中考數(shù)學復習之考點題型全歸納與分層精練（全國通用）：專題02 實數(shù)(解析版)

專題02實數(shù)【專題目錄】技巧1：實數(shù)大小比較的七種技巧技巧2：實數(shù)與數(shù)軸的關系技巧3：非負數(shù)應用的常見題型【題型】一、求算術平方根【題型】二、求平方根【題型】三、求立方根【題型】四、實數(shù)與數(shù)軸【題型】五、實數(shù)比較大小【題型】六、無理數(shù)的估值【題型】七、非負數(shù)性質的應用【題型】八、實數(shù)的運算【考綱要求】1、知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應．2、了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根．3、熟練掌握實數(shù)的運算，會用各種方法比較兩個實數(shù)的大小.【考點總結】一、實數(shù)的分類實數(shù)的分類按定義分有理數(shù)整數(shù)分數(shù)無理數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)按正負分正實數(shù)0負實數(shù)【考點總結】二、平方根、算術平方根、立方根實數(shù)的相關概念無理數(shù)無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)平方根①如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，記作；②性質：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根.算術平方根①如果一個正數(shù)的平方等于a，即x2＝a，那么這個數(shù)x叫做a的算術平方根,記作.②非負性：，立方根①如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根，記作.②性質：正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根.③，零指數(shù)，負指數(shù)冪；非負數(shù)1．常見的三種非負數(shù)：|a|≥0，a2≥0，eq\r(a)≥0(a≥0)．2．非負數(shù)的性質：①非負數(shù)有最小值是零；②任意幾個非負數(shù)的和仍為非負數(shù)；③幾個非負數(shù)的和為0，則每個非負數(shù)都等于0.【考點總結】三、實數(shù)的運算實數(shù)的運算加法同號兩數(shù)相加，取原來的符號。并把它們的絕對值相加。異號兩數(shù)相加，取絕對儲較大的加數(shù)的符號，并用較大數(shù)的絕對值減失較小數(shù)的絕對值。減法減去一個效等于加上這個數(shù)的相反數(shù)乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相乘幾個非零實數(shù)相乘。積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負n個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0.除法兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相除0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0乘方幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，記作an（a≠0，n為正整數(shù)）開方與乘方互為逆運算運算順序分級：加減是一級運算。除是二級運算，乘方和開方是三級運算，三級運算的題序是三二一、（如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算）【考點總結】五、實數(shù)的大小比較1．在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大．2．正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而?。?．取差比較法(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b＝0a＝b；(3)a－b＜0a＜B．4．倒數(shù)比較法若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，a＞0，b＞0，則a＜B．5．平方法：因為由a＞b＞0，可得eq\r(a)＞eq\r(b)，所以我們可以把eq\r(a)與eq\r(b)的大小問題轉化成比較a和b的大小問題．【注意】1．比較實數(shù)大小的五種方法（1）絕對值比較法：兩個負數(shù)比較大小，絕大值大的反而?。?）數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大（3）平方比較法：先將要平方的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)a>0,b>0時，可由a2>b2得到a>b來比較大小。（4）取近以值法：首先對要比較的兩個數(shù)取近以值通過比較其近似值來比較兩個數(shù)的大小，（5）差值比較法2．無理數(shù)常見的四種類型（1）開不盡的數(shù)，如，（2）含有π的絕大部分數(shù)，如π，（3）具有特定結構的數(shù)，如0.10100000(兩個1之間依次增加1個0)（4）三角函數(shù)數(shù)中的一些數(shù)，如，，.【技巧歸納】技巧1：實數(shù)大小比較的七種技巧【類型】一、比較絕對值法1．比較－eq\r(5)－2與－eq\r(7)－2的大?。绢愋汀慷?、開方法2．比較7eq\f(1,2)與eq\r(56)的大?。绢愋汀咳?、平方法或立方法3．比較－eq\r(10)和－π的大?。绢愋汀克?、取近似值法4．比較eq\r(5)＋2與4.3的大?。绢愋汀课濉⒎趴s法5．比較eq\r(6)＋2與eq\r(57)－2的大?。绢愋汀苛?、作差法6．比較eq\f(\r(13)－1,2)和eq\f(3,2)的大?。绢愋汀科摺⑻厥庵捣?．已知－1＜x＜0，將x，eq\f(1,x)，x2，eq\r(3,x)按從小到大的順序排列為.參考答案1．解：∵|－eq\r(5)－2|＝eq\r(5)＋2，|－eq\r(7)－2|＝eq\r(7)＋2，而eq\r(5)＜eq\r(7)，∴eq\r(5)＋2＜eq\r(7)＋2，[來源:Zxxk.Com]根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，可知－eq\r(5)－2＞－eq\r(7)－2.點撥：比較兩個負數(shù)的大小，先比較它們的絕對值，絕對值大的反而?。?．解：7eq\f(1,2)＝eq\f(15,2)＝eq\r(\f(225,4))＝eq\r(56\f(1,4)).∵56eq\f(1,4)＞56,∴eq\r(56\f(1,4))＞eq\r(56)，即7eq\f(1,2)＞eq\r(56).點撥：當要判斷大小的兩個數(shù)中只有一個數(shù)帶根號時，可以給另一個數(shù)添加根號，然后比較根號下兩個數(shù)的大?。?．解：∵(eq\r(10))2＝10，而10＞π2,∴eq\r(10)＞π，∴－eq\r(10)＜－π.點撥：把兩個數(shù)都平方，然后比較大?。?．解：∵eq\r(5)≈2.236,∴eq\r(5)＋2≈4.236.又∵4.236＜4.3，∴eq\r(5)＋2＜4.3.點撥：先求出無理數(shù)的近似值，再比較兩個數(shù)的大?。?．解：∵2＜eq\r(6)＜3,7＜eq\r(57)＜8,∴eq\r(6)＋2＜3＋2＝5＜eq\r(57)－2，∴eq\r(6)＋2＜eq\r(57)－2.點撥：比較兩個無理數(shù)的大小可以采用放縮法．6．解：∵eq\f(\r(13)－1,2)－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(13)－4,2)，而eq\r(13)－4＝eq\r(13)－eq\r(16)＜0，∴eq\f(\r(13)－4,2)＜0，即eq\f(\r(13)－1,2)－eq\f(3,2)＜0，∴eq\f(\r(13)－1,2)＜eq\f(3,2).點撥：先作差，然后與0比較大小，最后確定這兩個數(shù)的大小．7.eq\f(1,x)＜eq\r(3,x)＜x＜x2點撥：本題可以用特殊值法求解，例如取x＝－eq\f(1,8)，則eq\f(1,x)＝－8，x2＝eq\f(1,64)，eq\r(3,x)＝－eq\f(1,2)，因此eq\f(1,x)＜eq\r(3,x)＜x＜x2.技巧2：實數(shù)與數(shù)軸的關系【類型】一、利用數(shù)軸上的點表示實數(shù)1．已知x2＝3，那么在數(shù)軸上x對應的點（如圖）可能是（）A．點P1B．點P4C．點P2或點P3D．點P1或點P42．如圖，在數(shù)軸上表示eq\r(15)的點可能是（）A．點PB．點QC．點MD．點N【類型】二、利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小3．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，把－a，－b，0按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．－a<0<－bB．0<－a<－bC．－b<0<－aD．0<－b<－a4．表示實數(shù)a，b的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a0，b0，|a|－b.（填“＞”或“＜”）【類型】三、利用實數(shù)與數(shù)軸的關系進行計算5．實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：eq\r(a2)＋eq\r(（－b）2)－|a－eq\r(3)|－|eq\r(3)－b|＋|a－b|.參考答案1．D2.C3．C4.＜；＜；＜5．解：原式＝|a|＋|b|－|a－eq\r(3)|－|eq\r(3)－b|＋|a－b|＝－a＋b＋a－eq\r(3)＋eq\r(3)－b＋b－a＝b－a.技巧3：非負數(shù)應用的常見題型【類型】一、絕對值的非負性1．如果一個數(shù)的絕對值為a，那么數(shù)a在數(shù)軸上（如圖）對應的點不可能是（）A．點MB．點OC．點PD．點N2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值為（）A．a(chǎn)＝1，b＝1B．a(chǎn)＝－1，b＝3C．a(chǎn)＝2，b＝0D．a(chǎn)＝0，b＝2【類型】二、偶次方的非負性3．若（x＋3）2＝a－2，則a的值可以是（）A．－1B．0C．1D．24．若x2＋（y－4）4＝0，求xy的值．【類型】三、算術平方根的非負性一、eq\r(a)中被開方數(shù)a≥0的應用5．如果eq\r(1－a)＝b，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)＝1D．a(chǎn)≤16．已知x，y都是有理數(shù)，且y＝eq\r(x－3)＋eq\r(3－x)＋8，求x＋3y的立方根．二、eq\r(a)≥0的應用7．已知x，y是有理數(shù)，且eq\r(3x＋4)＋|y－3|＝0，則xy的值是（）A．4B．－4C.eq\f(9,4)D．－eq\f(9,4)8．已知eq\r(x＋3)＋eq\r(2y－4)＝0，求（x＋y）2018的值．三、算術平方根的雙重非負性的應用9．當x為何值時，eq\r(2x＋1)＋6有最小值，最小值為多少？10．若a＋eq\r(a－2)＝2，求eq\r(a＋2)的值．參考答案1．A2.C3．D4．解：因為x2≥0，(y－4)4≥0，且x2＋(y－4)4＝0，所以x＝0，y－4＝0，即x＝0，y＝4，所以xy＝0.5．D6．解：由題意得x－3≥0且3－x≥0，所以x＝3，所以y＝8.所以x＋3y的立方根為eq\r(3,x＋3y)＝eq\r(3,3＋3×8)＝3.7．B8．解：由題意得x＋3＝0，2y－4＝0，所以x＝－3，y＝2，所以(x＋y)2018＝(－3＋2)2018＝1.9．解：由算術平方根的雙重非負性得eq\r(2x＋1)≥0，2x＋1≥0.當eq\r(2x＋1)＝0，即x＝－eq\f(1,2)時，eq\r(2x＋1)＋6有最小值，最小值為6.10．解：由a＋eq\r(a－2)＝2得eq\r(a－2)＝2－a，所以a－2≥0，2－a≥0，即a＝2，所以eq\r(a＋2)＝eq\r(2＋2)＝2.【題型講解】【題型】一、求算術平方根例1、若一個正方形的面積是12，則它的邊長是（）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)正方形的面積公式即可求解．【詳解】解：由題意知：正方形的面積等于邊長×邊長，設邊長為a，故a2=12，∴a=±，又邊長大于0∴邊長a=．故選：A.【題型】二、求平方根例2、的平方是（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先計算，然后再計算平方．【詳解】∵∴故選：D．【題型】三、求立方根例3、8的相反數(shù)的立方根是（）A．2 B． C．﹣2 D．【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義、立方根的概念計算即可．【詳解】8的相反數(shù)是﹣8，﹣8的立方根是﹣2，則8的相反數(shù)的立方根是﹣2，故選C．【題型】四、實數(shù)與數(shù)軸例4、實數(shù)、在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】先由數(shù)軸上a，b兩點的位置確定a，b的取值范圍，再逐一驗證即可求解．【詳解】由數(shù)軸上a，b兩點的位置可知-2＜a＜-1，0<b＜1，所以a<b，故A選項錯誤；|a|>|b|，故B選項錯誤；a+b<0，故C選項錯誤；，故D選項正確，故選D.【題型】五、實數(shù)比較大小例5、在下列四個實數(shù)中，最小的數(shù)是（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：根據(jù)實數(shù)大小比較的方法，可得-2＜0＜＜，所以四個實數(shù)中，最小的數(shù)是-2．故選：A．【題型】六、無理數(shù)的估值例6、估計的值應在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則進行計算，再估算無理數(shù)的大小.【詳解】==2+，∵4<6<9，∵2<<3，∴4<2+<5，故選：A.【題型】七、非負數(shù)性質的應用例7、若實數(shù)x，y滿足eq\r(x－2)＋(3－y)2＝0，則代數(shù)式xy－x2的值為__________．【答案】2【分析】常見的非負數(shù)的形式有三種：|a|，(a≥0)，a2，若它們的和為零，則每一個式子都為0.【詳解】因為eq\r(x－2)≥0，(3－y)2≥0，而eq\r(x－2)＋(3－y)2＝0，所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，則xy－x2＝2×3－22＝2.【題型】八、實數(shù)的運算例8、計算：(1)；(2).【分析】提高實數(shù)的運算能力，首先要認真審題，理解有關概念；其次要正確、靈活地應用零指數(shù)、負整數(shù)指數(shù)的定義及實數(shù)的六種運算法則，根據(jù)運算律及順序，選擇合理、簡捷的解題途徑．要特別注意把好符號關．【詳解】(1)原式＝4×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)－1＝3－eq\f(1,2)－1＝eq\f(3,2).(2)原式＝3－|－2＋eq\r(3)|＋1＝3－(2－eq\r(3))＋1＝2＋eq\r(3).實數(shù)（達標訓練）一、單選題1．（2022·湖南·邵陽縣教育科學研究室模擬預測）如圖，實數(shù)在數(shù)軸上的對應點可能是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】B【分析】根據(jù)得，即可得．【詳解】解：∵，∴∴，故選：B．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，解題的關鍵是掌握無理數(shù)的大小比較．2．（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學校三模）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)實數(shù)的大小比較法則，即可求解．【詳解】解：∵，∴最大的數(shù)是．故選：D【點睛】本題主要考查了實數(shù)的大小比較，熟練掌握實數(shù)的大小比較法則是解題的關鍵．3．（2022·陜西師大附中模擬預測）4的算術平方根是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)平方與開平方互為逆運算，可得一個正數(shù)的算術平方根．【詳解】∵22＝4，∴4的算術平方根是2；故選：C．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的算術平方根，平方與開平方互為逆運算是求一個正數(shù)的算術平方根的關鍵．4．（2022·廣東北江實驗學校三模）下列說法不正確的是（

）A．的平方根是 B．的平方根是C．是的算術平方根 D．【答案】C【分析】根據(jù)平方根、算術平方根、立方根的定義即可解答．【詳解】解：A.的平方根是，說法正確，不符合題意；

B.的平方根是，說法正確，不符合題意；

C.，9的算術平方根是3，說法錯誤，符合題意；

D.，說法正確，不符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查了平方根、算術平方根、立方根的定義等知識點，正確理解相關定義成為解答本題的關鍵．5．（2022·浙江麗水·一模）與最接近的整數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】用夾逼法估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【詳解】解：∵4＜5＜6.25，∴2＜＜2.5，∴與最接近的整數(shù)是2．故選：C．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關鍵．二、填空題6．（2022·浙江金華·一模）如圖所示，數(shù)軸上表示1，的點分別為A，B，且（C在A的左側），則點C所表示的數(shù)是________．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式，由列式即可求出點C所表示的數(shù)．【詳解】解：設點C所表示的數(shù)為，∵點A、B所表示的數(shù)分別是1、，且由圖知B在A的右側，，∵點A、C所表示的數(shù)分別是1、，且由圖知C在A的左側，，，，解得，點C所表示的數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的對應關系及數(shù)軸上兩點之間的距離公式，采用了“數(shù)形結合”的數(shù)學的思想是解決問題的關鍵．7．（2023·福建莆田·二模）計算：__________．【答案】4【分析】根據(jù)求一個數(shù)的算術平方根，零次冪進行計算即可求解．【詳解】解：原式＝．故答案為：．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的算術平方根與零次冪的性質，正確的計算是解題的關鍵．三、解答題8．（2022·遼寧沈陽·二模）計算：．【答案】0【分析】先根據(jù)有理數(shù)乘法法則，算術平方根，絕對值的性質，負整數(shù)指數(shù)冪化簡，再合并，即可求解．【詳解】解：【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)乘法法則，算術平方根，絕對值的性質，負整數(shù)指數(shù)冪是解題的關鍵．9．（2022·廣東·深圳市南山外國語學校三模）計算：．【答案】【分析】化簡絕對值，二次根式的性質以及立方根進行計算即可求解．【詳解】解：原式＝．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，正確的計算是解題的關鍵．實數(shù)（提升測評）一、單選題1．（2022·河北唐山·一模）估計的值應在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】C【分析】先化簡二次根式，再估算無理數(shù)的大小即可得出答案．【詳解】解：原式，，，故選：C．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是解題的關鍵．2．（2022·河北·一模）已知，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的非負性可知，從而得到，代值求解即可．【詳解】解：對于，，，解得，則，，故選：A．【點睛】本題考查利用二次根式非負性求值，涉及到二次根式的運算，熟練掌握二次根式非負性是解決問題的關鍵．3．（2022·山東臨沂·二模）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用數(shù)軸上a，b的位置進行比較得出答案．【詳解】如圖所示，且，∴，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，正確應用數(shù)形結合是解題的關鍵．4．（2022·河北廊坊·一模）a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，若，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的范圍：3＜＜4，即可求出ab的值，代入計算即可．【詳解】解：∵3＜＜4，∵a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，∴a=3，b=4，∴===．故選：A．【點睛】本題考查對無理數(shù)的大小比較的應用，解此題的關鍵是求出的范圍．5．（2020·湖南永州·一模）已知:表示不超過的最大整數(shù)，例:，令關于的函數(shù)(是正整數(shù))，例：=1，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．或1【答案】C【分析】根據(jù)新定義的運算逐項進行計算即可做出判斷.【詳解】A.==0