=sin；+cos^=^sin(-+-)，所以周期7=竽=6兀，值域［一企，網

JJ2、34’3

即最大值是VL

故答案為：Co

【分析】先將f(x)解析式化成4sin(3%+@)的形式，再由正弦函數的周期公式計算周期，再由正弦函

數的性質，得到它的最大與最小值。

5.【答案】C

【考點】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】作出線性約束的可行域（如圖陰影部分所示區(qū)域），

當直線z=3x+y經過點（1,3）時，z取得最小值。此時zmin=3xl+3=6.

故答案為：C

【分析】先作出可行域，再通過目標函數以及可行域，確定最優(yōu)解，進一步得到答案。

6.【答案】D

【考點】二倍角的余弦公式

【解析】【解答】因為COS2W-COS2K=1+8S（2X$一l+cos（2x\=三巴_白）=^

1212222、6672

故選D。

【分析】由降基公式，可以化成特殊角的三角函數求值。

7.【答案】B

【考點】幾何概型

【解析】【解答】由幾何概型得：p=—=:

----03

2

故答案為：B

【分析】由幾何概型概率公式即可得到結果。

8.【答案】C

【考點】函數的最值及其幾何意義，指數函數的定義、解析式、定義域和值域，對數函數的圖象與性質,

基本不等式

【解析】【解答】對于A：因為y=(x+lp+3,則ymin=3;故A不符合題意;

44

對于B：因為v=|sinx|+而3，設t=|sinx|(t€(01]),則y=g(t)=t+；(O<tS1)由雙溝函數知，

函數y=g(t)=t+?(0<tW1)是減函數，所以ymin=g⑴=5,所以B選項不符合；

x2XX

對于C：因為y=2+2-=2+^>2M噎=4,當且僅當tnX=1時"="成立，

即ymin=4,故C選項正確；

對于D：當x6(0,1)時，y=lnx+S<0,故D選項不符合，

故答案為：C.

【分析】A,用配方法求出干凈函數的最小值，判斷不符合；B.換元利用雙溝函數的單調性，求出最小值，

判斷不適合；C.變形后用基本不等式計算出最小值，判斷符合；D舉反列說明其不符合。

9.【答案】B

【考點】函數奇偶性的判斷，奇偶函數圖象的對稱性

【解析】【解答】對于A：因為h(x)=f(x-l卜1,=2三一一1=2-2"(-為==一2,則h(-X)土h(X),

所以h(X)不是奇函數，故A不符合；

對于B：因為h(x)=f(x-l)+l=:-匕+1=-,/一x)==，則h(-X)=h(X),所以h(X)是奇函數，故B符合；

對于C：h(x)=f(x+l)—l,=:二—1=W—2,〃(一%)=~—2,則h(-X)土h(x),所以C不符

合；對于D：h(x)=f(x+l)+l,=:一，+1=:，力(一%)=^~；，則M-X)Hh(X),故D不符合.

故答案為：B.

【分析】設選項的各個函數是h(x),分別計算h(-x),與h(x)比較，就可以得到正確選項是B。

10.【答案】D

【考點】直線與平面所成的角

【解析】【解答】如圖，連接AC,設AC與BD交于0,連接0D1,ADi,BP,設正方體的棱長為X,

因為DiP||0B||BD,且DiP=BC)WBD,所以四邊形0D1PB是平行四邊形，所以BP||0Di,所以々D1。

11TT

即為所求的角，易證401平面BDDiBi,故4010D1,又4。=5/IC=^仇,所以

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過平移線，作出所要求的角。

11.【答案】A

【考點】橢圓的簡單性質

【解析】【解答】由題意知BO1),設P(x,y)則|PB『=(x-0產+(y-D2=x2+y2-2y+l=5(l-y2)+y2-2y+l

=-4y2-2y+6=-4(y+4+*因為一1WyS1,所以當V=-；時，|PB|2max吟此時，|PB|max

_5

-2，

故答案為：A

【分析】先寫出B的坐標，然后設任意點P(x,y),再用兩點間的距離公式，表示出|PB|,再用本文法計算

|PB|的最大值即可。

12.【答案】D

【考點】二次函數的圖象，二次函數的性質

【解析】【解答】當a>0時,若a為極大值點,則(如圖1),必有a<b,ab<a2.故B,C項錯；

當a<0時，若a為極大值點，則(如圖2),必有a>b>a2,故A錯。

故答案為：D.

【分析】對a的正負進行討論，根據極值點的意義，作圖分析，得到正確選項。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.【答案】|

【考點】平面向量的坐標運算，平面向量共線(平行)的坐標表示

【解析】【解答】因為：=(2,5)1=(入,4),且勿/3，則2x4—54=0，則

【分析】根據向量平行的條件即可得到結果。

14.【答案】V5

【考點】直線與圓錐曲線的關系

【解析】【解答】由題意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以橢圓的右焦點是(3,0),則右焦點

(3,0)到直線x+2y-8的距離為d=!瓷般=V5.

【分析】先求出橢圓的右焦點坐標，然后用點到直線的距離公式求焦點到直線的距離即可。

15.【答案】2近

【考點】余弦定理，三角形中的幾何計算

【解析】【解答】SA.BC=|acsinB=gacsin60°=jac=V3=ac=4,

于是b=y/a2+c2-2accosB=>Ja2+c2—ac=72ac=2V2

【分析】根據面積的值，計算出ac,再由余弦定理求解。

16.【答案】②⑤或③④

【考點】由三視圖還原實物圖

【解析】【解答】當俯視圖為④時，右側棱在左側，不可觀測到，所以為虛線，故選擇③為側視圖；

當俯視圖為⑤時，左側棱在左側可觀測到，所以為實線，故選擇②為側視圖，

故答案為：②⑤或③④

【分析】分情況討論各種視圖的位置關系。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

17.【答案】(1)解：各項所求值如下所示

x=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

1

y=~(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

S；=總

X[(9.7-10.0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2X(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36,

1

sf=—X[(10.0-10.3)2+3X(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+2X(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

(2)由⑴中數據得y-x=0.3,2叵1=0.34

7io

顯然?-元<2回,所以不認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高。

\10

【考點】眾數、中位數、平均數，極差、方差與標準差

【解析】【分析】(1)先計算新舊樣本平均數元歹，再直接用公式計算S?,S22；

⑵由(1)中的數據，計算得：y-%=0.3,2回=0.34,顯然，-元V2國,可得到答案。

7io'io

18.【答案】(1)因為PD1底面ABCD,AMc平面ABCD,

所以PD1AM,

又PB1AM,PBCPD=P,

所以AM1平面PBD,

而AMu平面PAM,

所以平面PAM1平面PBD.

(2)由(1)可知，AM1平面PBD,所以AMLBD,

從而△DAB?△ABM,

設BM=x,AD—2x，則—=一，

ABAD

即2x2=1,

解得x=—f所以AD=>/2.

2

因為PD1底面ABCD,

故四棱錐P-ABCD的體積為V=|x（lxV2）xl=y.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD,及PB垂直AM,可以證明AM1平面PBD,從而可能

證明

平面1平面PBD；

（2）由連接BD（1）可得AMLBD,證明△DAB?△4BM通過計算，求出高AD=V2,再用棱錐

體積公式直接得到答案。

19.【答案】（1）因為｛an｝是首項為1的等比數列且四,3a2,9a3成等差數列，

所以6a2=%+9a3，所以6alq=4+亦”,

n-1

即9q2-6q+1=0,解得q=|,所以an=（|）,

所以用=等=5.

⑵證明：由（1）可得%=與要=|（1—表），

3

〃="|+…+舒+卷，①

押=專+1+,,,+?+肅，②

①-②得3+++專+…+*一^7=T）_提=1（1-表）―忌'，

3

所以4=久1一梟一懸，

所以Tn-^=|（1一京）一羔一31一套）=一羔<。，

所以〃〈費.

【考點】等差數列的通項公式，等比數列的通項公式，數列的求和

【解析】【分析】由由，3a2,9a3成等差數列，列關系式等比數列｛a.｝的公比q,進而得到即，

再由bn與an的關系求得bn.

（2）先根據條件求得品，再由錯項相減的方法求得7；的表達式，最后用求差比較法，證明Tn<^.

20.【答案】（1）拋物線C:y2=2Px（p>0）的焦點Fg,0）,準線方程為％=，

由題意，該拋物線焦點到準線的距離為々-（-叁=P=2,

所以該拋物線的方程為y2=4x；

(2)設Q(x0,y0),則麗=9而=(9-9右,一9%)，

所以P(10xo-9,10yo)，

由P在拋物線上可得(10y())2=4(10x0-9),即X。=，

()

k._Jo_y。_i°y

所以直線OQ的斜率oQ=-=亙亙=奇石,

10

0

當y0=時，5=0；

,10

當y。H。時，°Q—25yo+2'

J。yo

當y0>0時，因為25yo+^>2J25yo*=30,

此時0<k0QS9,當且僅當25yo=￡，即％=|時，等號成立；

k

當y0<°時，oQv°；

綜上，直線OQ的斜率的最大值為1.

【考點】拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的關系

【解析】【分析】(1)根據拋物線的幾何性質，可求得P的值，就可以寫出拋物線的方程；

(2)先設出Q的坐標M(xo,yo),在代入已知等式'PQ=9QF,用(x°,yo)表示出P(10x0-9,10yo),再代

入拋物線方程，推導出xo,yo的關系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即

可。

21.【答案】(1)由函數的解析式可得：f\x)=3x2-2x+a>

導函數的判別式A=4-12a,

當/=4-12aS0,az!時，f'(x')>OJ(x)在R上單調遞增，

當4=4-12a>0,a<!時，/'(乃=0的解為：亙，

當％6(-8,空子)時，廣(乃>0,/(%)單調遞增；

當xG(紀守，出守)時，f(x)<0J(x)單調遞減；

當x6(出產，+叼時，f'(x)>o,f(x)單調遞增：

綜上可得：當a29時，f(x)在R上單調遞增，

當a<；時，/(x)在(―8,上旦至)上單調遞增，在(紀目紅葉旦至)上單調遞減，在

3666

(葉旦至,+叼上單調遞增.

6

(2)由題意可得：/(%0)=端一詔+a%。+1,f(&)=3就—2&+a.

則切線方程為：y-(就一端+ax()+1)=(3>-2*0+a)(x—%o),

切線過坐標原點，則：

0-(Xg-+ax0+1)=(3x§-2x0+a)(0-x0),

整理可得:即：

2%Q—XQ—1=0,(x0—1)(2XQ+x0+1)=0,

解得：,則

x0=1/(x0)=/(I)=l-l+a+l=a+l,

即曲線y=/(x)過坐標原點的切線與曲線y=/(x)的公