高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀-命題熱點(diǎn)突破)專題02-平面向量與復(fù)數(shù)-理

PAGEPAGE12平面向量與復(fù)數(shù)【考向解讀】1.考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算，預(yù)測多以熟知的平面圖形為背景進(jìn)行考查，多為選擇題、填空題、難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積，預(yù)測以選擇題、填空題為主，難度低；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn).【命題熱點(diǎn)突破一】平面向量的線性運(yùn)算(1)在平面向量的化簡或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化；(2)在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量．例1、【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量，且，則（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故選D.【變式探究】(1)設(shè)0<θ<eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，則tanθ＝______.(2)如圖，在△ABC中，AF＝eq\f(1,3)AB，D為BC的中點(diǎn)，AD與CF交于點(diǎn)E.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，且eq\o(CE,\s\up6(→))＝xa＋yb，則x＋y＝________.【答案】(1)eq\f(1,2)(2)－eq\f(1,2)【解析】(1)因為a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因為0<θ<eq\f(π,2)，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝eq\f(1,2).(2)如圖，設(shè)FB的中點(diǎn)為M，連接MD.因為D為BC的中點(diǎn)，M為FB的中點(diǎn)，所以MD∥CF.因為AF＝eq\f(1,3)AB，所以F為AM的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．方法二易得EF＝eq\f(1,2)MD，MD＝eq\f(1,2)CF，所以EF＝eq\f(1,4)CF，所以CE＝eq\f(3,4)CF.因為eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,3)a，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(－b＋eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,4)a－eq\f(3,4)b.所以x＝eq\f(1,4)，y＝－eq\f(3,4)，則x＋y＝－eq\f(1,2).【感悟提升】(1)對于平面向量的線性運(yùn)算，要先選擇一組基底；同時注意共線向量定理的靈活運(yùn)用．(2)運(yùn)算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系．【變式探究】(1)已知向量i與j不共線，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實數(shù)m，n滿足的條件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1(2)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________；y＝________.【答案】(1)C(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,6)【解析】(1)因為A，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))?i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i與j不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λn，,m＝λ，))所以mn＝1.(2)如圖，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).【命題熱點(diǎn)突破二】平面向量的數(shù)量積(1)數(shù)量積的定義：a·b＝|a||b|cosθ.(2)三個結(jié)論①若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).例2、【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個三等分點(diǎn)，，，則的值是▲.【答案】【變式探究】(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．(2)在△AOB中，G為△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝6，則|eq\o(OG,\s\up6(→))|的最小值是________．【答案】(1)22(2)2【解析】(1)由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因為eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因為eq\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.(2)如圖，在△AOB中，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos60°＝6，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝12，∴|eq\o(OG,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,9)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,9)(|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,9)(|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＋12)≥eq\f(1,9)×(2|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＋12)＝eq\f(1,9)×36＝4(當(dāng)且僅當(dāng)|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|時取等號)．∴|eq\o(OG,\s\up6(→))|≥2，故|eq\o(OG,\s\up6(→))|的最小值是2.【感悟提升】(1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計算．【命題熱點(diǎn)突破三】平面向量與三角函數(shù)平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運(yùn)算作為題目條件．例3、已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝eq\f(π,4)，求函數(shù)f(x)＝b·c的最小值及相應(yīng)x的值；(2)若a與b的夾角為eq\f(π,3)，且a⊥c，求tan2α的值．【解析】(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋eq\r(2)(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)<x<π))，則2sinxcosx＝t2－1，且－1<t<eq\r(2).則y＝t2＋eq\r(2)t－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(\r(2),2)))2－eq\f(3,2)，－1<t<eq\r(2)，∴t＝－eq\f(\r(2),2)時，ymin＝－eq\f(3,2)，此時sinx＋cosx＝－eq\f(\r(2),2)，即eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)，∵eq\f(π,4)<x<π，∴eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,4)<eq\f(5,4)π，∴x＋eq\f(π,4)＝eq\f(7,6)π，∴x＝eq\f(11π,12).∴函數(shù)f(x)的最小值為－eq\f(3,2)，相應(yīng)x的值為eq\f(11π,12).【感悟提升】在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題．【變式探究】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，cosB＝eq\f(1,3)，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．【解析】(1)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2得c·acosB＝2.又cosB＝eq\f(1,3)，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×eq\f(1,3)＝13.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝6，,a2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝2.))因為a>c，所以a＝3，c＝2.【命題熱點(diǎn)突破四】復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算的重點(diǎn)是除法運(yùn)算，其關(guān)鍵是進(jìn)行分母實數(shù)化，分子分母同時乘分母的共軛復(fù)數(shù)．對一些常見的運(yùn)算，如(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i等要熟記．例4、【2016高考天津理數(shù)】已知，i是虛數(shù)單位，若，則的值為_______.【答案】2【解析】由，可得，所以，，故答案為2．【變式探究】(1)若復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,1＋\r(3)i)，則|z|＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．1D．2(2)已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－i,i)(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】(1)C(2)B【解析】(1)z＝eq\f(2,1＋\r(3)i)＝eq\f(2（1－\r(3)i）,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，，所以|z|＝eq\r(（\f(1,2)）2＋（\f(\r(3),2)）2)＝1.(2)z＝eq\f(1－i,i)＝－1－i，則復(fù)數(shù)z＝－1＋i，對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．【高考真題解讀】1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量，且，則（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故選D.2.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個三等分點(diǎn)，，，則的值是▲.【答案】【解析】因為，，因此，3.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足==,===-2，動點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是()（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】甴已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的，，故選B.1.【2016新課標(biāo)理】設(shè)其中,實數(shù),則()（A）1（B）（C）（D）2【答案】B【解析】因為所以故選B.2.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若，則（）(A)1(B)-1(C)(D)【答案】C【解析】，故選C．3.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】要使復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限應(yīng)滿足：，解得，故選A.4.【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實軸上，則_______________.【答案】－1【解析】，故填：－15.【2016高考山東理數(shù)】若復(fù)數(shù)z滿足其中i為虛數(shù)單位，則z=（）（A）1+2i （B）12i （C） （D）【答案】B【解析】設(shè)，則，故，則，選B.6.【2016高考天津理數(shù)】已知，i是虛數(shù)單位，若，則的值為_______.【答案】2【解析】由，可得，所以，，故答案為2．7.【2016高考江蘇卷】復(fù)數(shù)其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是________▲________.【答案】5【解析】，故z的實部是51．(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，2)若a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝()A．－1 B．0 C．1 D．2解析因為a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故選B.答案B2．(2015·廣東，2)若復(fù)數(shù)z＝i(3－2i)(i是虛數(shù)單位)，則z＝()A．3－2i B．3＋2i C．2＋3i D．2－3i解析因為z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以z＝2－3i，故選D.答案D3．(2015·四川，2)設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i3－eq\f(2,i)＝()A．－i B．－3i C．i D．3i解析i3－eq\f(2,i)＝－i－eq\f(2i,i2)＝－i＋2i＝i.選C.答案C4．(2015·山東，2)若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(z,1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝()A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i解析∵eq