2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市單臺(tái)子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市單臺(tái)子中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線C：的離心率是，F(xiàn)是雙曲線C的左焦點(diǎn)，A（，1），P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則｜PF｜＋｜PA｜的最小值為A．

B．

C．＋4

D．＋8參考答案：C2.已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若﹣2與非零向量m+n共線，則等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】先求出﹣2和m+n，再由向量共線的性質(zhì)求解．【解答】解：∵向量=（2，3），=（﹣1，2），∴﹣2=（2，3）﹣（﹣2，4）=（4，﹣1），m+n=（2m﹣n，3m+2n），∵﹣2與非零向量m+n共線，∴，解得14m=﹣7n，=﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩實(shí)數(shù)比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量共線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．3.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列命題：

（1）若數(shù)列是遞增數(shù)列，則數(shù)列也是遞增數(shù)列；

（2）數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)；

（3）若是等差數(shù)列（公差），則的充要條件是

（4）若是等比數(shù)列，則的充要條件是

其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)參考答案：B4.直線y=kx+3與圓（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2，則k的取值范圍是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞] C．[﹣，] D．[﹣，0]參考答案：A【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】由弦長(zhǎng)公式得，當(dāng)圓心到直線的距離等于1時(shí)，弦長(zhǎng)等于2，故當(dāng)弦長(zhǎng)大于或等于2時(shí)，圓心到直線的距離小于或等于1，解此不等式求出k的取值范圍．【解答】解：設(shè)圓心（3，2）到直線y=kx+3的距離為d，由弦長(zhǎng)公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化簡(jiǎn)得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范圍是[﹣，0]．故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．5.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足（），則（

）A． B．C． D．參考答案：B設(shè)g（x）=，定義在R上的奇函數(shù)f（x），所以g（x）是奇函數(shù)，x＞0時(shí)，g′（x）=，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足2f（x）﹣xf'（x）＞0（x＞0），所以g′（x）＞0，所以g（x）是增函數(shù)，g（﹣）=＜，可得：．故選：B．

6.某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為（

）A． B． C． D．

參考答案：略7.已知α為第二象限角，sin（α+）=，則tanα的值為（）A． B． C． D．﹣3參考答案：C【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GI：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】由已知利用兩角和的正弦函數(shù)公式可得sinα+cosα=，兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得12tan2α+25tanα+12=0，進(jìn)而解得tanα的值．【解答】解：∵α為第二象限角，sin（α+）=，可得：（sinα+cosα）=，可得：sinα+cosα=，∴兩邊平方，可得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα===﹣，整理可得：12tan2α+25tanα+12=0，∴解得：tanα=﹣，或﹣．∵tanα=﹣=．可得：sinα=﹣cosα，解得cosα=＞0，由于α為第二象限角，矛盾．故舍去．∴tanα=﹣．故選：C．8.已知向量a，b滿足，則向量b在向量a方向上的投影是

A．

B．-1

C．

D．1參考答案：B9.若復(fù)數(shù)z滿足i（z﹣1）=1+i（i虛數(shù)單位），則z=（）A．2﹣i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：由i（z﹣1）=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故選：A．10.設(shè)向量，，定義一種向量積：==．已知=，=，點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足=+（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最大值是

．參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.球O被平面α所截得的截面圓的面積為π，且球心到α的距離為，則球O的表面積為．參考答案：64π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】先確定截面圓的半徑，再求球的半徑，從而可得球的表面積【解答】解：∵截面的面積為π，∴截面圓的半徑為1，∵球心O到平面α的距離為，∴球的半徑為=4∴球的表面積為4π×42=64π．故答案為64π．12.已知，則_____________．參考答案：略13.程序：M=1

M=M+1

M=M+2

PRINTM

END

M的最后輸出值為（

）A．1

B．2

C．

3

D．4參考答案：D14.已知函數(shù)，則

．參考答案：16，因此，即，所以即15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，則an=_____．參考答案：【分析】由數(shù)列滿足，則，兩式相減可得，化簡(jiǎn)得，得到數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，則，兩式相減可得，即整理得，即，即，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答根據(jù)數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的定義，得到數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.16.己知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A，B是該拋物線上的點(diǎn)，，線段AB的中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N，則的最大值為_________．參考答案：略17.已知，函數(shù)若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

．參考答案：（0，+∞）試題分析：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，解得，則由，得，即；故填（0，+∞）．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，∠BCC1=，AB=BB1=2，BC=1，D為CC1中點(diǎn)．（1）求證：DB1⊥平面ABD；（2）求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算BD，B1D，再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D，由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D，于是得出B1D⊥平面ABD；（2）以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出平面AB1D的法向量，平面A1B1D的法向量，計(jì)算cos＜，＞即可得出二面角的余弦值．【解答】證明：（1）∵BC=B1C1=1，CD=C1D=BB1=1，∠BCC1=，∠B1C1D=π﹣∠BCC1=，∴BD=1，B1D=，∴BB12=BD2+B1D2，∴BD⊥B1D．∵AB⊥平面BB1C1C，BD?平面BB1C1C，∴AB⊥B1D，又AB?平面ABD，BD?平面ABD，AB∩BD=B，∴DB1⊥平面ABD．（2）以B為原點(diǎn)，以BB1，BA所在直線為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，如圖所示：則A（0，0，2），D（，，0），B1（2，0，0），A1（2，0，2），∴=（，﹣，0），=（﹣2，0，2），=（0，0，2）．設(shè)平面AB1D的法向量為=（x1，y1，z1），平面A1B1D的法向量為=（x2，y2，z2），則，，即，，令x1=1得=（1，，1），令x2=1得=（1，，0）．∴cos＜，＞===．∵二面角A﹣B1D﹣A1是銳角，∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值為．19.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）設(shè)為曲線C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，求的最小值.參考答案：（1）（2）4.試題分析:(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將化為關(guān)于的二次函數(shù),求出范圍;(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中,由直線參數(shù)方程的幾何意義求出表達(dá)式,求出最小值.試題解析:（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，∵為曲線上任意一點(diǎn)，∴，∴的取值范圍是；（2）將代入，整理，得，∴，設(shè)方程的兩根分別為，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值4.20.在標(biāo)有“甲”的袋中有4個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．（Ⅰ）若從袋中依次取出3個(gè)球，求在第一次取到紅球的條件下，后兩次均取到白球的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從甲袋中取出個(gè)2紅球，1個(gè)白球，裝入標(biāo)有“乙”的空袋．若從甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，記取出的紅球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用條件概率公式計(jì)算所求的概率值；（Ⅱ）由題意知X的所有可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出隨機(jī)變量X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．【解答】解：（Ⅰ）記“第一次取到紅球”為事件A，“后兩次均取到白球”為事件B，則，；所以，“第一次取到紅球的條件下，后兩次均取到白球的概率”為；…（或）

…（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3；

…則，，，；

…所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P…數(shù)學(xué)期望為．…21.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與直線OM交于點(diǎn)N，并且點(diǎn)N是線段AB的中點(diǎn)，求△OAB面積的最大值.參考答案：（1）因?yàn)椋?，……?/p>

…1分將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，得到……②

………………2分聯(lián)立①②，解得……………………3分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.………………4分（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，并設(shè)，，線段中點(diǎn)在直線上，所以……………5分因?yàn)?，兩式相減得到因?yàn)樗浴?分由，消去得到關(guān)于的一元二次方程并化簡(jiǎn)得，解得………………7分……………8分原點(diǎn)到直線的距離…………………9分…………10分……………………11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)…………12分綜上，當(dāng)時(shí)，面積最大值為，此時(shí)直線方程為.（沒有總結(jié)語(yǔ)，扣1分）22.（12分）某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機(jī)的情況，分別在高一和高二兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，將使用手機(jī)時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”．

高一學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表時(shí)間分組頻數(shù)[0，20）12[20，40）20[40，60）24[60，80）18[80，100）22[100，120]4

高二學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻率分布直方圖（1）將頻率視為概率，估計(jì)哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）在高二的抽查中，已知隨機(jī)抽到的女生共有55名，其中10名為“手機(jī)迷”．根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)？

非手機(jī)迷手機(jī)迷合計(jì)男

女

合計(jì)

附：隨機(jī)變量（其中為樣本總量）．參考數(shù)據(jù)0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024

參考答案：（1）由頻數(shù)分布表可知，高一學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率為..（2分）由頻率分布直方圖可知，高二學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率為......（4分）因?yàn)镻1＞P2，所以高一年級(jí)的學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大．...........................（5分）（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“手機(jī)迷”有（0.010+0.0025）×20×100=25（人），非手機(jī)迷有100﹣25