從一道試題多角度分析看“不等式證明”問題的求解策略 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選從一道試題多角度分析看“不等式證明”問題的求解策略摘要：在平時(shí)的講題和教研中，教師對(duì)于習(xí)題的講解一定要做到少講精講，切不可泛三，以一題破萬題的能力.關(guān)鍵詞：不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)，同構(gòu).“不等式證明”問題常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、常用邏輯用語等知識(shí)聯(lián)系在一起，求解此類問題往往需要借助多種數(shù)學(xué)思想方法，因而倍受高考青睞，成為高考試題中的經(jīng)典題型之一．事實(shí)上，也正是由于這類問題涉及的知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)、解法靈活多變，學(xué)生在求解時(shí)頗感棘手．近日，筆者在進(jìn)行高三復(fù)習(xí)時(shí)遇見一道“不等式證明”問題，仔細(xì)分析之，發(fā)現(xiàn)此題可以從多角度入手，將“不等式證明”問題的常見求解策略一網(wǎng)打盡．現(xiàn)將其整理成文，以供研討指正．題目（2021金考卷全國卷高考測(cè)評(píng)卷三·理21）已知函數(shù)f(x)xlnxmex(mR).(1)當(dāng)m1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；e當(dāng)m2e2

時(shí)，求證：f(x)0.本文主要是從第二問分析此類不等式證明的解決策略，故第一問不做解釋.一題四法：從不同視角不同的處理方法攻克“不等式證明”問題分析：要證明f(x)xlnxmex0,只需要證明mexxlnx0.思路一 分離參數(shù)與變量，構(gòu)造無參函數(shù)求最值．分離參數(shù)是一種極為尋常的招數(shù)，在解題中往往可以借助分離參數(shù)法回避分類討論．再構(gòu)造無參函數(shù)解題．依題意，要證明f(x)0，只需要證明mxlnx，對(duì)任意x0恒成立．ex令g(x)xlnx，則g'(x)lnx1xlnx.ex ex2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選令h(x)lnx1xlnx,h'(x)1lnx1，當(dāng)x

x0,故

h(x)在區(qū)間x上單調(diào)遞增.當(dāng)x）時(shí)，h'(x)0,故h(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減.h(1 h(因?yàn)?)1

0,10,h(2)ln212ln20,h(e)11e0所以e2 e2x2(2,e),使得h(x1)h(x2)0.,當(dāng)xm1mxlnx,求e2 e求當(dāng)x）時(shí)，g(x)g(x)x2lnx2x

(2,e).

x2lnx2x2lne.令r(x)x 2導(dǎo)易得

ex2 2x22.

ex2

ex2 exex2 e2從而推導(dǎo)出當(dāng)x）時(shí)，g(x)g(x)x2lnx2x2lne2

m.證畢.2 ex2

ex2 e2思路二 直接構(gòu)造函數(shù)，利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為無參函數(shù)的最值問題．解決有參函數(shù)分類討論往往是一道試題的難點(diǎn)，所以快速轉(zhuǎn)化為無參函數(shù)是我們首先要考慮到的.思路一利用的是參數(shù)分離，本題還可以用不等式性質(zhì)構(gòu)造無參函數(shù).m2mexxlnx2exxlnx.要證明mexxlnx0，只需要證明2exxlnx0.e2g(x)2exxlnx

e2 e2g'(x)2exlnx1令 e2

，則 e2 .g''(x)2ex1，g''(x)在x(0,)為增函數(shù).g''(1)210,g''(2)210.可以推e2 x e 2出使得g''(x0)0.x(0,x0),g'(x)為減函數(shù)，x(x0,),g'(x)為增函數(shù).1又因?yàn)間'(1)2eeln(1)10,g'(1)210,g'(2)2ln210.1e e2 e ex2(1,2)使得g'(x1)g'(x2)0.當(dāng)x(0,)和xg(x)為增函數(shù)當(dāng)x(x1,x2),g(x)為減函數(shù).當(dāng)xlnx0,所以g(x)0,當(dāng)x）時(shí)，g(x)g(x)2ex2x

lnxg'(x)2ex2lnx

10.所以可以2 e2 2 2

2 e2 2推出g(x2)lnx21x2lnx2(1x2)lnx2又x21x20,0lnx21,1(1x2)lnx2(1x2)lnx210,

f(x)f(x2)思路三 先對(duì)不等式作等價(jià)變形，再構(gòu)造無參函數(shù)轉(zhuǎn)化球最值問題．2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選上述思路2中直接構(gòu)造差函數(shù)2exxlnx0xlnx”中的“l(fā)nx”依e2然存在，一般來說，這可能會(huì)導(dǎo)致不易求得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)、判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況……是否可以考慮對(duì)不等式2exxlnx0進(jìn)行等價(jià)變形呢？比如不等式兩邊同除以xe22 ex2形為 exlnx0，即2 lnx0，故有思路3．xe2

x2(x1)ex2x令g(x)2ex2lnx，則g'(x) .x x2令h(x)2(x1)ex2x,h'(x)2xex21，h'(x)在x(0,)為增函數(shù).210,h'(2)410,所以可以推出一定e使得h'(x0)0

h(x)在x(0,x0)為減函數(shù),在x(x0,)為增函數(shù).當(dāng)x且g'(2)當(dāng)x0;當(dāng)x(2,)時(shí),g'(x)0.可得g(x)在x(2,)時(shí)為增函數(shù)，所以g(x)g(2)1ln2思路四 同構(gòu)百般好，靈活是關(guān)鍵．ex2由思路三得只需證明2x

lnx0.ex2將式子變形2 lnxex2ln2lnxlnxex2ln2lnx(x2ln2lnx)1xln2lnx1lnxex2ln2lnx(x2ln2lnx)1xln(x)1lnxex2ln2lnx(x2ln2lnx)1xln(x)12 2 2 xln2 接下來較容易證明ex2ln2lnx(x2ln2lnx)10,xln(x)10,xlnx2 2 2總之，在平時(shí)的教與學(xué)中，如果我們能抓住看似普通的典型題目，站在常用數(shù)學(xué)思想和方法的高度，以培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)新能力為目標(biāo)，從多角度，多方位分析和優(yōu)化解法，必能以一題破萬題，從而有效地減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率．2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選參考文獻(xiàn)[1]吳利華：強(qiáng)化思想意識(shí)，