勾股定理的簡述與證明

勾股定理的簡述與證明勾股定理是一個基本的幾何定理，直角三角形兩直角邊(即“勾”，“股”)邊長平方和等于斜邊(即“弦”)邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c,那么a2+b2=c2。勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股數(shù)組成a2+b2=c2的正整數(shù)組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數(shù)。勾股定理是一個初等幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一?！肮慈?，股四，弦五”是勾股定理的一個最著名的例子。當(dāng)整數(shù)a,b,c滿足a2+b2=c2這個條件時，(a,b,c)叫做勾股數(shù)組。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。”常見勾股數(shù)有(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)。遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和尼羅河泛濫后測量土地時，也應(yīng)用過勾股定理。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。那么，勾股定理可以怎樣推導(dǎo)呢？加菲爾德證法加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。在直角梯形ABDE中，/AEC=/CDB=90△aec^^cdb在直角梯形ABDE中，/AEC=/CDB=90AC=BC=cc_c一泌-。宜DB~~2°S&AU8=~2(a4x(￡?4V>,一上\iE：V>,一上\iE：—土?婦門：二上上E：ababc2(■十h)‘ 1 T — 2 2 2 2加菲爾德證法變式如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即：1??-+c=(a+2db+c2=-a2+b2+2flbc1=a2梅文鼎證明做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為3、b,斜邊長為把它們拼成如圖,那樣的一個多邊形，使隊E.F在一條直線上.過。作AC的延長線交DF于點P.D.E、F在一條直線上，且Rt，GEF巨&狂町二ZEGF=NBEAZEGF十ZGEF二90a,二ZBED+ZGEF=90*,:.ZBEG=180^-90°=90\又■/AB=BE=EG=GA=c,:*ABEG是一個邊長為c的正方形二ZABC+ZCBE=90\林&ABC絲屁山EBD,二ZABC=NEBD.:.ZEBD+NCBE=90°-即ZCBD-90\又：ZBDE=90",ZBCP=9b,BC=BD=&二BDPC是f邊長為a的正方珞同理，HPFG是一t邊長為b的正方形一設(shè)多邊形GHC班的面積為&則a+必=S+2X—ai.c2=5+2x—at2 2>

④（利用切割線定理證明）在艮返中，設(shè)直-a,AC=bt斜邊AB=s如圖，以B為圓心日為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于艮E,則BD=BE=BC=a.因為NBCA=90°.點C在OB上，所以AC是。B的切線.由切割線定理，得：AC-IE*ADccB-[AB-bBE"lAB-BD\ccB=(c+口也」a.I勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端；是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理。它導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對數(shù)的理解。勾股定理更是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實用價值。這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，而