2021屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)模擬考試卷（十）【含答案】

2021屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)模擬考試卷（十）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

I.（5分）設(shè)集合4={x|-l<log3X<l},B={y\y=2',xe[0,2]},貝）

A.[0,2）B.（1,3）C.[1,3）D.（1,4）

2.（5分）命題|x+2|..3的否定為（）

A.YxeN,|x+2|<3B.Yx電N,|x+2|<3C.玉eN,

|x+2\..3D.BxeN,|x+2|<3

i1i1i

3.（5分）設(shè)a=（73,b=（§）5,c=log]丁則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4.（5分）己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，角e的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3,〃?）（〃?<0）且sin?=*相，則麗的

單位向量為（）

B嚕嚕）

A.（1,-1）

「,3回阿D

1010-士嚕哥

5.（5分）牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫下的溫度變化：如果物體的初始溫度為7；，則

經(jīng)過一定時(shí)間『后的溫度7將滿足7-7；=（；）17；,-7；），其中7；是環(huán)境溫度，〃稱為半衰

期.現(xiàn)有一杯85℃的熱茶，放置在25℃的房間中，如果熱茶降溫到55℃,需要10分鐘，

則欲降溫到45°C,大約需要多少分鐘？（Zg2?0.3010,/g3=0.4771）（）

A.12B.14C.16D.18

6.（5分）已知z均為復(fù)數(shù)，則下列命題不正確的是（）

A.若z=N,則z為實(shí)數(shù)B.若z2<0,貝!]z為純虛數(shù)

C.若|z+l|=|z-l|,則z為純虛數(shù)D.若z3=l,則5=Z2

7.（5分）如圖，在四面體ABC。中，AB=CD=3,AC=BD=4U,AD=BC=20AABC

的重心為O,則。0=（）

I)

c

\o?/

B

48

A.2B.-C.-D.3

33

22

8.（5分）已知雙曲線C:,-當(dāng)=l（a>0,1>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳（-c,0）,g（c,O）,A,

8是圓（x-cy+y2=4c2與C位于x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)，且與A//^8,則雙曲線C的離心

率為（）

.2+/04+77「3+y/17c5+V17

3344

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.（5分）設(shè)〃>0,力>0,a+2b=\,貝I（）

A.必的最大值為』B.。2+4〃的最小值為_1

82

C.1+2的最小值為8D.2"+4”的最小值為2/

ab

11.（5分）如圖，正方體A8CD-A4GR的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.直線8c與平面ASG。所成的角等于?

B.點(diǎn)C到面ABCR的距離為哼

C.兩條異面直線RC和BG所成的角為?

D.三棱柱BB?外接球半徑為半

10.（5分）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S”,且以=2S“+”-l,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列

B.數(shù)列｛S.+〃｝為等比數(shù)列

C.數(shù)列｛《,+1｝為等比數(shù)列

D.數(shù)列｛2SJ的前〃項(xiàng)和為2-2—1一4

12.(5分)已知曲線y=sin(azr+&)(<y>0)在區(qū)間(0,1)上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心,

4

則下列結(jié)論中正確的是()

A.存在,使sin('"+")>-

42

B.存在0,使sin(也土2)=也

42

C.有且僅有一個(gè)毛e(0,1),使sin3Xo+?)=1

D.存在x°e(0,l),使sin(<y%+?)<0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)6^11sin2(?+—)+cos2(?-—)=-,若aw(0,i),則a=.

632

14.(5分)AA8C外接圓的半徑為1,圓心為O,且2厲+而+衣=0,「兩=\AB\,則CA[^B

的值是—.

15.(5分)經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱，它們組成一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為地理坐標(biāo)系統(tǒng)，它

是一種利用三度空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系統(tǒng)，能夠標(biāo)示地球上的任何一

個(gè)位置，經(jīng)度是個(gè)二面角，是兩個(gè)經(jīng)線平面(經(jīng)線與地軸所成的半平面)的夾角，某一點(diǎn)的

經(jīng)度，就是該點(diǎn)所在的經(jīng)線平面與本初子午線平面間的夾角.緯度是個(gè)線面角，某一點(diǎn)的緯

度是指該點(diǎn)與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角.城市A位置東經(jīng)120。，北緯48。，

城市B位置為東經(jīng)120。，北緯18。，若地球的半徑為R,則過A,8兩點(diǎn)和地心的平面截

球所得的截面圓的劣弧A3的長(zhǎng)是—.

16.(5分)已知尸為拋物線公=2py(p>0)的焦點(diǎn)，拋物線內(nèi)一點(diǎn)A(l,p),M為拋物線上

任意一點(diǎn)，|M4|+|MF|的最小值為3,則拋物線方程為—；若線段題的垂直平分線交

拋物線于尸，。兩點(diǎn)，則四邊形APFQ的面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,=百csinB+0cosC,

點(diǎn)。為vAB邊上一點(diǎn)，AD=2BD=2,8=行.

（1）求3；

（2）求AABC的面積.

18.（12分）已知等差數(shù)列｛《,｝的前“項(xiàng)和為S”，出,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,q=（,

—,仇=8,自-3a=4,是否存在正整數(shù)&,使得數(shù)列｛，｝的前無項(xiàng)和7；>:,若存在,

求出％的最小值；若不存在，說明理由.

從①邑=20,②邑=2%,③34-4=3這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到上面問題中并作答.

19.（12分）在四棱錐P-ABC。中，底面/WC力為矩形，R4_LAD,平面R4O_L平面ABCD,

AB=2,P4=Ar>=3.點(diǎn)E在線段PC上（端點(diǎn)除外），平面ABE交PD于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形4?所為直角梯形；

（2）若AF=逆，求直線尸C與平面/WEF所成角的正弦值.

2

20.（12分）某相關(guān)部門推出了環(huán)境執(zhí)法力度的評(píng)價(jià)與環(huán)境質(zhì)量的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，每項(xiàng)評(píng)價(jià)只有

滿意和不滿意兩個(gè)選項(xiàng)，市

民可以隨意進(jìn)行評(píng)價(jià)，某工作人員利用隨機(jī)抽樣的方法抽取了200位市民的信息，發(fā)現(xiàn)對(duì)環(huán)

境質(zhì)量滿意的

占60%,對(duì)執(zhí)法力度滿意的占75%,其中對(duì)環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度都滿意的有80人.

（1）是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度有關(guān)？

（2）為了改進(jìn)工作作風(fēng)，針對(duì)抽取的200位市民，對(duì)執(zhí)法力度不滿意的人抽取3位征求意

見，用&表示3人中對(duì)環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度都不滿意的人數(shù)，求J的分布列與均值.

參考數(shù)據(jù)及公式:

P(K2..k)0.10.050.0010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2甘屬,,

K'=------------------------------->其中n=a+b+c+d-

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

21.（12分）已知橢圓C:二+馬=l（a>0>0）的離心率為且，且經(jīng)過點(diǎn)P（2,l）.直線/與

a2b-2

橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線Q4交y軸于〃，直線交y軸于N.

（I）求橢圓C的方程；

（11）設(shè)。為原點(diǎn)，若IOMRCWI，求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

22.（12分）己知函數(shù)f（x）=qe*—d—2（x-l）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，?e/?）.

（1）當(dāng)。=2時(shí)，求八x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

答案

x

1.解:vA={x|—l<log3x<l),B={y\y=2,XG[O,2]},

二.A={x[g<x<3},B={y]啜/4},=,3).

故選：C.

2.解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，

所以，命題p：“VxeN,|x+2|..3"的否定為：BxeN,|x+2|<3.

故選：D.

3.解：,??〃”(5)"3125

:.0<a<b<l7=1°§35>1°§33=|/.C>1,:.c>b>a,

35

故選：D.

4.解：?.?角e的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3,機(jī)）（機(jī)<0）且由110=嚕機(jī)，

/.sin^=—rm=^^-m,解得：nr=\,

io

又mvO,:.m=—\,故點(diǎn)尸(3,-1),OP=(3,-1),

，歷的單位向量為"=5叵，-巫)，

\OP\1010

故選：B.

1W

5.解：由題意可知55-25=(萬)〃(85-25),解得：〃=10,

1J-f1

.-.45-25=(-)'?(85-25),解得：—=logt~,

.-.r=101og,3=-^?16,即大約需要16分鐘.

糖2

故選：C.

6.解：對(duì)于A,設(shè)z=a+bi(a,beR),由z=7,可得a+bi=a-bi,則2Z?i=0,b=0,:.z

為實(shí)數(shù)，故A正確；

對(duì)于8,設(shè)z=a+bi(a,匕e7?),貝!]z2="+從+2a玩<0,z2<0,..a=0,則z純虛數(shù)，

故5正確；

對(duì)于C,當(dāng)z=0時(shí)，有|z+l|=|z-l|,故C錯(cuò)誤；

1e

對(duì)于。，由z3=l,得Z3T=0,即(Z-l)(z2+Z+l)=0,可得2=1或2=—+—i,

22

彳=z?,故￡)正確.

錯(cuò)誤的是C.

故選：C.

7.解：如圖，將四面體ABC。還原到長(zhǎng)方體AE8”-GCFD中，

易知四面體ABCD的棱是長(zhǎng)方體AEBH-GCFD的面對(duì)角線，

2222

則DE=sjEA+EB+EC=J，」、，；、亞=『+而)；+儂^=4,

連接E廠交8C于M,連接AM,則AM為8c邊的中線，AABC的重心O為40靠近M的

三等分點(diǎn).

把長(zhǎng)方體的對(duì)角面AEFD單獨(dú)畫出，如圖，記P為AM和E￡>的交點(diǎn).

pnADAn

因?yàn)锳AOPsAMEP,且——=——=——=2,所以P為AM靠近M的三等分點(diǎn),

PEMPEM

9Q

即重心O與P點(diǎn)重合，i&OD=PD=-ED=-.

33

故選：C.

8.解：連接8月，AF2,由雙曲線的定義，可得4|=2〃，

\BFl\-\BF2\=2a,

由巴|=|Ag|=2c,可得|A耳|=-2a+2c,\BFt\=2c+2a,

4c2+4c2-(2a+2c產(chǎn)c2-lac-CT

在△8耳心中,可得cosNBgf；=

222

4c2+(2c-2a)2-4c2c-a

在△A乙耳中,可得cosNA斗6

2?2c?(2c-2a)2c

由月4//68,可得NBg/=；+ZA丹巴=/，即有cosNBK片+cosNA片6=0,

可得+￡Z￡=0,化為2c2—3ac—"=o,

2c22c

得2/-3e-1=0,解得e="巫(負(fù)的舍去)，

4

故選：C.

9.解：對(duì)于A,l=a+2b..2^b,得她，L當(dāng)且°=工，6時(shí)取等號(hào)，故A正確；

824

對(duì)于3,a2+4b2=(a+2b)2-4ab=l-4ab..,當(dāng)且僅當(dāng)°=」，時(shí)取等號(hào)，故5正

224

確；

對(duì)于C,l+-=(l+-)(a+2^)=5+—+—..9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；

ababab3

對(duì)于。，2"+4。.2亞赤=2血，當(dāng)且僅當(dāng)q=J_,時(shí)取等號(hào)，故。正確.

24

故選：ABD.

11.解：正方體ABC。-ABCR的棱長(zhǎng)為1,

對(duì)于選項(xiàng)A：直線BC與平面A8GR所成的角為NC8￡=(,故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于選項(xiàng)3：點(diǎn)C到面A8G〃的距離為與。長(zhǎng)度的一半，即〃=與，故選項(xiàng)3正確.

對(duì)于選項(xiàng)C：兩條異面直線0c和BG所成的角為工，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)O：三棱柱叫R-BBG外接球半徑r=士;+'=與,故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

10.解：依題意，由=2S,,+w-l,可得5,用+〃+1=25“+,-1+〃+1=2(5,,+〃)，

?.?$+l=q+l=2,.?.數(shù)歹是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故選項(xiàng)5正確,

nnn+

:.S?+n=2-2-'=2,:.Sn=2"-n,nwN*,2S,,=2'-2n,

數(shù)列｛2S,J的前N項(xiàng)和為

2S]+2S)+...+2szl

=(22-2xl)+(23-2x2)+...+(2,,+1-2zi)=(22+23+...+2,,+I)-2X(1+2+...+7J)

二2一一2'"-_2*"5+D=2"Q—一4,故選項(xiàng)。正確，

1-22

當(dāng)兒.2時(shí),

??=5?-S,T=2"-〃-2"-'+(n-l)=2n-'-l,

數(shù)列｛??｝不是等比數(shù)列，選項(xiàng)A不正確，

?.?4+1=2"'+1+1=2"一+2,

數(shù)列｛q+1｝不是等比數(shù)列,選項(xiàng)C不正確.

故選：BD.

jr

12.解：?曲線y=sin(5+—)(刃＞0),

4

■jr兀jrk

對(duì)稱軸為cox-\——=—Fk7r(keZ)，即x=--上一九(keZ)，

424a)co

對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)cox+三=ki(kQZ),即X=一~—+—7T(kGZ)，

4co

在區(qū)間(0,1)上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，

冗.71

——<1a)>—

4G4

竺」5/r

8,,~~ic

4oriJ7U

40,解得，,即一<—

3冗13444

——<1CD>——

46y4

上.174

W,—

Aco4

選項(xiàng)A,在范圍內(nèi)存在0使sin(絲士工)>正，故選項(xiàng)A正確；

42

選項(xiàng)5,2d?e(―,—],則2口=2萬時(shí)成立，故選項(xiàng)3正確；

22

選項(xiàng)C,，苧，不是僅有一個(gè)毛￡(0,1),使sin(Wo+?)=[,故選項(xiàng)C不正確;

選項(xiàng)￡),存在/=1,(0=^-,使sin(5o+?)<(),故選項(xiàng)￡)正確.

故選：ABD.

13.解：由sin2(?+—)+cos2(cr--)=~Wsin2(?+—)+cos2(a4----)=~,

6326622

得sin2(cr+-)-Fsin2(cr4--)=-.

662

Wsin2(?+—)=—,Wsin(a+—)=±—,

6462

OCW(0,7T),CCd----G(一,---),

666

71冗7萬21

a-\=—或ad—=——，

6363

萬T7V

a=一或a=-?

62

故答案為：巴或￡.

62

14.解：設(shè)邊3C的中點(diǎn)為。，則存+*=2而.

-2OA+AB+AC=6,/.2OA+2AD=0,二。與O點(diǎn)重合.

-\OA\=\AB\,是等邊三角形..?.248=30。.

則CA[CB=Gx2xcos30。=3.

故答案為：3.

A

15.解：設(shè)球心為O,由題意和劣弧所對(duì)的圓心角4408=48。一18。=30。，即NA08=汽，

6

所以過A,8兩點(diǎn)和地心的平面截球所得的截面圓的劣弧A8的長(zhǎng)￡=亞.

6

故答案為：—.

6

16.解：由拋物線的定義可得|MA|+|M*=|MA|+w+與，則最小值為A到準(zhǔn)線y=-的

距離，

所以(|M4|+|MF|)麗=0-(-爭(zhēng)=3,解得p=2,故拋物線的方程為Y=4)，；

12

由0=2,得41,2),尸(0,1),則AF中點(diǎn)N(],1),kA,=1,

1R

故所垂直平分線P。的方程為)，=-(x-])+],即y=—x+2,

聯(lián)立口「-x+2,整理得V+4X-8=0,

匕=4y

設(shè)P(X1,%),Q(X2,%)，則方+X2=與，XfX,=-8,

所以|PQ|=VmW(T)2-4>(-8)=7La=4?,

則四邊形APFQ的面積為:|PQ|-|AF|=gx46x5/5=46,

故答案為爐=4>，4g.

17.解：(1)已知4=6。$出8+68$。，

用正弦定理——=——=―-—=2R,可得：sinA=V3sinCsinB+sinBcosC,

sinAsinBsinC

因?yàn)閟inA=sin(乃-A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以V5sinBsinC=cosBsinC,

因?yàn)閟inCwO,可得6sin3=cosB,即tan3=@,

3

因?yàn)?七(0,%),可得8=工.

(2)在MiCD中用余弦定理得CD2=BC2+BD2+2BCBD-cosB,

因?yàn)锳D=2BD=2,CD=@,

所以7=BC2+1—2BCCOS2,可得BC?—V5BC-6=O,

6

因?yàn)?c>0,可得8c=2力，

又AB=AD+DB=3,

所以5兇比=；BC-A8-sinB=；x26x3xsin?=￥.

18.解：等比數(shù)列｛%｝的公比為式4>0),則4=芻，&=的，于是&-3x8q=4,

qq

即6/+q-2=0,解得q=g,或4=(舍去).

若選①：貝114=a=2,S4=4(7,+~~~d=20)解得d=2.

,c,n(n-l)2,

..Sc?=2nH------x2=?+n,

〃2

F=—―=----,于是

"九(〃+1)nn+]

令1---->-,解得Q3,

k+\4

?.4為正整數(shù)，的最小值為4；

3x9

若選②，貝!14=4=2,3q+~2d=2(q+2d),解得q=d=2.

下同①；

若選③，則4="=2,3(q+24)-(4+3d)=8,解得d=g.

工曰0八n(n-l)4224

于是S”=2〃+-----x—=—+—n

2333

311111119311

T=-[(1--)+(---)+?-?+(-一一;)+(―-；―^)1=[二(1一7+■;―-)?

k4324k—1k+1kk+284A+1左+2

令n>3,w—得

*4&+1k+22

皿自，1-VT7.,1+V17

22

又左為正整數(shù)，得左.3,即人的最小值為3.

19.(1)證明：因?yàn)锳B//CD,ABu平面ABEF,C￡>《平面ABEF,

所以CD//平面ABEF,又CDu平面尸CD,平面AREFC平面PC￡)=EP,

所以CD//EF,又EF<CD=AB,所以四邊形AfiEE為梯形，

因?yàn)锳3_LAO,平面％￡>_L平面A8C7),平面以DC平面A88=A￡),A3u平面A8CD,

所以45_L平面R4D,又AFu平面R4。，所以AB_LAF,

所以四邊形ABER為直角梯形；

(2)解：因?yàn)锽4_L4),PA=AD=3,所以尸。=3應(yīng)，

因?yàn)?尸=速，所以PZ)=2AF,

2

所以F為P￡>的中點(diǎn)，

所以AF_LP￡),

由(1)可知，/仍_1平面24。，又P￡)u平面P4Z),

所以Afi_LP￡>,又凡尸「|48=4，

所以P￡)_L平面AflE正，

所以直線PC與平面所成的角就是ZPEF,

又因?yàn)镋F//CD,所以NPEF=NPCD,

又AB//CD,所以CD_LP￡),

所以加“8=四=,3五二迎,

PC^PD-+CD1J(3局+2?11

故直線PC與平面43瓦'所成角的正弦值為主叵.

11

20.解：(1)對(duì)環(huán)境滿意的有200x60%=120(人)，

對(duì)執(zhí)法力度滿意的有200x75%=150(人)，

對(duì)環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度都滿意的有80人，填寫列聯(lián)表如下:

對(duì)執(zhí)法力度滿意對(duì)執(zhí)法力度不滿意總計(jì)

對(duì)環(huán)境質(zhì)量滿8040120

意

對(duì)環(huán)境質(zhì)量不701080

滿意

總計(jì)15050200

計(jì)算K?=200x(80x1。-40x70)、則>328，

120x80x150x509

所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度有關(guān).

（2）由題意知，隨機(jī)變量g的可能取值為0，1,2,3；

3

計(jì)算2《=0)=乎C=里247

490

P?=1)=

PC=2)=

產(chǎn)《=3）=鼻=3

490

。50

則g的分布列為:

0123

P2473993

4909898490

出/古衣廠々、八247,39「9r33

均值為E(^)=0x----i-lx——+2x---F3X-----=—.

49098984905

￡_

a2

41

21.解：（I）由題意可得/+7=1,解得:ci=2^2，b=5/2,

a2=bI~2+c~2

所以橢圓的方程為：工+￡=1

82

(II)設(shè)y1),B(X2,y2),M(0"),wO,則N(O,-f),

Z—1

因?yàn)镻（2,l），所以直線尸M的方程為:y=---x+t，

-2

-----1-----=1

聯(lián)立直線與橢圓的方程：82可得：x2+[(r-l)x-2r]2-8=0，

y二---x+t

-2

即即-2t+2)x2-4t(t-1)T+4*一8=0,整理可得:(x-2)[(?-2r+2)x-2?+4]=0,

2t2-4t-\2r-4-t2+4r-2

所以為=--------,v.=--------------=---------

t2-2t+21-2*-21+2/-21+2

2『-4_-r-4r-2

*-1+2f+2'>，2-r+2t+2'

猜想：直線/W過定點(diǎn)。(0,〃)，其中"待定,

證明：因?yàn)椤?=(X],yt-u),QB=(x2,y2-