2021屆新高考數(shù)學(xué)模擬試卷

2021屆全國高三新高考綜合能力測(cè)試試卷【分析】

數(shù)學(xué)試卷

各網(wǎng)員校注意：

本試卷按照舊高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)命題，在深度研究2020年新高考省份數(shù)學(xué)試卷基礎(chǔ)上先比較冬也c的大小關(guān)系，再根據(jù),(今=￡一"一/單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小，即可求解.

加以命制試題。符合廣大師生新高考模式下的需求。

建議各學(xué)校在使用時(shí)對(duì)本卷進(jìn)行修改為學(xué)生用版！

本卷難度較高，但揉合了新高考模式的數(shù)學(xué)思想和教學(xué)指導(dǎo)，希望會(huì)員校能認(rèn)真吸收利用！【詳解】因?yàn)椋?0-支">1.0<*<1,c<0,..a>b>c

1.設(shè)集合"8={m=1-，},則4nB的子集個(gè)數(shù)為()

=["CN[*2},又在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，故.

A.2B.4C.8D.16

3.己知〃”)=1+>立一+總+*”=?)記P寸若

[答案解析】B

f(*+l)=P+。，則Q=()

【分析】求得集合/、B可得集合/nA.并確定集合〃DA的元素個(gè)數(shù)，利用集合子集個(gè)

數(shù)公式可求得結(jié)果【詳解廣，=際川*2}=陣葉2"=2}={0工2},111

A,尹B.3再

B={*=1_9}={叩<1}

1,1,.111,1.1

二/八"={04,因此，4n8的子集個(gè)數(shù)為爐=4.C.3l+l+3l+2+D.3*+1+3*+2+產(chǎn)

【答案解析】C

2.已知函數(shù),(分=°-"一d”為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若a=QT",占=1。隊(duì)5°-7,cTo—Q,

則()【分析】

由/?,寫出，(KD,則。=心1)-〃*)

A./(&)</(?)</(c)B.f(c)<f(b}<f^

CD/(?)<A*)</(c)■.A")=1+-+-+--+-^—+4(?eN*)

【詳解】233a-l3M<

【答案解析】D

二P=/?=1+%*+巖+如M)

ncfnq111111115.已知mb是平面a外的兩條不同直線，它們?cè)谄矫鎍內(nèi)的射影分別是直線"，〃（〃與廿不

"°=加1=1+差+…+尹+于+行*行+-+-+產(chǎn)

重合），則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）

。寸（7）〃*）="+白*T高+表⑴若。小，則xw：

（）若則：

4.在△48C中，。是線段4B上靠近B的三等分點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)，BE與CD交于尸2a_L%,V*"

點(diǎn)若布=￡F+hAC則”、/,的值分別為（）

（3）若d’y.則a/?；

11111111

A.214B,412C.3-5D.于］（4）若dJ_y,則a_Lb.

【答案解析】AA.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】【答案解析】B

取3的中點(diǎn)為G,連接迎,可證尸是整的中點(diǎn)，從而根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得.1網(wǎng)_4

6.在平面上給定相異兩點(diǎn)48,設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足1尸陽，當(dāng)％>0且尾1時(shí)，P

【詳解】解：取血的中點(diǎn)為G.連接GE,由已知得GEffCD,所以。F/ZEG,又因?yàn)椤笆屈c(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅

而△（"+函=牙"」㈤》

斯圓，現(xiàn)有橢圓a*,4B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，CD為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

G?的中點(diǎn)，所以戶是癡的中點(diǎn)，所以2、‘212）24

四1=2162

y戶滿足I播I,△PA8面積最大值為3,△/<￡）面積最小值為3,則橢圓離心率為

C

A

/y\出2

E.

A.2B.3C.1D,以上都不對(duì)

X

a=lAGDB

所以2.4【答案解析】A

【答案解析】D

【分析】

【分析】

6根算籌可分為1、5,2、4,3、3,再根據(jù)圖示寫出可能的組合，即可得出答案.

利用兩點(diǎn)間的距離公式求得P點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)兩個(gè)三角形面積的最值列方程，由此求得

區(qū)》的值及離心率的值.【詳解】根據(jù)題意，現(xiàn)有6根算籌，可以表示的數(shù)字組合為1、5,1、9,2,4,2、8,6、4,

6、8,3、3,3、7,7、7；

【詳解】依題意設(shè)尸（“）,依題意的

數(shù)字組合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中，每組可以表示2個(gè)兩位數(shù)，則可

2-1

\PA\=2\PB\yl（x+a）+/=7（X）+y2,兩邊平方化簡(jiǎn)得（x，故

以表示2x7=14個(gè)兩位數(shù)；

（也01碗12a4a-16

圓心為13'J,半徑一彳.所以Aft4的最大面積為了3fl-T,解得口=2,APCD數(shù)字組合3、3,7、7,每組可以表示1個(gè)兩位數(shù)，則可以表示2x1=2個(gè)兩位數(shù)：

1“（5a4a）」2

則一共可以表示14+2=16個(gè)兩位數(shù)；

的最小面積為2133J33,解得b=1.故橢圓離心率為

眄日專AE=BF=-3

8.正方形43CD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)9在邊BC上，7,動(dòng)點(diǎn)尸從E出

7.中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是?個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是?根根同長(zhǎng)發(fā)沿直線向尸運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角.當(dāng)點(diǎn)尸第一次碰到

短的小木棍.如圖，是利用算籌表示數(shù)1?9的一種方法.例如：3可表示為“="，26可表示為

￡時(shí)，尸與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（）

、?=■!”.現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1?9這9數(shù)字表示兩位數(shù)

的個(gè)數(shù)為A.16B.14C.12

D.10

答案:B

_===_L_LXX9.如圖，在60。二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B,線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并

123456789

且都垂直于棱4B,若3=/°=勸=4.則線段CD的長(zhǎng)為（）

A.13B.14C.15D.16

②fcc+240時(shí),有*（丘+2）+1=0解得J*-1

若x>0,則?4+1=1嗝"1,

A.4君B.16C.8D.4近①log’x+lWO時(shí)彳產(chǎn)（1嗚/1）*1=0解得工=2±1,

叫曰時(shí)有。嗎解得

【答案解析】D②11>0log,"1）=0,X=l,

故當(dāng)金>。時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，C正確，

10.（多選題）已知函數(shù)[log2A>0,下列是關(guān)于函數(shù)*的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)k<0時(shí)：

的判斷，其中正確的是（）

若hWO,則〃x）+l=h+2*2有l(wèi)og2（*r*2）=0解得，一一工,

A.當(dāng)*>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)金<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

1,

x——>0

因?yàn)?，所以不滿足xWO,舍去：

C.當(dāng)*>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)￡<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

若x>0則“力1=1鳴"1,

【答案解析】CD

①舊產(chǎn)+1?0時(shí)，有氏（1嗚日1）+1巴無解；

本題首先要明確函數(shù)解析式，然后根據(jù)選項(xiàng)分為*>0、k<0兩種情況進(jìn)行討論，再然后在每②log產(chǎn)+1>0時(shí)有l(wèi)og20ogRl）=0解得工=1,

一種情況下又分為工>°、xWO兩種情況進(jìn)行討論，最后通過解方程即可得出結(jié)果.故當(dāng)k<0時(shí)-，有1個(gè)零點(diǎn)，D正確，

,.fc+lx<0

【詳解】由題意可知，[log2Kx>0,

11.已知函數(shù)'"一c2x+ex+l，若對(duì)任意的到對(duì)以力=巧，巧eR,，（不），，（馬），，（巧）

當(dāng)無>0時(shí)：

均可作為同一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則人的取值范圍是（）

若則“力1=22

1

①fcr+2>0時(shí)，有X（22）=0解得工--1

C.|-1,4]D.[-|,4)

【答案解析】A

（1）不能，理由見解析；（2）同時(shí)滿足夠③，30后

12.甲乙二人玩猜數(shù)字游戲，先由甲任想?數(shù)字，記為a,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜

【分析】

出的數(shù)字記為b,且a,b￡{l,2,3},若|a—b|WL則稱甲乙“心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這

個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為

-左

—K.c—KB>—

（1）如果條件①④能同時(shí)滿足，可知在銳知口么"中32,可得2,即可判

1527

斷結(jié)結(jié)果；

A.3B.9C.3D.9

（2）由（1）知不能同時(shí)滿足①④，故只能同時(shí)滿足①②③或②③④；若同時(shí)滿足②③④，

D

4<C<—B>—

試題分析：從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)則|a-b|S的情況有1,1；2,2；3,3；1,2；2,1；因?yàn)閏>a,則6,可得2,可知不滿足題意；只能同時(shí)滿足①②③，可根據(jù)余

7弦定理可求出辦的值，再根據(jù)W角形面積公式即可求出結(jié)果.

2,3；3,2；共7種情況，甲乙出現(xiàn)的結(jié)果共有3x3=9,故出他們“心有靈犀”的概率為§.

【詳解】解：（1）ZVIBC不能同時(shí)滿足①，④.理由如下：

三.解答題

若aABC同時(shí)滿足①，④，

17.已知心b、。分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若△A8C是銳角三角形，需要同時(shí)滿

足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：

snC=-<-0<C<—

則在銳角△ABC中，32,所以6

A=-sinC=—

①3②a=13③c=15④3

Jz=——<d+C<—

又因?yàn)?,所以32

（I）條件①④能否同時(shí)滿足，請(qǐng)說明理由；

（2）以上四個(gè)條件，請(qǐng)?jiān)跐M足三角形有解的所有組合中任選一組，并求出對(duì)應(yīng)的△ABC的面B>—

所以2,這與aABC是銳角三角形矛盾

積.

【答案解析】所以AABC不能同時(shí)滿足①，④.

（2）因?yàn)椤?BC需同時(shí)滿足三個(gè)條件，由（I）知不能同時(shí)滿足①④，故只能同時(shí)滿足①②③

或②③④C

A<C<-

若同時(shí)滿足②③④，因?yàn)樗訡>〃，則6,

B>—

則2這與aABC是銳角三角形矛盾.

E分別是ZC&G的中點(diǎn).

故△A3C不能同時(shí)滿足②③④，只能同時(shí)滿足①②③.

(I)證明：

222

因?yàn)閍=i+c-TheCOSJ4.

(II)證明：OE〃平面”4周3：

132=i2+15J-2x&xl5xA

所以

2,(III)求與平面咽a。所成角的正弦值.

解得6=8或&=7.【答案解析'】

c72+132-152c

cosC=----------------<0（I）證明見解析；（H）證明見解析；（IH）6.

當(dāng)6=7時(shí)，2x7x13

【詳解】分析：（I）先證明/c_L平面/G,再證明/_L4q（U）取4al的中點(diǎn)M,

所以c為鈍角，與題意不符合，所以8=8.

連接MCME.先證明DE〃AM,再證明DE〃平面AA^BJB（皿）利用向量法直線與E與平

S=』&csin/=30出面颯GC所成角的正弦值.

所以AA8c的面積2

詳解：（I）因?yàn)?，氏二平面@C,4Cu平面J?C,

18.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，&="=曲=2,典_L平面ABC,",dC.￡>、

所以，瓦J_ZC

因?yàn)閐gu平面

在三棱柱〃8c-4"G中，出口不，且如二53

所以4CJL平面"G.

所以ME〃AD,且ME=AD,

因?yàn)槎矫娴?/p>

Guq,所以四邊形ADEM是平行四邊形，

所以起■*■罵q.所以DE//AM.

又平面幺卷3,06仁平面〃4第8.

所以ZJE〃平面

(II)取4員的中點(diǎn)M,連接M4、ME

因?yàn)榕c、M分別是3、小的中點(diǎn),

(III)在三棱柱9C-型￡中，

所以用E〃4G，且ME萬監(jiān)

因?yàn)槠螶■為G,所以g.

在平面*叫內(nèi)，過點(diǎn)c作◎〃氣19.冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知的有中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合

征(SARS)等較嚴(yán)重的疾病，新型冠狀病毒(?CoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新

因?yàn)椋础?■平面毒株，某小區(qū)為進(jìn)一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情知識(shí)的教育，在小區(qū)內(nèi)開展“新型冠狀病毒

防疫安全公益課”在線學(xué)習(xí)，在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫安全知識(shí)競(jìng)賽”在線活動(dòng).已

所以，"平面N8C.知進(jìn)入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主，決賽后四位業(yè)主相應(yīng)的名次為第1,2,3,4

名，該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參與度和重視度，邀請(qǐng)小區(qū)內(nèi)的所有業(yè)主在比賽結(jié)束前對(duì)四位業(yè)

建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖.則主的名次進(jìn)行預(yù)測(cè)，若預(yù)測(cè)完全正確將會(huì)獲得禮品，現(xiàn)用。，瓦c,d表示某業(yè)主對(duì)甲、乙、

丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預(yù)測(cè)排列，iSX=|a-l|+|fe-2|+|c-3|+|rf-4|.

C(0,0,0)B(zao)員(Q22)G(-22,2)Z)(O,LO)E(-L2,2)

(1)求該業(yè)主獲得禮品的概率；

BE=(-1,12)C8=(XQ,0)離=(O,Z2)

(2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

設(shè)平面皿的法向量為》=(五具z),貝|j

【答案解析】

［亢a=0J2x=0

(1)P-24；(2)分布列見解析，E(JT)=5

(n-CB,=0即121y+2z=0

1【分析】

得x=o,令y=L得z=-i,故K=(°，LT)

(1)求得該業(yè)主預(yù)測(cè)的結(jié)果的總數(shù)，其中預(yù)測(cè)完全正確的結(jié)果只有1種，利用古典概型及概

設(shè)直線DE與平面照GC所成的角為仇

率的計(jì)算公式，即可求解；

|cos,曹/(2)以(a,b,c,d)為一個(gè)基本事件，用列舉法逐一寫出每種情況，得到隨機(jī)變量的取值,

則si但L'"M-H=v,

求得相應(yīng)的概率，即可求得隨機(jī)變量的分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望.

也【詳解】(1)由題意，該業(yè)主預(yù)測(cè)的結(jié)果有4=,種可能，預(yù)測(cè)完全正確的結(jié)果只有1種，

所以直線刑與平面咽所成角的正弦值為6.

所以隨機(jī)變量X的分布列如表：

p=—

所以該業(yè)主獲獎(jiǎng)的概率為24.

X02468

(2)以(°,b,c,d)為一個(gè)基本事件，如下表所示：

11731

P

24824S6

(mb>c,d)X(〃，b,c,d)X(a,b,cfd)X

(b2,3,4)0(2,3,1,4)4(3,4,1,2)8

(1,2,4,3)2(2,3,4,1)6(3,4,2,1)8

=Ox—#2x—+4x—4*6X—+8x—=5

(1,3,2,4)2(2,4,b3)6(4,1,2,3)6所以數(shù)學(xué)期望E(X)2482486

(1,3,4,2)4(2,4,3,1)6(4,1,3,2)6

7

20.已知13,在區(qū)間上是增函數(shù).

(1,4,2,3)4(3,1,2,4)4(4,2,1,3)6

(1,4,3,2)4(3,1,4,2)6(4,2,3,1)6(1)求實(shí)數(shù)。的值組成的集合4

(2,1,3,4)2(3,2,1,4)4(4,3,1,2)8

/"(x)=2x+-x?

(2,1,4,3)4(3,2,4,1)6(4,3,2,1)8(2)設(shè)關(guān)于x的方程3的兩個(gè)非零實(shí)根為不、巧.試問：是否存在實(shí)數(shù)處

使得不等式加+加+1之區(qū)一口對(duì)任意。e/及止KU］恒成立？若存在，求的取值范圍；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

所以隨機(jī)變量片的所有可能的取值為°，Z4,6,8,

【答案解析】

1317(1)實(shí)數(shù)a的值組成的集合4=.L1］：

A^=0)=—,7X^=2)=-=-,A^=4)=—

可得2424824

(2)存在實(shí)數(shù)加4_2或使得不等式取一+m2+12卜一々1對(duì)任意ae/及，e［-Lq恒

9341

2X^=0=—=-,A^=?)=—=-

248246成立.

若8(￡)=??2+而+1*|%一且對(duì)任意。€4及人［-1>1］恒成立，

/(x)=4x+ax2--xJ(xeR)riii

試題解析：(1)因?yàn)?J'在區(qū)間I-13］上是增函數(shù)

則€“)?=入("*)*1，一巧匚=3,解得mW-2或1W±2,

所以，，任)=-討+加+4*°在區(qū)間［-L可上恒成立，

因此，存在實(shí)數(shù)EW-2或m22,使得不等式M+52+12區(qū)一引對(duì)任意awd及'e卜口］恒

=-2-2a+4>0

二UnTWaVl

/(l)=-2+2a+4>0成立.

所以，實(shí)數(shù)。的值組成的集合"=［T1］；21.創(chuàng)新題型已知橢圓E兩焦點(diǎn)?(-L以4a丹，并經(jīng)過點(diǎn)44

4x+axi--^=2x+-^(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

即中2y-2)=0

(2)由得33

(2)設(shè)M、N為橢圓E上關(guān)于其軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，收總的即為x軸上兩點(diǎn)，」I不巧=2,

因?yàn)榉匠獭橐?'+了，即中2一"一2)=。的兩個(gè)非零實(shí)根為af

證明：直線幺的交點(diǎn)尸仍在橢圓E上；

二2巧是方程中2y-2)=。兩個(gè)非零實(shí)根，于是玉+9=a%?=-2(3)你能否將(2)推廣到一般橢圓中？寫出你的結(jié)論即可.

【答案解析】

二|耳一/1=Jkf)'=他+毛)’-4書；=業(yè)+8

Ux2y2

f-4-y3=1―+―=12_

；(2)證明見解析；(3)若橢圓『*2，若書==，則直線神，出

---ae^t=［-ll］二|不-馬匕="+