準(zhǔn)一維玻色愛(ài)因斯坦凝聚呼吸孤子的調(diào)制

題目:題目:學(xué)院:專(zhuān)業(yè):學(xué)生姓名:指導(dǎo)教師:合作導(dǎo)師:完成時(shí)間:成績(jī):本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）（2011屆）準(zhǔn)一維玻色-愛(ài)因斯坦凝聚呼吸孤子的調(diào)制數(shù)理與信息工程學(xué)院物理學(xué) 學(xué)號(hào)： 職稱(chēng)： 職稱(chēng)： 年月 日********大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）正文目錄TOC\o"1-5"\h\z摘要 1英文摘要 11弓|言 1\o"CurrentDocument"1.1玻色-愛(ài)因斯坦凝聚 11.2玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的研究現(xiàn)狀 2\o"CurrentDocument"1.3堿性原子的玻色-愛(ài)因斯坦冷凝態(tài)的實(shí)現(xiàn) 21.4玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中的呼吸孤子 2\o"CurrentDocument"2理論模型 42.1玻色愛(ài)因斯坦凝聚的控制方程 4\o"CurrentDocument"2.2GP方程的轉(zhuǎn)換 43具體模型下的孤子演化 6\o"CurrentDocument"無(wú)外勢(shì) 6\o"CurrentDocument"飛鳥(niǎo)型外勢(shì) 7\o"CurrentDocument"3.3蹺蹺板型外勢(shì) 9\o"CurrentDocument"3.4其他外勢(shì) 10\o"CurrentDocument"4數(shù)值模擬 12\o"CurrentDocument"4.1 研究方法的選取 124.2各模型下的數(shù)值模擬結(jié)果比較 124.3玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的一維有效性近似 134.4玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的操控 145結(jié)論和展望 15致謝 15\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 16準(zhǔn)一維玻色愛(ài)因斯坦凝聚呼吸孤子的調(diào)制數(shù)理與信息工程學(xué)院物理學(xué)******指導(dǎo)老師：******(教授)摘要：我們對(duì)非自治非線性薛定諤方程提出了新的解決方案，通過(guò)操控玻色-愛(ài)因斯坦凝聚來(lái)方便的實(shí)現(xiàn)。該過(guò)程是通過(guò)分析研究可以為我們提供很好的理論模型來(lái)描述準(zhǔn)一維雪茄型凝聚的Gross-Pitaevskii方程，從而進(jìn)行呼吸孤子的調(diào)制。我們使用一個(gè)特定的轉(zhuǎn)換，將非自治非線性方程化為一個(gè)自治的方程，對(duì)于一個(gè)周期性的擺動(dòng)行為，及時(shí)的在空間找到一個(gè)穩(wěn)定的解。數(shù)值模擬證實(shí)了調(diào)制呼吸孤子的穩(wěn)定性，能夠承受住輸入剖面的隨機(jī)擾動(dòng)。關(guān)鍵詞：玻色-愛(ài)因斯坦凝聚；孤子；呼吸；非線性薛定諤方程Modulationofbreathersin

quasi-one-dimensionalBose-Einstein

condensates******Director：******(professor)(Dept.ofPhysics,CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,

ZhejiangNormalUniversity,)Abstract:WepresentnewsolutionstothenonautonomousnonlinearSchrodingerequationthatmayberealizedthroughconvenientmanipulationofBose-Einsteincondensates.Theprocedureisbasedonthemodulationofbreathersthroughananalyticalstudyoftheone-dimensionalGross-Pitaevskiiequation,whichisknowntoofferagoodtheoreticalmodeltodescribequasi-one-dimensionalcigar-shapedcondensates.Usingaspecificansatz,wetransformthenonautonomousnonlinearequationintoanautonomousone,whichengenderscomposedstatescorrespondingtosolutionslocalizedinspace,withanoscillatingbehaviorintime.Numericalsimulationsconfirmstabilityofthemodulatedbreathersagainstrandomperturbationontheinputprofileofthesolutions.KeyWords:Solitons;NonlinearSchrodingerequation;Bose-Einsteincondensates1引言1.1玻色愛(ài)因斯坦凝聚1924年，玻色與愛(ài)因斯坦在理論上預(yù)言了玻色一愛(ài)因斯坦凝聚現(xiàn)象(Bose-EinsteinCondensation,以下簡(jiǎn)稱(chēng)BEC)。即在一定溫度下，無(wú)相互作用的玻色子會(huì)在最低能量量子態(tài)上突然聚集，達(dá)到可觀的數(shù)量［1］。這些玻色子會(huì)在很短的時(shí)間內(nèi)失去各自的個(gè)性，變成了似乎單單的一個(gè)“超級(jí)粒子”，它們的物理性質(zhì)——例如它們的運(yùn)動(dòng)——變得彼此完全相同。從概念產(chǎn)生至今，七十多年中人們尋找研究BEC的途徑，在不斷克服一系列技術(shù)問(wèn)題之后，終于在1995年實(shí)現(xiàn)了堿金屬原子中的BEC［2］。在實(shí)驗(yàn)中往往要借助外勢(shì)阱來(lái)實(shí)現(xiàn)BEC，因此理論上研究外勢(shì)阱中的BEC產(chǎn)生的條件就顯得非常有意義，本文想就這方面工作做一些有益的探討。BEC的研究現(xiàn)狀自從稀薄堿金屬蒸氣中首次通過(guò)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚（BECs）以來(lái)，對(duì)BEC的實(shí)驗(yàn)和理論研究已經(jīng)取得巨大進(jìn)展。它們中的多數(shù)研究都已把目標(biāo)鎖定在開(kāi)發(fā)、操控和揭示宏觀量子現(xiàn)象上⑶。的確,BECs已被人們用于研究各種各樣的宏觀量子現(xiàn)象中，比如相位相干、物質(zhì)波衍射、量子邏輯、物質(zhì)波傳輸、物質(zhì)波格柵和脈沖物質(zhì)波激光等⑷。隨著B(niǎo)EC實(shí)驗(yàn)不斷取得進(jìn)展，激起了人們對(duì)與宏觀量子現(xiàn)象相關(guān)方面應(yīng)用的濃厚興趣。而在這些應(yīng)用中對(duì)物質(zhì)波孤子的操控是一個(gè)重要的課題。一般而言,排斥的BECs已被實(shí)驗(yàn)證實(shí)是穩(wěn)定的,而且生存時(shí)間已從秒跨越到分的量級(jí)。但是，吸引的BECs也已被證實(shí)是更難控制，而且在三維的情形下崩塌。然而,吸引的BECs在一維的情形下卻是穩(wěn)定的⑸。由于產(chǎn)生吸引或排斥的BECs可通過(guò)Feshbach共振來(lái)有效加以調(diào)控，因此，在BEC物質(zhì)波的研究過(guò)程中通過(guò)調(diào)節(jié)外勢(shì)場(chǎng)來(lái)操控凝聚體已成為一個(gè)中心主題。1.3堿性原子的玻色-愛(ài)因斯坦冷凝態(tài)的實(shí)現(xiàn)1.3.1原理我們知道原子氣體在低溫時(shí)容易形成液體，利用堿性原子釧87Rb和鈉23Na可以避免液體的形成。兩種原子都具有整數(shù)的自旋量子數(shù)和弱的排斥力，實(shí)驗(yàn)中原子的速度只有幾個(gè)毫米/秒，這對(duì)應(yīng)的溫度為100nK（1nK=10的-9次方K）。這極低的溫度是用激光冷卻的辦法（1997年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)成果）來(lái)達(dá)到的。其基本原理是通過(guò)原子與光子的動(dòng)量交換來(lái)達(dá)到冷卻原子的目的，冷卻后的原子由磁場(chǎng)與激光組成的磁-光囚禁阱囚禁，然后在囚禁阱中繼續(xù)用蒸發(fā)冷卻的辦法達(dá)到所需要的溫度，即把熱的原子蒸發(fā)掉。在囚禁阱的邊緣部分，磁場(chǎng)很強(qiáng)，控制原子磁極的射頻場(chǎng)的頻率很高，通過(guò)逐漸的降低頻率可以把溫度高的原子排出阱外，從而達(dá)到冷卻的目的。這個(gè)道理就像茶在茶杯中變涼一樣。1.3.2實(shí)現(xiàn)方法在磁-光囚禁阱中原子是靠偶極磁場(chǎng)力來(lái)約束的，如果原子的磁極發(fā)生反轉(zhuǎn)，就會(huì)使吸引力變?yōu)榕懦饬?，因此需要用射頻場(chǎng)來(lái)控制原子磁極的反轉(zhuǎn)。但是在囚禁阱的中心電磁場(chǎng)為零，這就不能控制原子自旋態(tài)（磁極）的變化。為此，埃里克?康奈爾采用旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)裝置使原子始終不能達(dá)到磁場(chǎng)為零的位置，以達(dá)到控制原子自旋態(tài)的目的⑹，從而在1995年的6月實(shí)現(xiàn)了87Rb的玻色愛(ài)因斯坦冷凝態(tài)。1.4BEC中的呼吸孤子呼吸孤子是某個(gè)剖面坐落在空間的周期性的非線性方程的解，甚至也有可能是常系數(shù)方程的解。這樣的解常常是來(lái)自定位在同一位置的復(fù)合的兩個(gè)或兩個(gè)以上的孤子。這已經(jīng)在原先的Sine-Gorden方程中介紹過(guò)，但通過(guò)修改Korteweg-deVriesequation（科特韋格德弗里斯方程），Davey-Stewartson和非線性薛定諤方程，它們也有其他幾種情況⑺。在各種各樣的物理系統(tǒng)中，呼吸現(xiàn)象會(huì)直接影響到系統(tǒng)的電、磁、光學(xué)、振動(dòng)和運(yùn)輸特性，例如在約瑟夫森超導(dǎo)連接⑻，電荷密度波系統(tǒng)⑼，4-甲基毗啶晶體［10］，金屬納米粒UH，共軛聚合物［12］，微機(jī)械振蕩器陣列［14］，鐵磁海森堡鏈［15］，以及半導(dǎo)體量子阱中［16］，呼吸現(xiàn)象都會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響。在第一次的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚實(shí)驗(yàn)性操作后，引發(fā)了一系列關(guān)于亮暗孤子的新研究，各種各樣的情況被提出和檢驗(yàn)。特別是操縱兩束縛原子之間的有效作用強(qiáng)度us的實(shí)驗(yàn)技術(shù)的存在，讓我們相信，在BEC中，借助Feshbach共振的有利條件，我們有很好的機(jī)會(huì)來(lái)研究原子物質(zhì)波中的呼吸孤子。因此，我這項(xiàng)工作的主要目的是要說(shuō)明在BEC中，呼吸孤子可以被調(diào)制并且可以呈現(xiàn)多種模式。對(duì)于這種呼吸孤子我也提供了一個(gè)分析研究，GP方程的外勢(shì)和非線性強(qiáng)度參量是含時(shí)的，這使得GP方程是非自治的，一般情況下很難求出解析解。但如果我們使用一個(gè)特定的轉(zhuǎn)換，將非自治的GP方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)自主的非線性薛定諤方程(NLSE)，那就容易解決多了。目前的工作是在經(jīng)典場(chǎng)理論中應(yīng)用最近開(kāi)發(fā)的程序，這個(gè)程序適用于非線性薛定諤方程的情況，在這里我介紹并分析了一個(gè)方程組，在使用一個(gè)轉(zhuǎn)換之后可以將非自治的GP方程轉(zhuǎn)換成自治的NLS方程。由于一維GP方程是描述準(zhǔn)一維玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的很好的理論模型，我要做的就在這個(gè)模型之下，研究孤子存在的呼吸行為。在BEC的假設(shè)下as<<a^<。<<a//，其中as是散射長(zhǎng)度，入是空間尺度波包，al和a//分別表征縱、橫向勢(shì)阱長(zhǎng)度。同時(shí)，在這項(xiàng)工作中我使用的是BEC中典型的外勢(shì)和非線性系數(shù)，我相信所得結(jié)果將刺激更多的新的凝聚實(shí)驗(yàn)。在最近的研究中，人們的注意力開(kāi)始轉(zhuǎn)移到陣列離散的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體的呼吸情況［13］。然而，GP方程對(duì)時(shí)間和空間坐標(biāo)的依賴(lài)性，使得該方程是變系數(shù)的，尋找連續(xù)動(dòng)力學(xué)方程來(lái)獲得解析解不是那么容易的。在文獻(xiàn)［12］提出的一個(gè)數(shù)值研究中，強(qiáng)調(diào)了三維BEC中呼吸激勵(lì)的穩(wěn)定性，通過(guò)Feshbach共振控制散射強(qiáng)度，使其囚禁在一個(gè)一維光學(xué)晶格中。我認(rèn)為，這種激勵(lì)是在局部施加一個(gè)外勢(shì)，使他們限制在網(wǎng)格中。在本文中，我用了一個(gè)真正的呼吸子解決方案，也就是及時(shí)的振蕩行為，甚至利用常系數(shù)的非線性方程來(lái)代替(即沒(méi)有調(diào)制)。這些呼吸子的剖面圖都顯示在圖1中。通過(guò)控制束縛勢(shì)和立方非線性的強(qiáng)度參量，我發(fā)現(xiàn)呼吸子在時(shí)間和空間中是可以被調(diào)制的，我在下文中會(huì)一一列舉各種情況。這個(gè)過(guò)程與以前的文獻(xiàn)中的幾種研究過(guò)程近乎相同，但在這里，我們?cè)试S自治的NLS方程為偏微分方程，并且這一點(diǎn)在我以下的探索中引入了一個(gè)不同的有趣的現(xiàn)象，在參考文獻(xiàn)［13］中，對(duì)于其他幾種情況下的BEC，文獻(xiàn)作者介紹了一種類(lèi)似的研究方式。緊跟目前的兩項(xiàng)工作，我將在第2部分中重點(diǎn)對(duì)GP方程進(jìn)行研究，提出它的

一般解。在第3部分，我主要列舉了幾種不同情況下解的形式，也就是通過(guò)改變束縛勢(shì)和立方非線性參量，得到不同的孤子解。在第4部分，我對(duì)第三部分中得到的呼吸子5%的輸入剖面的隨機(jī)擾動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，證明了它們?cè)谶@樣的擾動(dòng)下是能夠穩(wěn)定存在的。同時(shí)，我也對(duì)非多項(xiàng)式非線性方程進(jìn)行了評(píng)估，發(fā)現(xiàn)它能對(duì)真正的凝聚態(tài)的一維近似進(jìn)行補(bǔ)償，表明了在我所做的這項(xiàng)工作中，一維近似是可靠的。在第5部分中，我完成了所有工作，并介紹了結(jié)束語(yǔ)。2理論模型2.1BEC的控制方程在一維雪茄模型下吸引的BEC宏觀波函數(shù)在理論上已被成功地描述為帶外勢(shì)y(x)的非線性Schrodinger方程(NLSE)(Gross2Pitaevskii方程)。一維GP方程的常規(guī)形式為V廣-2W心+y(X,t)v+P(bl2)V (211)其中—k是色散項(xiàng)，y(x,t)是外勢(shì)場(chǎng)，P(VI2)是非線性項(xiàng)，并且P(V|2)2xx的形式寫(xiě)為p(VI2)=義g (t)VI2〃 (2-1-2)2n+1n=1在這里，我們正在使用標(biāo)準(zhǔn)的表示法中，X，t和所有其他量都是無(wú)量綱的。在上述非線性項(xiàng)表達(dá)式中，多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)g(t)用來(lái)描述系統(tǒng)的非線性強(qiáng)度。在BEC和非線性晶體的情況下，這一般形式有利于研究各種可能的物理情景，例如在87Rb和23沖中，二體散射是強(qiáng)大到足以允許忽略其他的高階效應(yīng)，因此它們必然只通過(guò)立方非線性項(xiàng)g即可被描述，而在3*中，兩體散射是極其微弱的，從而三體影響不能忽略，系統(tǒng)必'須由立方非線性項(xiàng)g和五次非線性項(xiàng)g共同來(lái)描述。3 5當(dāng)然它也可能由于一維凝聚被束縛而發(fā)生偏差。GP方程的轉(zhuǎn)換(2-2-1)我們的總體目標(biāo)是找到方程(2-1-1)中的呼吸孤子解。使用擬設(shè)(2-2-1)V(X,t)=p(t)&邛x，t)①(匚(X,t),T(t))在使用了這個(gè)轉(zhuǎn)換之后可以把一個(gè)非自治GP方程改變成一個(gè)自治的NLS方程，這(2-2-2)(2-2-3)樣可能產(chǎn)生呼吸解，該解可由下式給出(2-2-2)(2-2-3)i中=—-氣+Q(|中|2)中這里的Q(I①I(mǎi)2)具有以下形式Q(|中|2)=乂G中|2nn=1

表達(dá)式中系數(shù)g 是常量參數(shù)。把（2-2-1）式代入（2-1-1）中可以得到（2-2-2）式，轉(zhuǎn)換方程中的由，n，表達(dá)式中系數(shù)g 是常量參數(shù)。把（2-2-1）式代入（2-1-1）中可以得到（2-2-2）式，轉(zhuǎn)換方程中的由，n，Z和r，遵循下列方程+叫XX=02這里的外勢(shì)場(chǎng)形式為(2-2-4)(2-2-5)(2-2-6)(2-2-7)非線性項(xiàng)形式為g (t)=-2，+】'x,i=1,2,3 2i+1 p2i(2-2-8)我們引入a（t）= ，從式（2-2-4）中得到關(guān)系式°=a（t）X+b（t）X。這是非常重要的，因?yàn)橥ㄟ^(guò)Z我們可以確定正則解的寬度以1/a（t）的形式并且質(zhì)心位置以—b（t）/a（t）的形式，看參考。同理，通過(guò)使用（2-2-5）可以寫(xiě)成門(mén)(X,t)=—-X2—~rX+c(t)aa因此，在（2-2-6）中使用（2-2-9）得到p其中V(x,t)=f(t)x2+f(t)x+f(t)1 2 3（2-2-9）云，下一步，我們重寫(xiě)外勢(shì)的形式（2-2-10）(2-2-11)f2f2(t)=b 2abaa2(2-2-13)f3(t)=-「在這種情況下，假定非線性系數(shù)為一個(gè)簡(jiǎn)單的形式g （t）=Ga2—i,i=1,2,3......，然而，一般如上所述的過(guò)程要求g=g，這表明GPi+方程（22-+1-1）'的五次非線性強(qiáng)度值必須是一個(gè)常數(shù)。 5 5類(lèi)似的想法在以前的一些文獻(xiàn)中已經(jīng)被提到過(guò)。有文獻(xiàn)是將一個(gè)非自治NLS方程經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化之后變?yōu)橐粋€(gè)只依賴(lài)單一坐標(biāo)的自主的NLS方程，即靜態(tài)類(lèi)常微分方程的形式，它支持孤子解。這類(lèi)孤子解可以通過(guò)對(duì)空間和時(shí)間的依賴(lài)性將非自治NLS方程的外勢(shì)和非線性項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)。這樣，呼吸孤子可以以一次振蕩的模式被調(diào)制，例如，文獻(xiàn)［9］對(duì)于最近的一次調(diào)查中所提到的。而在我所做的工作，與之前的文

獻(xiàn)中所提的稍微有些不同。我是保持非線性方程的形式如（2-2-2）式，這是一個(gè)偏微分方程，即使在缺乏外勢(shì)和立方非線性的空間和時(shí)間調(diào)制的情況下，也具有呼吸解。這帶來(lái)了一個(gè)有趣的差異，因?yàn)槲椰F(xiàn)在是直接控制著呼吸解。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我在下文中會(huì)研究幾個(gè)不同的模型，探討幾種可能性。3轉(zhuǎn)換模型現(xiàn)在讓我們把注意力轉(zhuǎn)向立方非線性的情況，就是令強(qiáng)度g（t）=g（t）而沒(méi)有其它的非線性項(xiàng)，一般來(lái)說(shuō)，這種情況是由于強(qiáng)的兩體散射下的波色-愛(ài)因斯坦凝聚（比如使用Feshbach諧振腔時(shí)，內(nèi)中的釧或者鈉）所引發(fā)的。在這種情況下，可積的NLS方程（2-2-2）允許獲得呼吸解。雙孤子呼吸解的一個(gè)精確形式是=g=-1，對(duì)應(yīng)于顯式解為4(cosh(34(cosh(3。)+3e4/Tcosh(匚))e^/2①3)=(cosh(4G+4cosh(2。)+3cos(牝))(3-1)這是對(duì)GP方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換之后所得到的泛解，它提出了簡(jiǎn)單的形式，在T=0時(shí)，中化,0）=2sec（&）。這是最簡(jiǎn)單的情形，我們利用它來(lái)討論下面幾種不同的情況。3.1無(wú)外勢(shì)首先，我們研究了自由演化的，無(wú)外勢(shì)并且立方非線性強(qiáng)度不變的情況，對(duì)于零外勢(shì)的常系數(shù)非線性薛定諤方程，這種情況給出了標(biāo)準(zhǔn)的呼吸解。因此，我們考慮當(dāng)參量a=1時(shí)，對(duì)應(yīng)于g=-1和f=0，我們選取c=_b2/2a2，可以得到f=0。如果我們令f=0，然后改變參量b的值，使b=0和b=t:可以得到這些孤子的解是穩(wěn)定存在時(shí)，我們把b=0和b=t時(shí)的兩種情況分別描繪在圖1和圖2中。1(a)圖1.a=1在無(wú)外勢(shì)及立方非線性強(qiáng)度是常數(shù)的情

b=1(a)圖1.a=1在無(wú)外勢(shì)及立方非線性強(qiáng)度是常數(shù)的情

b=0時(shí)，呼吸解的演化如圖1（a）所109-56 43212(a) 2(b)圖2.在無(wú)外勢(shì)及立方非線性強(qiáng)度是常數(shù)的情況下GPE(2-1-1)的呼吸解。在參數(shù)a=1，b=t這種情況下，呼吸解的演化如圖2(a)所示，圖2(b)是它的剖面圖。我們從(2-1-1)式中可以看出，當(dāng)b=0時(shí)，呼吸孤子就局限在一個(gè)隨時(shí)間震蕩的空間中；當(dāng)b=t時(shí)，對(duì)應(yīng)的質(zhì)心會(huì)隨著時(shí)間的震蕩而在空間移動(dòng)。這種行為與方程(2-2-1)和方程(2-2-9)的非零相是相關(guān)的。實(shí)際上這里的Q是一個(gè)常量，并且方程(3-1)中小的解的形式還促使了一個(gè)平凡相。因此整體的效果是:b=t使凝聚體搬離其起始位置，這在圖2中可以明確的看出來(lái)。振蕩周期和呼吸頻率分別約為1.57和0.64。我們得到的振幅的最小值是4,最大值是16,時(shí)間半高寬度約為0.39。當(dāng)然這里我們使用的坐標(biāo)都是無(wú)量綱的。3.2飛鳥(niǎo)型外勢(shì)接下來(lái)，我們來(lái)處理一種特殊的情況。即外勢(shì)具有時(shí)間和空間依賴(lài)性，并且立方非線性強(qiáng)度與時(shí)間相關(guān)的情況。在這里，我們選擇非線性項(xiàng)的形式為(3-2-1)g=_1/(1+cos2(t))。為了便于解決問(wèn)題，我們首先要獲得一個(gè)簡(jiǎn)單的外勢(shì)，因此我采取了參量b=0和c=0，這使得f=0和f=0。在這種情況下，我們可以得到外勢(shì)的形式 2 3(3-2-1)2cos(21)cV= x2+cos(21)在圖3和圖4中分別描繪了外勢(shì)V(x)和呼吸解I寸|2。這種定期控制外勢(shì)將把孤子之間吸引行為轉(zhuǎn)變成排斥行為。由于這種外勢(shì)模擬飛行的鳥(niǎo)的翅膀，因此我們稱(chēng)之為飛鳥(niǎo)勢(shì)。一個(gè)光勢(shì)阱需要施加這種外勢(shì)，以周期性的方式從紅失諧光切換到藍(lán)失諧光，反之亦然。在這里，我們注意到不同于第一種情況，周期調(diào)制確實(shí)影

響呼吸解的周期行為。這個(gè)有趣的現(xiàn)象出現(xiàn)在圖1和圖4中：對(duì)比這兩個(gè)圖我們可以發(fā)現(xiàn)，圖3中呼吸振蕩頻率降低了，這是通過(guò)調(diào)制勢(shì)阱參數(shù)和立方非線性的強(qiáng)度來(lái)實(shí)現(xiàn)的。再仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)振蕩周期和呼吸頻率分別約為3.14和0.32。我們注意到與前一種情況相比，呼吸頻率減少了一半。另外，我們得到的最小和最大振幅限制分別為2和16，時(shí)間半高度大約是0.54。0-40-4圖3.飛鳥(niǎo)型外勢(shì)，形式由(3-2-1)式給出，使用參量a=1/(1+cos2°))且b=0。這個(gè)過(guò)程還可能對(duì)解引起另一個(gè)重要行為。我們選擇的參量b的值不同可以使呼吸孤子發(fā)生移動(dòng)，選擇b=-tan(t)/16(tan2(t)+2)+3t2arctan(tan(t)M;2)/32，可以得到f=0；同理，若選擇c=_b2/2a2，可以得到f=0。以這種方式使用相同的非線性參數(shù)，外勢(shì)的形式也就相同如(3-2-1)式所示。但是在(2-2-9)式中，呼吸現(xiàn)象引入了一個(gè)平凡的相，并且這展示了一個(gè)有趣的行為：呼吸孤子似乎在時(shí)間坐標(biāo)中被分割成了兩半。這不同于前面研究過(guò)的空間分割［1&我們把結(jié)果描繪在圖5中，從圖中看出呼吸孤子似乎有兩個(gè)不同的時(shí)間尺度。巨20-.■■■■■4(a)4(b)巨20-.■■■■■4(a)4(b)圖4.在圖3所描繪的飛鳥(niǎo)型外勢(shì)情形下，繪圖(a)表示呼吸孤子解的演化，圖(b)是它的剖面圖。II5(a)5(b)II5(a)5(b)圖5.繪圖(a)表示呼吸孤子解的演化，圖(b)是它的剖面，在這里，我們采用的a和b的值與圖4不同，但外勢(shì)的情形還是一樣的，仍為圖3中的情況。3.3蹺蹺板型外勢(shì)另一個(gè)例子是在解決對(duì)有勢(shì)場(chǎng)的呼吸孤子的運(yùn)動(dòng)行為上，應(yīng)用空間的線性依賴(lài)性進(jìn)行驗(yàn)證的。為了達(dá)到這個(gè)目的，我們選擇了f=°，通過(guò)不斷地非線性作用a=1，f3=0，c=_b2/2a2。因此，b=_sin(t)對(duì)應(yīng)于外勢(shì)場(chǎng)V=[1+5cos2(t)]sin(t)x (3-3-1)這種形式的外勢(shì)有一種交替行為，如圖6a所示。在圖6b中我們展示了以相應(yīng)交替方式演化的孤子的呼吸解，它的剖面圖展示在圖6c中在剖面圖中可以清晰的觀察出解的交替行為。這種情況下，呼吸孤子的振蕩周期和頻率大約是1.57和0.64；我們注意到這和第一種情況是等價(jià)的。現(xiàn)在如果說(shuō)讓振幅介于4和16之間，對(duì)應(yīng)的時(shí)間半高度大約是0.41。

6(a)6(a)6(b) 6(c)圖6.繪圖6(a)表示外勢(shì)形式為式(3-3-1)時(shí)的情況。圖6(b)是當(dāng)a為常數(shù)且b=sin(t)時(shí)相應(yīng)的呼吸孤子解的演化，圖6(c)是該解的剖面圖。3.4其他外勢(shì)通過(guò)a和b的不同取值能夠了解其他場(chǎng)的情況。比如：利用三次非線性系數(shù)g=-1/(1+cos2。))，此時(shí)b=t，然后令b=t，f3=0我們能夠得到如下的勢(shì)場(chǎng)表達(dá)式：V=2c°s(21)x2_[1+5cos2(t)]sin(t)x (3-4-1)3+cos(21)圖7即為此勢(shì)場(chǎng)的示意圖。在這個(gè)情況下，呼吸孤子的解展現(xiàn)出了一個(gè)有趣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：如圖8所示，這里b=sin(t)。同樣，我們令b=sin(&t)，在圖9中，描述了運(yùn)動(dòng)呼吸孤子的行為。在選定以上兩個(gè)條件后，通過(guò)圖8和圖9我們可以清楚的看出：在圖8中呼吸孤子表現(xiàn)出了周期性的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。而圖9中呼吸孤子的運(yùn)動(dòng)雖然是非周期性的，但也非常接近周期性的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即表現(xiàn)出了準(zhǔn)周期性的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。同時(shí)，

在周期性的圖像中，我也觀察到在給出半時(shí)間高度為0.56時(shí)，震蕩的周期是3.14,頻率是0.32。圖7.描繪了（3-4-1）式所確定的外勢(shì)場(chǎng)。8圖7.描繪了（3-4-1）式所確定的外勢(shì)場(chǎng)。8（a）8（b）圖8.在施加式（3-4-1）的外勢(shì)場(chǎng)，且參數(shù)bsin（t）的情況下，圖8（a）展示了呼吸孤子解的運(yùn)動(dòng)行為，具有周期性的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，圖8（b）是它的剖面圖。9(a)呼吸孤子解的運(yùn)動(dòng)行為，具有周期性的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，圖8（b）是它的剖面圖。9(a)9(b)圖9.在施加式（3-4-1）的外勢(shì)場(chǎng)，且參數(shù)b=sin（5r）的情況下，圖9（a）展示了呼吸孤子解的運(yùn)動(dòng)行為，具有準(zhǔn)周期性的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，圖9（b）是它的剖面圖。4數(shù)值模擬4.1方法的選取正如我在上文中所提到的，本文研究基于的理論模型是一維的GP方程（2-1-1）,這是一個(gè)非自洽的非線性薛定諤方程，其解可能是發(fā)散的，從理論上是很難找到解析解的。即使在采用了方程（2-2-1）的轉(zhuǎn)換之后，也需要花很大精力去化簡(jiǎn)和求解，計(jì)算量大，計(jì)算效率低。因此我選擇目前在玻色-愛(ài)因斯坦凝聚理論研究領(lǐng)域應(yīng)用較廣泛的數(shù)值模擬法來(lái)得到數(shù)值解。有很多種數(shù)值算法可以求解孤子波傳播的方程，總的來(lái)說(shuō)可以分為兩類(lèi)：有限元差分法和分步傅立葉法［19］。4.2各模型下的數(shù)值解在立方非線性的情況下，我們針對(duì)方程（2-2-1）的傳播呼吸子的調(diào)制形式，利用GP方程（2-1-1）進(jìn)行了數(shù)值研究。該數(shù)值解法是建立在分步有限差分算法和Crank-Nicolson算法上，以解決（2-1-1）中的色散項(xiàng)如。我們知道Crank-Nicolson算法是一個(gè)普適算法。因此，在較短的時(shí)間內(nèi)，我們就能得到傳播子的脈沖信號(hào)。在這里我所用的時(shí)間和空間的步長(zhǎng)分別為0.0001和0.01。因此，附加在剖面上的5%的隨機(jī)微擾，能使所得出的解顯示出穩(wěn)定抑或不穩(wěn)定的行為。對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)我進(jìn)行了很長(zhǎng)時(shí)間分析，不斷地改變參數(shù)，進(jìn)行調(diào)試，直到重新調(diào)整時(shí)間z=10000。其中的一些解經(jīng)過(guò)測(cè)算被驗(yàn)證在上述的隨機(jī)微擾下是可以穩(wěn)定存在的。我們知道，沒(méi)有經(jīng)過(guò)調(diào)制的呼吸孤子（本文第三部分介紹的第一種情況）與分裂為基本成分的孤子相比是十分脆弱的［21］。事實(shí)上，在這一情況下，結(jié)合能幾乎為0，從而，在最初的剖面上的一個(gè)較小的微擾就會(huì)導(dǎo)致解發(fā)散。在圖10a中，我們對(duì)無(wú)微擾下的最大振幅和微擾下的解做了一個(gè)比對(duì)，發(fā)現(xiàn)微擾破壞了解的周期性，如藍(lán)色虛線所示（無(wú)微擾時(shí)的解由黃線描述）。另一方面，在圖10b-10d中，我們把在剖面中不存在和存在5%的微擾的解在B-D的情況展現(xiàn)了出來(lái)。在這些情形中，外勢(shì)場(chǎng)和非線性的調(diào)制導(dǎo)致其分裂成了一對(duì)基本的孤子。因?yàn)檫@時(shí)的結(jié)合能與結(jié)合能為0時(shí)的情況不同，這反映出了束縛勢(shì)導(dǎo)致其不能分裂成為兩個(gè)基本孤子的事實(shí)。我們從圖10b-10d中可以看出：微擾解十分的強(qiáng)；而且從圖10b和10d中可看出當(dāng)束縛勢(shì)和非線性經(jīng)過(guò)時(shí)間和空間的調(diào)制后，呼吸孤子解又演變成新的穩(wěn)定的圖像。計(jì)算結(jié)果表明在實(shí)驗(yàn)中能夠證明上述調(diào)制呼吸孤子能夠激發(fā)凝聚現(xiàn)象。

圖10.含有微擾項(xiàng)的(藍(lán)線)與不含微擾項(xiàng)的(黃線)^|2最大值的對(duì)比圖。在圖中，我們?nèi)×?00個(gè)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行比較，在0>t>104的情況下，(a),(b),(c),(d)分別對(duì)應(yīng)本文第三部分中的A,B,C,D四種情況。4.3BEC的一維有效性近似另一個(gè)需要考慮的問(wèn)題是有關(guān)于BEC的一維有效性近似。在本文中我就采用了這一方法。很顯然，我們假設(shè)這個(gè)假設(shè)對(duì)于方程(2-1-1)來(lái)說(shuō)是合理的。但是，當(dāng)我們考慮準(zhǔn)一維動(dòng)態(tài)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一種新的可能性，而且這類(lèi)情況能夠通過(guò)求解非多項(xiàng)式的非線性方程來(lái)處理，比如在最近的文章［9］中所提到的那樣。在這種情況下，采用的轉(zhuǎn)換方程(2-2-1)并沒(méi)有把非自治的方程轉(zhuǎn)變?yōu)樽郧⒌姆匠?。?-3-1）為了從這個(gè)問(wèn)題中得到更多的信息，我們來(lái)比較下最近在采用文獻(xiàn)［9］中的非多項(xiàng)式非線性形式對(duì)準(zhǔn)一維方程所做的數(shù)值研究得到的結(jié)果。（4-3-1）「-1w+kM,g+H^l^B^Mw' 2x 1+g(x,t)wI2值得注意的是：對(duì)于一個(gè)相互作用較弱的孤子對(duì)，比如g(xt)w|2<<1，我們就能得到有效的一維方程；在文獻(xiàn)［9］中對(duì)該問(wèn)題有詳盡的描述。’在我們的模型中，這個(gè)作用較弱的孤子對(duì)中當(dāng)某一個(gè)孤子作用減小或者增大時(shí)，能夠預(yù)期到它的局部解的寬度。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，讓我們比較案例A的情況，在之前的研究中，我們通過(guò)方程（4-3-1）得出了數(shù)值解。我們把方程（3-1）的解在,=0時(shí)的值作為初始值代入（4-3-1）式中，此時(shí)a=0.1，b=0，得到的g=-0.1，y=0。所得到的結(jié)果如圖11所示。標(biāo)注的藍(lán)線代表了和黃線相比的一個(gè)輕微的延遲，而黃線則表示了案例A的情況，即無(wú)外勢(shì)的情況。我相信這個(gè)延遲來(lái)源于g^|2的最大值，約為0.16，這一值在處理問(wèn)題時(shí)可以被認(rèn)為是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1的量。圖11中的藍(lán)線和黃線所描述的結(jié)論為我這次的研究提供了有力的佐證，它表明了我這篇文章中所采用的一維近似方法是相當(dāng)可靠的。60040080010006004008001000圖11.g=-0.1且y=0時(shí)，立方非線性（黃線）和非多項(xiàng)式非線性（藍(lán)線）情況下V2最大值的對(duì)比圖。4.4BEC的操控從上面部分的討論可知，我們提出的數(shù)值模擬方法對(duì)于受方程（2-1-1）控制的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚呼吸孤子系統(tǒng)提供了一個(gè)有用、較精確和極為簡(jiǎn)便的描述。這不僅在理論上理解BEC系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為取得了較大進(jìn)展，還表現(xiàn)在基于分步有限差分算法和Crank-Nicolson算法上的數(shù)值解的求解效率比基于BEC控制方程（2-1-1）的直接解析法計(jì)算效率高得多。所得到的BEC啁啾孤子動(dòng)力學(xué)特性的理論結(jié)果對(duì)操控BEC動(dòng)力學(xué)提供了有益的啟示。具體的BEC啁啾孤子的操控方法是［7］先將BEC啁啾孤子放置在外勢(shì)場(chǎng)的坐標(biāo)原點(diǎn)左邊（或右邊）的某一穩(wěn)定品格勢(shì)槽的靜態(tài)解位置附近（或靜態(tài)解位置），然后關(guān)閉外勢(shì)，持續(xù)時(shí)間是移動(dòng)BEC啁啾孤子從坐標(biāo)原點(diǎn)左邊（或右邊）的某一穩(wěn)定品格勢(shì)槽的靜態(tài)解位置附近（或靜態(tài)解位置）到坐標(biāo)原點(diǎn)右邊（或左邊）的對(duì)應(yīng)位置的振動(dòng)半周期，最后重新開(kāi)啟外勢(shì)，讓BEC啁啾孤子囚禁于右邊(或左邊)的對(duì)應(yīng)穩(wěn)定品格勢(shì)槽中,這就實(shí)現(xiàn)了對(duì)BEC啁啾孤子的有效控制。6結(jié)論與展望總之，本文已經(jīng)研究了在一個(gè)非自治GP方程中，呼吸激勵(lì)的調(diào)制。使用一個(gè)特定的轉(zhuǎn)換，可以將非自治的GP方程轉(zhuǎn)換成一個(gè)有呼吸孤子解的自治的NLS方程。對(duì)BEC的應(yīng)用提出了設(shè)想，通過(guò)控制移動(dòng)速度來(lái)操控位置，通過(guò)控制外勢(shì)來(lái)操控呼吸周期。對(duì)解的穩(wěn)定性進(jìn)行了數(shù)值研究，結(jié)果顯示，孤子解可以穩(wěn)定演化一一只要各個(gè)參數(shù)協(xié)調(diào)恰當(dāng)。每個(gè)孤子都有其獨(dú)特的行為，標(biāo)準(zhǔn)的呼吸行為出現(xiàn)在沒(méi)有外勢(shì)且非線性強(qiáng)度不變的簡(jiǎn)單情況下。但我們可以找到孤子的其他特征，比如運(yùn)動(dòng)、周期性或準(zhǔn)周期性行為。總之，本文深入研究了玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中在無(wú)外勢(shì)以及存在外勢(shì)時(shí)孤子的動(dòng)力學(xué)演化，利用解析法經(jīng)過(guò)一些系列的化簡(jiǎn)和計(jì)算給出了解析處理；我們也進(jìn)行了穩(wěn)定的數(shù)值研究，結(jié)果顯示，在這些解中，我們找到了一些調(diào)制的呼吸激勵(lì)能穩(wěn)定對(duì)抗輸入面的隨機(jī)擾動(dòng)。將解析法和基于分步有限差分法的直接數(shù)值模擬法進(jìn)行比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)值模擬法不僅能夠充分揭示上述外勢(shì)場(chǎng)中的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚呼吸孤子的動(dòng)力學(xué)行為和特征，而且計(jì)算效率高。此外，我們還研究了非多項(xiàng)式外勢(shì)的一種簡(jiǎn)單情況，結(jié)果表明，我們的研究中所用的一維近似是可靠的。并且本文研究中也給出了一種通過(guò)控制外勢(shì)場(chǎng)可有選擇地移動(dòng)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚呼吸孤子的操控方法，目前的研究為實(shí)驗(yàn)探索雪茄型凝聚中的呼吸激勵(lì)，以及這個(gè)過(guò)程為激發(fā)更一般的非線性和更高階的凝聚方面開(kāi)辟了一些新的可能性。同時(shí)，我們的研究結(jié)果表明，通過(guò)改變參數(shù)來(lái)改變呼吸孤子的脈寬和振幅，這樣我們可以按照我們的意愿任意的操控BEC。我們知道BEC可以作為信息的載體，也這為玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用研究提供了理論支撐。致謝：在此論文完成之際，謹(jǐn)向我的導(dǎo)師******教授致以最誠(chéng)摯的謝意！宗老師敏銳深刻的洞察能力和嚴(yán)謹(jǐn)精細(xì)的研究態(tài)度一直讓我欽佩不已，無(wú)論是在最初的選題、得到數(shù)值結(jié)果及分析、論文的撰寫(xiě)和修改以及最后的定稿，都給我提供了寶貴的意見(jiàn)。宗老師嚴(yán)謹(jǐn)精細(xì)的研究態(tài)度，平易近人的待人和處事方式，以及對(duì)學(xué)生諄諄的教導(dǎo)與鼓勵(lì)，都讓我深深的感受到一位科研工作者所要具有的崇高素質(zhì)，為我在今后的學(xué)習(xí)和工作中指明了前進(jìn)的方向。通過(guò)本次畢業(yè)論文的撰寫(xiě)，也讓我有機(jī)會(huì)觸碰玻色-愛(ài)因斯坦凝聚這個(gè)物理學(xué)前沿領(lǐng)域，在理論研究和科研能力方面也學(xué)到了很多知識(shí)，具有了一定的科學(xué)研究能力，這些都將使我終生受益。參考文獻(xiàn)羅香怡，劉學(xué)深，丁培柱.兩個(gè)玻色一愛(ài)因斯坦凝聚體間相互作用的數(shù)值研究[J].原子與分子物理學(xué)報(bào)，2007(02):418~420.肖宇飛.非對(duì)稱(chēng)的玻色一愛(ài)因斯坦凝聚中的約瑟夫森結(jié)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[J].物理學(xué)報(bào),2006(02):138~142.李秀平，劉文森，張國(guó)鋒.外勢(shì)場(chǎng)中玻色-愛(ài)因斯坦凝聚性質(zhì)的研究[J].量子光學(xué)學(xué)報(bào),2003,9(01)：27~31.徐銘，吉建華，楊淑雯.導(dǎo)引中心“呼吸”孤子傳輸理論及數(shù)值分析.光子學(xué)報(bào)，2006(04):122~127.宗豐德，楊陽(yáng)，張解放.外勢(shì)場(chǎng)作用下的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚啁啾孤子的演化與操控[J].物理學(xué)報(bào)，2009(06)：3670~3678.A.JeffreyandT.Kawahara.AsymptoticMethodsinNonlinearWaveTheory[M].Pitman,1982:46?52.閆珂柱，譚維翰.簡(jiǎn)諧勢(shì)阱中具有吸引相互作用原子體系的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚[J].物理學(xué)報(bào),2000(10).2321~2329.HaixiangFu,,Mingzh