工程數(shù)學本工程數(shù)學復習資料

12春）復習資料總結一、單項選擇題(每小題3分，本題共15分)—110_QQ1.若，則x-(A)..2C.—3D.—21-20=015x—32.已知2維向量組ara2,a3，a，則r(^,a2,化，巴)至多是(B).A1B2C3D43?設A，B為n階矩陣，則下列等式成立的是(C)AB=BA(AB)=A'B'(A+B)'=A'+B'(AB)，=AB若A，B滿足(B)，則A與B是相互獨立.P(B)—P(A)P(B|A)p(AB)=P(A)P(B)p(a—b)=p(a)—p(b)P(A)=P(B)P(AB)若隨機變量X的期望和方差分別為E（X）和D（X），則等式（D）成立.D(X)—E[X—E(X)]d(x)-E(X2)+[E(X)]2D(X)-E(X2)D(X)-E(X2)-[E(X)]2若A是對稱矩陣，則等式(B)成立.AA-1—IA'AA-1—IA'=AA'—A-1A-1—A_3T—1=(D).「-74-_45_5—3—5—霊立，則n元線性方程組AX=O有唯一解.r（A）=nA豐Or（A）<nA的行向量線性相關5—37—51若(A—43）成4?若條件（C）成立，則隨機事件A,B互為對立事件.A.AB=0或A+B—Ub.P（AB）—0或P（A+B）—1C.AB=0且A+B—UD.P(AB)—0且P(A+B)—19?對來自正態(tài)總體X~N（卩，-2）（卩未知）的一個樣本X1，X2,X3，記X=1￡X，則下列i=1各式中(C)不是統(tǒng)計量.X￡X.丄￡(X-口)21￡(X—X)2設A，B都是n階方陣，則下列命題正確i3i3ii=13i=13i=1的是(A).A.|AB|=|A||B|B.(A—B)2—A2—2AB+B2C.AB=BAD.若AB=0，則A=0或B=011.110211.11020—1，2—30037向量組的秩是（B）..3C.A).12.n元線性方程組AX=b有解的充分必要條件是（A).r(A)=r(AM).A不是行滿秩矩陣r(A)<n.r(A)=n13.袋中有3個紅球，2個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是（D）.633925102025設X1，X2，人，xn是來自正態(tài)總體N（卩，g2）的樣本，則（C）是卩無偏估計.1x+1x+1X+x3-x+-x+-x—x+—x+—x設A，B為n階矩陣，則下列等式成立515253123515253515253的是(A).A.IabI—BAIB.A+B|=IAI+BlC.(A+B)-1—A-1+B-1D.(AB)—1—A—1B—1

x一x=a16?方程組j1x；x=a相容的充分必要條件是⑻，其中ai豐0,(i=1,2,3).TOC\o"1-5"\h\z232x+x=a133A.a+a+a=0B.a+a-a=0c.a-a+a=0d.一a+a+a=012312312312317?下列命題中不正確的是(D).A.A與A有相同的特征多項式若九是A的特征值，貝IJ(九1一A)X=0的非零解向量必是A對應于九的特征向量若九=0是A的一個特征值，則AX=0必有非零解D.A的特征向量的線性組合仍為A的特征向量18?若事件A與B互斥，則下列等式中正確的是(A).A.P(A+B)=P(A)+P(B)B.P(B)=1-P(A)c.P(A)c.P(A)=P(AB)D.P(AB)=P(A)P(B)19?設x,x,A,x是來自正態(tài)總體N(5，1)的樣本，則檢驗假設H:卩=5采用統(tǒng)計量u=(c).12n0x—5x—5x—5x—5AKB.麗C.喬D?丁二、填空題(每小題3分，共15分)1.設A,B均為n階可逆矩陣，逆矩陣分別為A-1,B-1，則(B-1A')-1=(A-1)'B.TOC\o"1-5"\h\z向量組a1=(1,1,°)，a2=(0,1,1),a3=(1,0,k)線性相關，則k=-1.已知P(A)=0?&P(AB)=0.2，則P(A—B)=_4?已知隨機變量X?-1025，那么E(X)=_0.30.10.10.5_5?設x,x，A,x是來自正態(tài)總體N(卩,4)的一個樣本，則丄窮x?121010ii=16?設A,B均為3階方陣，|A|=—6,|B|=3，則—(AB-1)3=—8?7?設A為n階方陣，若存在數(shù)?和非零n維向量X，使得AX=九X，則稱X為A相應于特征值？的特征向量._8.若P(A)=0.8,P(AB)=0.5，則P(AB)=9?如果隨機變量X的期望E(X)=2，E(X2)=9，那么D(2X)=」n.10.不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量11.設A,B均為3階方陣，IAI=2,IBI=3，則|—3AB-1=-18.(012)12.設隨機變量X?，則a=(0.20.5a丿13?設X為隨機變量，已知D(X)=3，此時D(3X―2)=27.14.設0是未知參數(shù)0的一個無偏估計量，則有—E(0)=°15?設|A|=112，貝/Al=0的根是1，-1，2,-2.16?設4元線性方程組AX=B有解且r(A)=1，那么AX=B的相應齊次方程組的基礎解系含有3個解向量.17?設A,B互不相容，且P(A)>0，則P(BIA)=0.np.18?設隨機變量X~B(n，p)，則E(Xnp.19.若樣本x,x,19.若樣本x,x,A,x來自總體X?N(0,1)，且x=丄》x12nnii=1則x?—N(0,1).n三、計算題(每小題16分，共64分)，求(1)|A|,1設矩陣A=2)A-1(1)II1—121—121—12(2)利用初等行變換得A=2—35=°—11=°—11=13—24°1—2°°一1j—1°922一1°°2°1'即即_—2°1_T°1°7—2—1T°1°7—2—1A—1=7—2—1°°15—1—1°°15—1—15—1—1解：2?當九取何值時,線性方程組Jx一x12x一2x12+x4+x+42?當九取何值時,線性方程組Jx一x12x一2x12+x4+x+4x=334有解，在有解的情況下求方程組的全部解．2x一3x+x+5x=九+21234解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當九鼻3時，方程組無解。當九=3時，方程組有解此時相應齊次方程組的一般解為fx=x+2x<134Ix=x+3x234\o"CurrentDocument"分別令x3=1,x4\o"CurrentDocument"=111-=°,x4(X3,X4是自由未知量)=°及x3=°,x4=1，得齊次方程組的一個基礎解系X=1111°]',X=(23°1]'12x3=°，x4=°，得非齊次方程組的一個特解X°=11-1°0]'由此得原方程組的全部解為X=X+kX+kX(其中k，k為任意常數(shù))°1122123?設X?N(3,4)，試求⑴P(5<X<9)；(2)P(X>7)?(已知①(1)=°.8413,①(2)=°.9772,①⑶=°.9987)解：⑴P(5<X<9)=&<寧<寧)=P(1<寧<3)=①(3)—①(1)=°.9987—°.8413=°.1574⑵P(X>7)=>2)=1—P<2)2222=1—①(2)=1—°.9772=°.°2284?已知某種零件重量X?N(15,°.°9)，采用新技術后，取了9個樣品，測得重量(單位：kg)的平均值為,已知方差不變，問平均重量是否仍為15(a=°°5,u°975=196)?解：零假設H°:卩=15.由于已知b2=°.°9，故選取樣本函數(shù)U=工二牡?N(0J)b%'n'已知x=14.9經計算得-b=°3=°1，v'9314.9—15°.1匸出=1<196=u故接受零假設，即零件平均重量仍為15.b、n°.9755?設矩陣1—1°2°°A=—121,B=°5°223°°5由已知條件u°975=196求A—1B「1°°—4—31「"—4-31一即T°1°—5—31A—1=—5—31°°164—164—1解：利用初等行變換得由矩陣乘法得—4—312°°—8—155A—1B=一5—31°5°=一1°—15564一1°°5122°一510.10.6?當九取何值時，線性方程組<x+x-2x-6?當九取何值時，線性方程組<x+x-2x-x=-21234有解，2x+x+7x+3x=6有解=X+1在有解的情況下求方程組的全部解.「11-2-1-2'「11-2-1-2_21736T0-1115109741X+10-22210X+1923解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形441239x+7x+4x1由此可知當九鼻1時，方程組無解。當九=1時，方程組有解。(x=—9x-4x此時齊次方程組化為L1=11x3+5x4分別令x3=1，x4=0及x3I234=0,x4=1，得齊次方程組的一個基礎解系令x3=0,x4=0，得非齊次方程組的一個特解x0=k-100由此得原方程組的全部解為X=X0+k1X1+k2X2(其中k1,k2為任意常數(shù))7?設X?N(3,4)，試求：⑴P(X<1)；⑵P(5<X<7)?(已知①⑴=0.8413,①(2)=0.9772,①(3)=0.9987)解:⑴P(X<1)=PCX^3<)=P(<-1)=Q(-1)=1-①(1)=1-08413=01587222⑵P(5<X<7)=P(口<一<口)=P(1<心<2)2222=①(2)-①(1)=0.9772-08413=013598?某車間生產滾珠，已知滾珠直徑服從正態(tài)分布?今從一批產品里隨機取出9個，測得直徑平均值為15.1mm,若已知這批滾珠直徑的方差為0062，試找出滾珠直徑均值的置信度為的置信區(qū)間(u0975=196)?解：由于已知b2，故選取樣本函數(shù)U=王二匕?N(0,1)已知無=15」，經計算得g\'n當=036=0.02滾珠直徑均值的置信度為的置信區(qū)間為［x-u2,滾珠直徑均值的置信度為的置信區(qū)間為［x-u2,x+u0.97590.975，又由已知條件u0.975二1.96，故此置信區(qū)間為[15.0608,15.1392]9.「1-9.「1-12「「2-15_2-35,B=0113-24設矩陣A=，且有AX=B'，求X?「1-12100「「1-12100「「1-12100'「1-12100'2-35010T0-11-210T0-11-210T01-12-10_3-24001_01-2-30100-1-5110015-1-1解：利用初等行變換得由矩陣乘法和轉置運算得「1-10-922'「100-201'即「-「1-10-922'「100-201'即「-201'T0107-2-1T0107-2-1A-1=7-2-10015-1-10015-1-15-1-1=1求線性方程組—2的全部解.x-3x+x-x1234x-4x+3x+2x=112342x-4x+8x+2x=21234解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形

X二(1000)'0x=1+5x1x=x24x=X二(1000)'0x=1+5x1x=x24x=一x434方程組的一般解為』（其中x4為自由未知量）令x4=0，得到方程的一個特解x=5x14x=x24x=一x34方程組相應的齊方程的一般解為（其中x4為自由未知量）1一1】）'.于是，方程組的全部解為x=X0+kX1（其中k為任意常數(shù)）11?據(jù)資料分析，某廠生產的一批磚，其抗斷強度X?N（32.5,L21），今從這批磚中隨機地抽取了9塊,測得抗斷強度（單位：kg/cm2）的平均值為，問這批磚的抗斷強度是否合格（a=005,u0975=196）?解：零假設H0：卩=32.5?由于已知b2=121，故選取樣本函數(shù)U=丘二些?N（0,］）已知x=3112,經計算得話二牛0.37'31.12-32.50.37由已知條件u0975經計算得話二牛0.37'31.12-32.50.37由已知條件u0975=196,=373>196=u0.975故拒絕零假設，即這批磚的抗斷強度不合格12.設矩陣A=1012.設矩陣A=1011-100-11，求（AA'）-1?解：由矩陣乘法和轉置運算得100「11-1「11-1AA'=11-1010=13-2利用初等行變換得-1010-11_-L-22_11一1100「「11-1100「「100201'「100201■13一2010T02-1-11000111201-1-10-1-1一220010-111010-1110100111214.+5x+3x=532x-414.+5x+3x=532x-4x12343x一6x+5x+2x=512344x一8x+15x+11x=151234求下列線性方程組的通解.'2-4535]'2-4535]〔1-20-10、(1-20-10、3-6525?1-20-10?00555?00111<4-8151115丿、00555丿、00555丿、00000丿解利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成行簡化階梯形矩陣，即Ix=2x方程組的一般解為：112丄1Ix=一x+134=x4=0，得方程組的一個特解X0=（°，°，x=2x+x124，x=一x34=1，x4=0，得導出組的解向量X1=（2,1=0，x4=1，得導出組的解向量X2=（10,方程組的導出組的一般解為：<，其中x2是自由未知量.1，0)'?其中x2，x4是自由未知量.0，0）'；一1】）'?所以方程組的通解為:「10020即(AA')-1=「201010011011001112112

X=X+kX+kX=(001,0)+k(21,00)+k(10—11)其中kk是任意實數(shù).01122121215?設隨機變量X~N(3,4)?求：(1)P(1〈X〈7)；(2)使P(X〈a)=成立的常數(shù)a.(已知①(1.0)=0.8413,①(1.28)=0.9,①(2.0)=0.9773).解：(1)P(1<X<7)=P(1—3<◎<7^3)=p(—1<—<2)=①⑵—①(—1)=+-1=(222)22)因為P(X2)因為P(X<a)=P(<a—3)=①(^3)=所以(22)2=1.28,a=3+2X1.2816.從正態(tài)總體N(卩,4)中抽取容量為625的樣本，計算樣本均值得x二，求卩的置信度為99%的置信區(qū)間?(已知口u—2.576)知0.995)解：已知b=2,n=625，且u=三二士~N(°,1)'n因為x=,?=0.01，1-牛二0.995，u訂2.576“%=2.576=0.20621—aSnv'62522所以置信度為99%的卩的置信區(qū)間為：［X—ub,X+u2］=［2.294,2.706］1—&、：n1—*Jn2217?某車間生產滾珠，已知滾珠直徑服從正態(tài)分布?今從一批產品里隨機取出9個，測得直徑平均值為15.1mm,若已知這批滾珠直徑的方差為O.062，試找出滾珠直徑均值的置信度為的置信區(qū)間(u0975=196).解：由于已知b2，故選取樣本函數(shù)〃壬二丄N(01)已知X=I5」，經計算得字=006=0.02TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"U~N(0,1)逅3滾珠直徑均值的置信度為的置信區(qū)間為［X—ub,X+u2］，又由已知條件u0975二1.96，故此置信0.97590.975J90.975區(qū)間為［15.0608,