集合的概念同步練習(xí) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

高中數(shù)學(xué)上學(xué)期人教版高一作業(yè)1.1集合的概念一．選擇題（共5小題）1．設(shè)，，為實(shí)數(shù)，記集合，，，．若，分別為集合，的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是A．且 B．且 C．且 D．且2．已知函數(shù)，且集合，則集合（a）的元素個(gè)數(shù)有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無數(shù)個(gè)3．已知集合，，滿足或，則稱，為集合的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，與，為集合的同一種分拆，則集合，2，的不同分拆的種數(shù)是A．27 B．26 C．9 D．84．設(shè)是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若，是的兩個(gè)不相交的非空子集，，且，，，有；，，，有，則下列結(jié)論恒成立的是A．，中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B．，中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 C．，中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 D．，中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的5．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)．直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中，不可能成立的是A．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素 B．沒有最大元素，也沒有最小元素 C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素 D．有一個(gè)最大元素，沒有最小元素二．填空題（共4小題）6．已知、與、是4個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于的方程的解集不是無限集，則集合中元素的個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為．7．已知是同時(shí)滿足下列條件的集合：①，，②若，，則；③若且，則．下列結(jié)論中正確的是．（1）；（2）；（3）若，，則；（4）若，，則．8．規(guī)定：函數(shù)，有限集合，如果滿足：當(dāng)，則，且，那么稱集合是函數(shù)的生成集．已知減函數(shù)，為不超過10的自然數(shù)，而且有6個(gè)元素的一個(gè)生成集，則．9．已知集合，，，，存在正數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則的值是．三．解答題（共3小題）10．已知集合，，中的元素都是正整數(shù)，且，集合具有性質(zhì)：對(duì)于任意的，，都有．（Ⅰ）判斷集合，2，3，是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說明理由．11．已知非空集合滿足，1，2，，．若存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，均有，則稱集合具有性質(zhì)．設(shè)具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為．（1）求（2）的值；（2）求的表達(dá)式．12．設(shè)，，，，其中，定義，，0，，，2，，．（Ⅰ）若，1，2，3，4，5，，寫出所有可能的；（Ⅱ）若，1，2，3，4，5，6，，，求的最大值；（Ⅲ）若，1，2，3，4，5，6，，，求的最小值．

（進(jìn)階篇）2021-2022學(xué)年上學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教新版高一同步分層作業(yè)1.1集合的概念參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．設(shè)，，為實(shí)數(shù)，記集合，，，．若，分別為集合，的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是A．且 B．且 C．且 D．且【分析】本題要發(fā)現(xiàn)與、與的解的關(guān)系，同時(shí)考慮，以及判別式對(duì)方程的根的個(gè)數(shù)的影響，通過假設(shè)最高次含參數(shù)的方程有一個(gè)解，有兩個(gè)解，逆推集合的解的情況即可．【解答】解：時(shí)有一個(gè)解，有兩個(gè)解，且的解不是的解，，即，的解不是的解，又有兩個(gè)解，故△，有兩個(gè)不等的根，有3個(gè)解，即，故不可能成立，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程與一元二次方程的解的關(guān)系，還要考慮一元一次方程的解是否為一元二次方程的解，通過判別式判斷一元二次方程方程的根的個(gè)數(shù)，屬于難題．2．已知函數(shù)，且集合，則集合（a）的元素個(gè)數(shù)有A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無數(shù)個(gè)【分析】根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的幾何意義，得到函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：的幾何意義是：數(shù)軸上到點(diǎn)，，，，，的距離之和，的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)，，，，，到點(diǎn)的距離之和，則根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，即函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，若，則①，或②，，③由①得，即，解得或；由②得，解得或；由③得：，綜上或或；又（1），當(dāng)時(shí)，（a），當(dāng)時(shí)，（a），有無數(shù)個(gè)（a）的值有無數(shù)個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義判斷出是偶函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．3．已知集合，，滿足或，則稱，為集合的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，與，為集合的同一種分拆，則集合，2，的不同分拆的種數(shù)是A．27 B．26 C．9 D．8【分析】根據(jù)分拆的定義，分別進(jìn)行討論即可．【解答】解：由題意可知集合的子集共有8個(gè)，集合，滿足，分類討論①若時(shí)，，此時(shí)只有一種分拆．②若是單元素集時(shí)，共有六種分拆，與，，與，2，，與，，與，2，，與，，與，2，．③若是雙元素集時(shí)，共有12種，，與，，，，，，2，；，與，，，，，，2，；，與，，，，，，2，；④若，2，，則，，，，，，，，，共7種．⑤若，2，，由一種拆分．綜上有．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)定義通過討論即可．4．設(shè)是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若，是的兩個(gè)不相交的非空子集，，且，，，有；，，，有，則下列結(jié)論恒成立的是A．，中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B．，中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 C．，中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 D．，中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的【分析】本題從正面解比較困難，可運(yùn)用排除法進(jìn)行作答．考慮把整數(shù)集拆分成兩個(gè)互不相交的非空子集，的并集，如為奇數(shù)集，為偶數(shù)集，或?yàn)樨?fù)整數(shù)集，為非負(fù)整數(shù)集進(jìn)行分析排除即可．【解答】解：若為奇數(shù)集，為偶數(shù)集，滿足題意，此時(shí)與關(guān)于乘法都是封閉的，排除、；若為負(fù)整數(shù)集，為非負(fù)整數(shù)集，也滿足題意，此時(shí)只有關(guān)于乘法是封閉的，排除；從而可得，中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生理解新定義的能力，會(huì)判斷元素與集合的關(guān)系，是一道比較難的題型．5．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)．直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中，不可能成立的是A．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素 B．沒有最大元素，也沒有最小元素 C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素 D．有一個(gè)最大元素，沒有最小元素【分析】由題意依次舉例對(duì)四個(gè)命題判斷，從而確定答案．【解答】解：若，；則沒有最大元素，有一個(gè)最小元素0；故正確；若，；則沒有最大元素，也沒有最小元素；故正確；有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素不可能，故不正確；若，；有一個(gè)最大元素，沒有最小元素，故正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受與應(yīng)用能力，屬難題．二．填空題（共4小題）6．已知、與、是4個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于的方程的解集不是無限集，則集合中元素的個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為．【分析】畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)行判斷．【解答】解：①假設(shè)有0個(gè)交點(diǎn)，，，設(shè)，，，由題意，，，，，而由三角不等式，，故矛盾，不可能有0個(gè)交點(diǎn)．②假設(shè)有2個(gè)交點(diǎn)，，，，，，明顯矛盾，不可能有2個(gè)交點(diǎn)．其他0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)的情況均可化歸為以上兩類，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象、分段函數(shù)，集合，屬于綜合題，難度較大．7．已知是同時(shí)滿足下列條件的集合：①，，②若，，則；③若且，則．下列結(jié)論中正確的是（1）（3）（4）．（1）；（2）；（3）若，，則；（4）若，，則．【分析】根據(jù)條件①②可知所以（2）錯(cuò)誤，．由、由條件②③可推出所以（1）成立．由可知，由條件②可推出所以（3）成立．由、得，由條件③可知、可得、，由條件③得、可知，若，則、，所以、，所以、，所以所以（4）成立．【解答】解：，，．故（2）不成立．，，，，．故（1）成立．，，又，．故（3）成立．，，、，、、，，，同理，，，當(dāng)時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，也符合，故（4）成立．故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)評(píng)】考查元素與集合的關(guān)系、分式運(yùn)算、整式運(yùn)算、運(yùn)算能力和邏輯推理能力．8．規(guī)定：函數(shù)，有限集合，如果滿足：當(dāng)，則，且，那么稱集合是函數(shù)的生成集．已知減函數(shù)，為不超過10的自然數(shù)，而且有6個(gè)元素的一個(gè)生成集，則10．【分析】利用生成集的定義和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷求解．【解答】解：因?yàn)椋栽谏鲜菃握{(diào)遞減的，故，設(shè)中最小值為，最大值為，則，由，解得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，中至少?個(gè)元素，，所以，，則一定有6個(gè)正因數(shù)，在，中有6個(gè)正因數(shù)的整數(shù)只有12，所以，此時(shí)，，4，5，6，8，，所以，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)中的新定義問題，考查了學(xué)生的創(chuàng)新知識(shí)以及函數(shù)的單調(diào)性，還考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．9．已知集合，，，，存在正數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則的值是1或．【分析】時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而，解得；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，則，．當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而，解得．當(dāng)時(shí)，無解．【解答】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，則，，當(dāng)，時(shí)，則，，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，解得．當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，則，．當(dāng)，，則，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，解得．當(dāng)時(shí)，同理可得無解．綜上，的值為1或．故答案為：1或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查元素與集合的關(guān)系、分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．三．解答題（共3小題）10．已知集合，，中的元素都是正整數(shù)，且，集合具有性質(zhì)：對(duì)于任意的，，都有．（Ⅰ）判斷集合，2，3，是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說明理由．【分析】（Ⅰ）利用性質(zhì)對(duì)任意的，，，，都有，代入可判斷（Ⅱ）依題意有：，2，，又，因此：，2，，由此能夠證明：．（Ⅲ）由，可得由，因此，同理，可得，．由此能夠推導(dǎo)出集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．【解答】解：由于，，，，，集合，2，3，具有性質(zhì)；（Ⅱ）依題意有：，2，，又，因此：，2，可得：，，2，所以有：，即．得證；（Ⅲ）由，，可得，因此，同理，可得，．又，可得，那么：，，2，也均成立．當(dāng)時(shí)，取，則，可知．又當(dāng)時(shí)，，所以．因此集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化和變形．屬于難題．11．已知非空集合滿足，1，2，，．若存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，均有，則稱集合具有性質(zhì)．設(shè)具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為．（1）求（2）的值；（2）求的表達(dá)式．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，，1，具有性質(zhì)，求出對(duì)應(yīng)的，即可得出．（2）可知當(dāng)時(shí)，具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，其中表達(dá)也具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)，計(jì)算關(guān)于的表達(dá)式，此時(shí)應(yīng)有，即，故對(duì)分奇偶討論，利用集合具有性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，，1，具有性質(zhì)，對(duì)應(yīng)的分別為0，1，2，1，1，故（2）．（2）可知當(dāng)時(shí)，具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，，其中表達(dá)也具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)，下面計(jì)算關(guān)于的表達(dá)式，此時(shí)應(yīng)有，即，故對(duì)分奇偶討論，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，故應(yīng)該有，則對(duì)每一個(gè)，和必然屬于集合，且和，，和共有組數(shù)，每一組數(shù)中的兩個(gè)數(shù)必然同時(shí)屬于或不屬于集合，故對(duì)每一個(gè)，對(duì)應(yīng)的具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，所以，②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，故應(yīng)該有，同理，綜上，可得又（2），由累加法解得即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、元素與集合之間的關(guān)系、組合數(shù)的計(jì)算公式、新定義，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．12．設(shè)，，，，其中，定義，，0，，，2，，．（Ⅰ）若，1，2，3，4，5，，寫出所有可能的；（Ⅱ）若，1，2，3，4，5，6，，，求的最大值；（Ⅲ）若，1，2，3，4，5，6，，，求的最小值．【分析】（Ⅰ）若，1，2，3，4，5，，則均為1時(shí)，可得中各元素和為6，進(jìn)而得到答案；（Ⅱ）若，1，2，3，4，5，6，，，則均為1時(shí)，可得中各元素取盡可能小的正整數(shù)時(shí)，取最大值；（