中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題23 平行四邊形（原卷版）

專題23平行四邊形【考查題型】【知識要點】知識點一平行四邊形平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補；3)對角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心。平行四邊形的判定定理：1)邊：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．2)角：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形．3)邊與角：⑥一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；4)對角線：⑦對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的面積公式：面積=底×高平行線的性質(zhì)：1）平行線間的距離都相等；2）兩條平行線間的任何平行線段都相等；3）等底等高的平行四邊形面積相等?？疾轭}型一添加一個條件成為平行四邊形典例1．（2022·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點D，E分別是，邊的中點，點F在的延長線上．添加一個條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個條件可以是（

）A． B． C． D．變式1-1．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABCD成為平行四邊形，你所添加的條件為___________（寫一個即可）．變式1-2．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在四邊形中，連接，．請你添加一個條件______________，使．（填一種情況即可）變式1-3．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點，．（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．考查題型二平行四邊形的證明典例2．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，與交于點，，，垂足分別為點，，且，．求證：四邊形是平行四邊形．變式2-1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求證：∠ACB＝∠DFE；(2)連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．變式2-2．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，交于點，點在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．變式2-3．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．變式2-4．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點在同一直線上，測得．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點G到的距離）．（參考數(shù)據(jù)：）變式2-5．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點、分別在邊、上，且．（1）探究四邊形的形狀，并說明理由；（2）連接，分別交、于點、，連接交于點．若，，求的長．變式2-6．（2021·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AO＝CO，點E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．考查題型三利用平行線的性質(zhì)求解典例3．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，一定正確的是（

）A． B． C． D．變式3-1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（

）A．96 B． C．192 D．變式3-2．（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長為（

）A．4 B．3 C． D．2變式3-3．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中（如圖），連接，已知，，則（

）A． B． C． D．變式3-4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是內(nèi)一點，與軸平行，與軸平行，，，，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，則的值是（

）A． B． C． D．變式3-5．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，平行四邊形OBAD的頂點B在反比例函數(shù)的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點D在x軸的負半軸上．若平行四邊形OBAD的面積是5，則k的值是（

）A．2 B．1 C． D．變式3-6．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖,在中，，是上的點,∥交于點，∥交于點，那么四邊形的周長是（

）A．5 B．10 C．15 D．20變式3-7．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點A，B，C的坐標(biāo)分別是，則頂點D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．變式3-8．（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸只有一個公共點A（1，0），與軸交于點B（0，2），虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移兩個單位長度得拋物線，則圖中兩個陰影部分的面積和為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式3-9．（2021·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)，那么（

）A． B． C． D．變式3-10．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標(biāo)原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，的圖象經(jīng)過點B．若，則________．變式3-11．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；作射線交于點．若，則的長為_________．變式3-12．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為_________．變式3-13．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，將平行四邊形OABC繞點O旋轉(zhuǎn)90°后，點B的對應(yīng)點坐標(biāo)是______．變式3-14．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點D為OB的中點，?OCDE的頂點C在x軸上，頂點E在直線AB上，則?OCDE的面積為_______．考查題型四利用平行線的性質(zhì)證明典例4．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E和點F是對角線BD上的兩點，且BF＝DE．(1)求證：BE＝DF；(2)求證：ABE≌CDF．變式4-1．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，E，G，H，F(xiàn)分別是上的點，且．求證：．變式4-2．（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是平行四邊形的對角線，平分，交于點．(1)請用尺規(guī)作的角平分線，交于點（要求保留作圖痕跡，不寫作法，在確認答案后，請用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）；(2)根據(jù)圖形猜想四邊形為平行四邊形，請將下面的證明過程補充完整．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∵______（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形∴∴四邊形為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．變式4-3．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點O是的中點，連接并延長交的延長線于點E，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，判斷四邊形的形狀，并說明理由．變式4-4．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，連接，若的延長線和的延長線相交于點F．（1）求證：；（2）連接和相交于點為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．考查題型五利用平行線的性質(zhì)與判定求解典例5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個四邊形，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動過程中，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．四邊形周長不變 B．C．四邊形面積不變 D．變式5-1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，與相交于點E，連接，則與的周長比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1變式5-2．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對角線、相交于點E，點O為的中點，連接并延長，交的延長線于點D，交于點G，連接、，若平行四邊形的面積為48，則的面積為（）A．5.5 B．5 C．4 D．3變式5-3．（2021·江西·中考真題）如圖，將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，若，，，，則的周長為______．變式5-4．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．變式5-5．（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．知識點二三角形中位線三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。幾何描述：∵DE是△ABC的中位線∴DE∥BC,DE=12三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。考查題型六與三角形中位線有關(guān)的計算典例6．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為CD的中點．若OE＝3，則菱形ABCD的周長為（

）A．6 B．12 C．24 D．48變式6-1．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D，E分別為，的中點，則（

）A． B． C．1 D．2變式6-2．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上，且CE=1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（

）A． B．C． D．變式6-3．（2021·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點分別是邊的中點，連接．若菱形的面積為8，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．5變式6-4．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為、，若，，則的度數(shù)是____．變式6-5．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，，則_____．變式6-6．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則_____________．變式6-7．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊的中點C，D的橫坐標(biāo)分別是1，4，則點B的橫坐標(biāo)是_______．變式6-8．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對角線AC，BD相交于點O，．(1)求證：；(2)若點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，連接EF，，求BD的長及四邊形ABCD的周長．考查題型七利用三角形中位線解決三角形面積問題典例7．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為的等邊中，分別取三邊的中點，，，得△；再分別取△三邊的中點，，，得△；這樣依次下去，經(jīng)過第2021次操作后得△，則△的面積為（

）A． B． C． D．變式7-1．（2021·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（

）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2變式7-2．（2021·黑