2022-2023學(xué)年湖南省郴州市同善中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省郴州市同善中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，則A∩B=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的運算求出A∩B．【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，且集合A={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故選A．2.（5分）設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則下列命題中正確的是（） A． 若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α B． 若m?α，n⊥α，l⊥n，則l∥m C． 若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n D． 若l⊥m，l⊥n，則n∥m參考答案：C考點： 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．專題： 空間位置關(guān)系與距離．分析： A、根據(jù)線面垂直的判定，可判斷；B、選用正方體模型，可得l，m平行、相交、異面都有可能；C、由垂直于同一平面的兩直線平行得m∥n，再根據(jù)平行線的傳遞性，即可得l∥n；D、n、m平行、相交、異面均有可能．解答： 解：對于A，根據(jù)線面垂直的判定，當(dāng)m，n相交時，結(jié)論成立，故A不正確；對于B，m?α，n⊥α，則n⊥m，∵l⊥n，∴可以選用正方體模型，可得l，m平行、相交、異面都有可能，如圖所示，故B不正確；對于C，由垂直于同一平面的兩直線平行得m∥n，再根據(jù)平行線的傳遞性，即可得l∥n，故C正確；對于D，l⊥m，l⊥n，則n、m平行、相交、異面均有可能，故D不正確故選C．點評： 本題考查空間中直線與直線、平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握理解空間中線與線，線與面，面與面的位置關(guān)系及判定定理及較好的空間想像能力是準確解答此類題目的關(guān)鍵．3.函數(shù)y＝3x(－1≤x＜0)的反函數(shù)是（

）

A．y＝(＞0)

B．y＝log3x(x＞0)C．y＝log3x(≤x＜1)

D．y＝(≤x＜1)參考答案：略4.已知a+b＜0，且b＞0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小關(guān)系是（）A．﹣b＜a＜b＜﹣a B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．a(chǎn)＜﹣b＜b＜﹣a D．a(chǎn)＜﹣b＜﹣a＜b參考答案：C【考點】R3：不等式的基本性質(zhì)．【分析】利用不等式性質(zhì)，做差法比較大小進行判定，【解答】解：∵a+b＜0，且b＞0，∴a＜0，﹣b＜0，a＜﹣b∵b﹣（﹣a）=b+a＜0，∴b＜﹣a∴a＜﹣b＜b＜﹣a故選：C5.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.已知a=，b=ln2，c=，則(

)A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b參考答案：D【考點】對數(shù)值大小的比較．【專題】證明題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先利用換底公式得到=log32，利用對數(shù)的性質(zhì)可比較log32與ln2的大小，再與c比較即可．【解答】解：a==log32，b=ln2，c==＜，∴l(xiāng)n2＞log32＞log3=，∴c＜a＜b，故選：D．【點評】本題考查對數(shù)值大小的比較，比較a與b的大小是難點，屬于中檔題．7.若三角形三邊的長度為連續(xù)的三個自然數(shù)，則稱這樣的三角形為“連續(xù)整邊三角形”。下列說法正確的是（

）A.“連續(xù)整邊三角形”只能是銳角三角形B.“連續(xù)整邊三角形”不可能是鈍角三角形C.若“連續(xù)整邊三角形”中最大角是最小角的2倍，則這樣的三角形有且僅有1個D.若“連續(xù)整邊三角形”中最大角是最小角的2倍，則這樣的三角形可能有2個參考答案：C【分析】舉例三邊長分別是2,3,4的三角形是鈍角三角形，否定A，B，通過計算求出最大角是最小角的二倍的三角形，從而可確定C、D中哪個正確哪個錯誤．【詳解】三邊長分別是2,3,4的三角形,最大角為，則，是鈍角，三角形是鈍角三角形，A，B都錯，如圖中，，，是的平分線，則，∴，，∴，，又由是平分線，得，∴，解得，∴“連續(xù)整邊三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一個，邊長分別為4，5，6，C正確，D錯誤．故選D．8.若角α的終邊經(jīng)過點（﹣4，3），則tanα=（）A． B． ﹣C． D．﹣參考答案：D【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由題設(shè)條件，根據(jù)三角函數(shù)終邊上一點的定義即可求得正切值，正切值為縱坐標與橫坐標的商．【解答】解：由定義若角α的終邊經(jīng)過點（﹣4，3），∴tanα=﹣，故選：D．【點評】本題考查任意角三角函數(shù)的定義，求解的關(guān)鍵是熟練掌握定義中知道了終邊上一點的坐標，求正切值的規(guī)律．知道了終邊上一點的坐標的三角函數(shù)的定義用途較廣泛，應(yīng)好好掌握．9.（4分）三個數(shù)70.3，0.37，ln0.3從大到小的順序是（） A． 70.3，ln0.3，0.37 B． 70.3，0.37，ln0.3 C． ln0.3，70.3，0.37 D． 0.37，70.3，ln0.3參考答案：B考點： 對數(shù)值大小的比較．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解答： 解：∵70.3＞1，0＜0.37＜1，ln0.3＜0．∴三個數(shù)70.3，0.37，ln0.3從大到小的順序是：70.3，0.37，ln0.3．故選：B．點評： 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．10.終邊在直線y=x上的角α的集合是(

)．A.{α|α=k?360°+45°，k∈Z}

B.{α|α=k?360°+225°，k∈Z}

C.{α|α=k?180°+45°，k∈Z}

D.{α|α=k?180°-45°，k∈Z}

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是一次函數(shù)，滿足,則________.參考答案：12.若函數(shù)的定義域為，且存在常數(shù)，對任意，有，則稱為函數(shù)。給出下列函數(shù)：①，②，③，④是定義在上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)均有，⑤，其中是函數(shù)的有____________________。參考答案：③④13.定義在區(qū)間上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點個數(shù)是．參考答案：7【考點】H2：正弦函數(shù)的圖象；H7：余弦函數(shù)的圖象．【分析】畫出函數(shù)y=sin2x與y=cosx在區(qū)間上的圖象即可得到答案．【解答】解：畫出函數(shù)y=sin2x與y=cosx在區(qū)間上的圖象如下：由圖可知，共7個交點．故答案為：7．14.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，E為下底CD上的一點，若AB=CE=2，DE=3，AD=5，則tan∠EBC=．參考答案：．【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】過B作BF⊥DC，垂足為F，由已知求出tan∠CBF，tan∠EBF的值，再由tan∠EBC=tan（∠CBF﹣∠EBF），展開兩角差的正切得答案．【解答】解：如圖，過B作BF⊥DC，垂足為F，則EF=DE﹣DF=DE﹣AB=1．∴CF=CE+EF=3．∴tan∠CBF=，tan∠EBF=．則tan∠EBC=tan（∠CBF﹣∠EBF）==．故答案為：．15.已知tan(θ－π)=2，則sin2θ+sinθcosθ－2cos2θ+3的值為

．參考答案：

16.sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用兩角差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin75°cos30°﹣sin30°cos75°=sin（75°﹣30°）=sin45°=，故答案為：．【點評】本題主要考查兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17.數(shù)列{8n+1，n∈N+}的前m項中，恰有10項的值是平方數(shù)，則m的值最小是

。參考答案：55三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）為二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x．（1）求f（x）的表達式；（2）判斷函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證之．參考答案：【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應(yīng)系數(shù)相等解得f（x）的表達式；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，可得g（x）的解析式，利用作差法，可證明其單調(diào)性．．【解答】解：（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由條件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，從而，解得：，所以f（x）=x2﹣2x﹣1；…（2）函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞增．理由如下：g（x）==，設(shè)設(shè)任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函數(shù)g（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…19.已知函數(shù)且。（1）求函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值。參考答案：解：（1）∵…（3分）∴函數(shù)的定義域為…（4分）。（2）∵

……（6分）當(dāng)時，則當(dāng)時，有最小值，∴，，∵，∴……（9分）當(dāng)時，則當(dāng)時，有最大值，無最小值，此時無解……（10分），綜上知，所求。

20.某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出場單價就降低0.02元，根據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購量不會超過600件．（1）設(shè)一次訂購x件，服裝的實際出廠單價為p元，寫出函數(shù)p=f（x）的表達式；（2）當(dāng)銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【分析】（1）根據(jù)題意，函數(shù)為分段函數(shù)，當(dāng)0＜x≤100時，p=60；當(dāng)100＜x≤600時，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．（2）設(shè)利潤為y元，則當(dāng)0＜x≤100時，y=60x﹣40x=20x；當(dāng)100＜x≤600時，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤100時，p=60；當(dāng)100＜x≤600時，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．∴p=（2）設(shè)利潤為y元，則當(dāng)0＜x≤100時，y=60x﹣40x=20x；當(dāng)100＜x≤600時，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2．∴y=當(dāng)0＜x≤100時，y=20x是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)x=100時，y最大，此時y=20×100=2000；當(dāng)100＜x≤600時，y=22x﹣0.02x2=﹣0.02（x﹣550）2+6050，∴當(dāng)x=550時，y最大，此時y=6050．顯然6050＞2000．所以當(dāng)一次訂購550件時，利潤最大，最大利潤為6050元．21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域并判斷函數(shù)的奇偶性；(2)設(shè)，若記=t,求函數(shù)F(x)的最大值的表達式g(m)；(3)在（２）的條件下，求滿足不等式的實數(shù)的取值范圍.參考答案：（１）函數(shù)要有意義，須滿足，得，故函數(shù)的定義域是{x|-1≤x≤1}---2分因為函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)。---4分（２）設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，即函數(shù)的值域為，即∴，------6分令∵拋物線的對稱軸為①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴；②當(dāng)時，，③當(dāng)時，，若