第8講-盈虧問(wèn)題(五年級(jí)教師版)

第8講盈虧問(wèn)題盈虧問(wèn)題又叫盈不足問(wèn)題，是指把固定數(shù)量的物品平均分給固定的對(duì)象，因?yàn)閮煞N不同的分配標(biāo)準(zhǔn)，導(dǎo)致兩種不同的分配結(jié)果：一種標(biāo)準(zhǔn)分配后有剩余（盈）；另一種標(biāo)準(zhǔn)分配后不夠分（虧或不足）。此類(lèi)問(wèn)題，要求通過(guò)兩種分配結(jié)果的比較，求出物品總數(shù)量和固定對(duì)象的個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題就是兩次分配的結(jié)果一盈一虧，所以就叫盈虧問(wèn)題?；镜臄?shù)量關(guān)系是：（盈+虧）÷兩種分配標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量之差＝固定對(duì)象數(shù)量。廣義的盈虧問(wèn)題一般還包括以下四種情況：一、兩次分配都有余（兩盈）；二、兩次分配都不夠分（兩虧）；三、一次有余，一次剛好夠分（盈適足）；四、一次分配不夠分，一次剛好夠分（虧適足）。

解決盈虧問(wèn)題常用比較的解題策略：通過(guò)兩次分配盈虧總額與分配數(shù)量的比較，先求出固定對(duì)象的個(gè)數(shù)，再求出分配物品的總數(shù)量。此類(lèi)問(wèn)題基本數(shù)量關(guān)系有：①

盈適足問(wèn)題：盈余部分÷兩種分配標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量之差＝固定對(duì)象數(shù)量。②

虧適足問(wèn)題：虧欠部分÷兩種分配標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量之差＝固定對(duì)象數(shù)量。③

兩盈問(wèn)題：（盈多－盈少）÷兩種分配標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量之差＝固定對(duì)象數(shù)量。④

兩虧問(wèn)題：（虧多－虧少）÷兩種分配標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量之差＝固定對(duì)象數(shù)量。⑤

盈虧問(wèn)題：（盈+虧）÷兩種分配標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量之差＝固定對(duì)象數(shù)量。比較常規(guī)的盈虧問(wèn)題，一般可以直接套用上面的數(shù)量關(guān)系，解決問(wèn)題。較復(fù)雜的盈虧問(wèn)題，一般需要先對(duì)題中的條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，將相關(guān)問(wèn)題先轉(zhuǎn)化成典型的盈虧問(wèn)題，再求解?！纠?】“雛鷹小隊(duì)”的同學(xué)們參加植樹(shù)活動(dòng)，如果每人栽5棵樹(shù)，還剩12棵樹(shù)；如果每人栽7棵，就缺4棵。問(wèn)這個(gè)小隊(duì)有多少人？一共要栽多少棵樹(shù)？【解析】：

可以畫(huà)出線(xiàn)段圖幫助理解題意，如下圖：

觀(guān)察上圖，比較每人栽7棵與每人栽5棵的兩種情況，雛鷹小隊(duì)總?cè)藬?shù)是不變的。雛鷹小隊(duì)栽樹(shù)總棵數(shù)多出：12＋4=16（棵）；而每個(gè)人多栽：7－5=2（棵）；所以小隊(duì)人數(shù)為：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。由小隊(duì)人數(shù)和任意一種栽法，可以求出栽樹(shù)總棵數(shù)：5×8＋12=52（棵）或7×8－4=52（棵）?！纠?】學(xué)生春游，租了幾條船讓學(xué)生們劃，每條船坐3人，則空2人的位置；如果每條船坐5人，則空出16人的位置，問(wèn)有學(xué)生多少人？共租了多少條船？【解析】：這是兩虧問(wèn)題，每條船坐3人，空2個(gè)位置即少2人，每條船坐5人空16個(gè)位置少16人，每條船坐5人比每條船坐3人多空出了14個(gè)位置，即每條船坐5人比每條船做3人，可以多坐14人。比較兩種坐船方案，租船總條數(shù)是不變的?？沙俗?cè)藬?shù)相差：16－2=14（人）；每條船乘坐人數(shù)相差：5－3=2（人）；所以共租船：14÷2=7（條）。根據(jù)船的條數(shù)和任意一種租船方案，可以求出學(xué)生人數(shù)，如：7×3－2=19（人）。注：如果解題時(shí)，該題需要把題中的一種分配方案進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能化為盈虧問(wèn)題求解，通常在求題中的第二個(gè)未知數(shù)時(shí)，按另一種分配方案求解比較方便?！纠?】：解放軍某部調(diào)動(dòng)一批戰(zhàn)士分乘一批車(chē)輛趕往汛地抗洪。原計(jì)劃每輛汽車(chē)乘32人，則多出5人，他們被安排乘坐在其中的某輛車(chē)上，行進(jìn)中由于緊急任務(wù)調(diào)走一輛車(chē)，這時(shí)只好重新安排每輛車(chē)乘35人，這樣多出7人，他們被安排在其中的某輛車(chē)上，問(wèn)原來(lái)共有多少輛車(chē)？共派出多少名戰(zhàn)士？【解析】：在重新安排時(shí)，每輛車(chē)35人，少了一輛車(chē)，多出7人。如果補(bǔ)上這輛車(chē)，可以坐上這7個(gè)人，還可以再坐：35－7=28（人）。所以這個(gè)條件可以轉(zhuǎn)化為：仍然是原來(lái)的車(chē)輛數(shù)，每輛車(chē)35人，少了28人。1.小朋友分蘋(píng)果，每人分18個(gè)，還多出2個(gè)；每人分20個(gè)，就有一位小朋友沒(méi)分到蘋(píng)果，問(wèn)共有多少個(gè)小朋友？共有多少個(gè)蘋(píng)果？【解析】：轉(zhuǎn)化題中條件“每人分20只，就有一位小朋友沒(méi)分到蘋(píng)果”，即每人分20個(gè)蘋(píng)果，就少20個(gè)蘋(píng)果。可以畫(huà)出與上題相似的線(xiàn)段圖幫助理解題意，比較每人分20個(gè)蘋(píng)果和每人分18個(gè)蘋(píng)果兩種情況，小朋友總?cè)藬?shù)是不變的。分掉的蘋(píng)果總數(shù)相差：2＋20=22（個(gè)）；每人多分：20－18=2（個(gè)）；所以共有小朋友：22÷2=11（個(gè)）。由小朋友總?cè)藬?shù)和任意一種分法，可以求出蘋(píng)果總數(shù)，如：（11—1）×20=200（個(gè)）。2.全班同學(xué)分組勞動(dòng)，每組8人。勞動(dòng)中覺(jué)得每組人數(shù)太少，因而重新編組，每組改為12人，這樣減少了2組，問(wèn)參加勞動(dòng)的學(xué)生有多少人？【解析】：轉(zhuǎn)化題中條件“每組12人，少2組”，即按原定組數(shù)分組，每組12人，少了24人。轉(zhuǎn)化條件后，比較第二次編組與第一次編組情況，編的組數(shù)沒(méi)變?？?cè)藬?shù)增加：12×2=24（人）；每組人數(shù)增加：12－8=4（人）；原定組數(shù)為：24÷4=6（人）。再根據(jù)第一次分組情況，可以求出學(xué)生人數(shù)為：8×6=48（人）。3.在一次大掃除中，老師分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4塊，其余每人擦5塊，則余22塊；如果每人擦7塊，正好擦完。求擦玻璃的人數(shù)和玻璃的塊數(shù)。【解析】：第一種方案中，有2人擦4塊玻璃，假定這兩人也擦5塊，就可以多擦：2×（5－4）=2（塊）。因此題中條件“如果其中2人各擦4塊，其余每人擦5塊，則余22塊；”可以轉(zhuǎn)化為：如果每人擦5塊，則余：22－2=20（塊）。從而把原題轉(zhuǎn)化為盈余問(wèn)題求解：擦玻璃人數(shù)為：20÷（7－5）=10（人）；玻璃的塊數(shù)為：10×7=70（塊）。4.有若干個(gè)蘋(píng)果和梨，如果按1個(gè)蘋(píng)果配3個(gè)梨分一堆，那么蘋(píng)果分完時(shí)還剩2個(gè)梨，如果按半個(gè)蘋(píng)果配2個(gè)梨分一堆，那么梨分完時(shí)還剩半個(gè)蘋(píng)果，那么梨有多少個(gè)？【解析】：第二分配方案中，半個(gè)蘋(píng)果配2個(gè)梨就相當(dāng)于1個(gè)蘋(píng)果配4個(gè)梨，還剩下半個(gè)蘋(píng)果，還需要添2個(gè)梨正好配完。因此題中條件“如果按半個(gè)蘋(píng)果配2個(gè)梨分一堆，那么梨分完時(shí)還剩半個(gè)蘋(píng)果，”可以轉(zhuǎn)化為：如果按1個(gè)蘋(píng)果配4個(gè)梨，就缺2個(gè)梨。從而把原題轉(zhuǎn)化為盈虧問(wèn)題求解：共有蘋(píng)果：（2＋2）÷（4－3）=4（個(gè)）；共有梨：4×3＋2=14（個(gè)）。5.學(xué)而思學(xué)校買(mǎi)來(lái)一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學(xué)們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問(wèn)：學(xué)而思學(xué)校買(mǎi)來(lái)羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【解析】：因?yàn)橛鹈蚺氖瞧古仪蚺牡?倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后應(yīng)余下15×2=30（副），因?yàn)?4-5×2=4（副），分到最后還差30副，所以比每次分10副總共差30+30=60（副），所以有小組：60÷4=15（組），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=18