2022年上海七寶實驗中學高三數學理聯(lián)考試卷含解析

2022年上海七寶實驗中學高三數學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數列{an}的前n項的和為Sn，公差，和是函數的極值點，則（

）A.－38 B.38 C.－17 D.17參考答案：A【分析】先用函數極值條件，來計算和，再根據等差數列性質和求和公式算出.【詳解】由題，又因為公差，所以,,經計算，,所以，故選A.【點睛】本題考查函數極值和導數的計算，還有等差數列求和公式，屬于綜合題，但難度不高,屬于中檔題.2.將函數y＝sinx的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數解析式是()A．y＝sin(2x－)

B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin(x－)

D．y＝sin(x－)參考答案：C略3.若沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個三棱錐，則稱這樣的為“和諧三角形”，設的三個內角分別為，，，則下列條件不能夠確定為“和諧三角形”的是A．；

B．

C.

D．參考答案：B4.已知是單位圓上三個互不相同的點，若，則的最小值是(

)A．0

B．

C．

D．參考答案：C5.已知函數是奇函數，那么a等于

（

）

A.1

B.2

C.

D.參考答案：A6.設x，y為正數，且則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，＝2（其中O為坐標原點），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是參考答案：【知識點】拋物線的性質；基本不等式.H7E6【答案解析】B

解析：不妨設A，B，其中，由·＝2可得：，解得（舍去），故，由此可得△AFO與△BFO面積之和為,所以，故選B.【思路點撥】先利用已知條件得到，再結合基本不等式求出最小值即可.8.若復數在復平面內對應的點在直線上，則（

）A．2 B． C．1 D．參考答案：B因為復數，所以復數在復平面內對應的點的坐標為，由復數在復平面內對應的點在直線上，可得，,,故選B.

9.投擲兩枚骰子，則點數之和是6的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A考點：古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：利用乘法原理計算出所有情況數，列舉出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5種結果，再看點數之和為6的情況數，最后計算出所得的點數之和為6的占所有情況數的多少即可．解答：解：由題意知，本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是同時擲兩枚骰子，共有6×6=36種結果，而滿足條件的事件是兩個點數之和是6，列舉出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5種結果，根據古典概型概率公式得到P=，故選：A．點評：本題根據古典概型及其概率計算公式，考查用列表法的方法解決概率問題；得到點數之和為6的情況數是解決本題的關鍵，屬于基礎題．10.已知集合，．則M∩N=（

）A.{0,1} B.{－1,0} C.{1,2} D.{－1,2}參考答案：C【分析】先解不等式求出，再求即可.【詳解】由，解得，則.又，所以.故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程的實根的個數為____________.參考答案：1略12.已知點N在圓上，點M在直線上，則的最小值為______.參考答案：3【分析】根據直線和圓相離，即可得圓心到直線的距離減去半徑，即為所求.【詳解】因為圓方程為，故圓心坐標為，則圓心到直線的距離，則直線與圓相離.故的最小值為.故答案為：3.【點睛】本題考查圓心到直線上一點距離的最值問題，屬基礎題.15.造紙術是我國古代四大發(fā)明之一.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經過修整切邊，裁成一定的尺寸.現在我國采用國際標準，規(guī)定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等標記來表示紙張的幅面規(guī)格.復印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張的幅寬（以x表示）和長度（以y表示）的比例關系為；②將A0紙張沿長度方向對開成兩等分，便成為A1規(guī)格.A1紙張沿長度方向對開成兩等分，便成為A2規(guī)格，…，如此對開至A8規(guī)格.現有A0、A1、A2、…、A8紙各一張.若A4紙的面積為，則這9張紙的面積之和等于______cm2.【答案】【解析】【分析】根據題意，求出紙張的長度和寬度，構造紙張面積的等比數列，利用等比數列前項和的計算公式，即可求得.【詳解】由題可設，紙的面積為，根據題意，紙張面積是首項為，公比為的等比數列，則容易知紙張的面積為，故可得，故紙張面積是一個首項為，公比為的等比數列，故張紙的面積之和為.故答案為：.【點睛】本題考查實際問題中等比數列的應用，問題的關鍵是要構造等比數列，屬中檔題.13.等差數列中前項和為，已知，，則

.參考答案：714.正項等比數列中，若，則等于______.參考答案：16在等比數列中，，所以由，得，即。15.一個口袋中裝有大小相同的2個黑球和3個紅球，從中摸出兩個球，則恰有一個黑球的概率是

；若表示摸出黑球的個數，則

．參考答案：16.曲線在點（0,1）處的切線方程為

。參考答案：17.的展開式中的系數為

.(用數字作答)參考答案：80三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共13分）對于項數為（）的有窮正整數數列,記（），即為中的最大值，稱數列為數列的“創(chuàng)新數列”.比如的“創(chuàng)新數列”為.（Ⅰ）若數列的“創(chuàng)新數列”為1,2,3,4,4，寫出所有可能的數列；（Ⅱ）設數列為數列的“創(chuàng)新數列”，滿足（），求證：（）；（Ⅲ）設數列為數列的“創(chuàng)新數列”，數列中的項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求出所有的數列.參考答案：解：（Ⅰ）所有可能的數列為；；；

…………3分（Ⅱ）由題意知數列中.

又，所以

…………4分所以，即（）

…………8分（Ⅲ）當時，由得，又所以，不滿足題意；當時，由題意知數列中，又當時此時，而，所以等式成立；當時此時，而，所以等式成立；當，得，此時數列為.

當時，，而，所以不存在滿足題意的數列.綜上數列依次為.

…………13分

19.（本小題滿分12分）已知函數的圖象如圖所示·(1)求f（x)在R上的單調遞增區(qū)間；（2）設是函數y=f(x)的一個零點，求的值．參考答案：(Ⅰ)由圖象知，，故，，即，于是由，解得．∵，且，解得．∴．…………………4分由≤≤，，解得≤x≤，，即在R上的單調遞增區(qū)間為．………………6分(Ⅱ)由條件得：，即．∵且在上是增函數，

>0，>0，在上是減函數，∴，∴，………9分∴，…………………10分∴．…………12分20.已知橢圓Ω：(a＞b＞0)，過點Q(，1)作圓x2+y2=1的切線，切點分別為S，T．直線ST恰好經過Ω的右頂點和上頂點．（1）求橢圓Ω的方程；（2）如圖，過橢圓Ω的右焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD．①設AB，CD的中點分別為M，N，證明：直線MN必過定點，并求此定點坐標；②若直線AB，CD的斜率均存在時，求由A，C，B，D四點構成的四邊形面積的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）根據直線和圓的位置關系，可求出直線ST的方程，則直線ST恰好經過Ω的右頂點和上頂點，求出a，b的值，問題得以解決利用橢圓的離心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求橢圓的方程；（2）①若直線AB，CD斜率均存在，設直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），根據中點坐標，以及韋達定理，即可求出k的值，即可求出點的坐標．②當當直線AB，CD的斜率均存在且不為0時，由①可知，將直線AB的方程代入橢圓方程中，利用韋達定理以及弦長公式，求出AB，CD即可求解面積的表達式，通過基本不等式求出面積的最值．【解答】解：（1）過作圓x2+y2=1的切線，一條切線為直線y=1，切點S（0，1）．設另一條切線為，即．因為直線與圓x2+y2=1相切，則．解得．所以切線方程為．由，解得，直線ST的方程為，即．令x=0，則y=1所以上頂點的坐標為（0，1），所以b=1；令y=0，則，所以右頂點的坐標為，所以，所以橢圓Ω的方程為．（2）①若直線AB，CD斜率均存在，設直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），則中點．先考慮k≠0的情形．由得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由直線AB過點F（1，0），可知判別式△＞0恒成立．由韋達定理，得，故，將上式中的k換成，則同理可得．若，得k=±1，則直線MN斜率不存在．此時直線MN過點．②當直線AB，CD的斜率均存在且不為0時，由①可知，將直線AB的方程代入橢圓方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以=．同理，，則，=，因為，當且僅當k=±1時取等號，所以，即．所以，由A，C，B，D四點構成的四邊形面積的取值范圍為．21.為了解學生喜歡數學是否與性別有關，對50個學生進行了問卷調查得到了如下的列聯(lián)表：

喜歡數學不喜歡數學合計男生

5

女生10

合計

50已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜歡數學的學生的概率為。

(Ⅰ）請將上面的列聯(lián)表補充完整(不用寫計算過程)；（Ⅱ）是否有99.5％的把握認為喜歡數學與性別有關？說明你的理由；（Ⅲ）現從女生中抽取2人進一步調查，設其中喜歡數學的女生人數為，求的分布列與期望。下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：，其中)參考答案：解：(Ⅰ)列聯(lián)表補充如下：

喜愛數學不喜數學合計男生20525女生101525合計302050（Ⅱ）

∴有99.5％的把握認為喜愛數學與性別有關

（Ⅲ）喜愛數學的女生人數的可能取值為。其概率分別為,,故的分布列為:的期望值為:22.

已知函數f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常數)是奇函數，且滿足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)試判斷函數f(x)在(0，)上的單調性并說明理由；(3)試求函數f(x)在(0，＋∞)上的最小值．參考答案：(1)∵函數f(x)是奇函數，∴f(－x)＋f(x)＝0.即