2023-2024學(xué)年魯科版選擇性必修第一冊 第2章 第3節(jié)　單擺 學(xué)案

第3節(jié)單擺核心素養(yǎng)目標(biāo)1.知道單擺是一種理想化模型，理解單擺模型的條件。2.知道單擺回復(fù)力的來源，學(xué)會通過理論推導(dǎo)，證明擺角很小時(shí)單擺的振動是簡諧運(yùn)動。3.知道影響單擺周期的因素，理解單擺的周期公式并能解決有關(guān)問題。知識點(diǎn)一單擺的振動1．單擺(1)定義：把一根不能伸長的細(xì)線上端固定，下端拴一個(gè)小球，線的質(zhì)量和球的大小可忽略不計(jì)，這種裝置稱為單擺。(2)單擺是一種理想化模型。2．單擺的回復(fù)力(1)來源：擺球的重力沿圓弧切向的分力F提供了使球沿圓弧振動的回復(fù)力，如圖所示。(2)特點(diǎn)：在擺角很小的情況下(通常θ＜5°)，單擺所受的回復(fù)力的大小與擺球位移大小成正比，方向與擺球位移方向相反。3．單擺的運(yùn)動規(guī)律：在偏角很小的情況下(通常θ＜5°)，單擺的振動可近似視為簡諧運(yùn)動。知識點(diǎn)二單擺的周期1．周期與其影響因素之間的關(guān)系：單擺的振動周期T與擺長l的算術(shù)平方根成正比，與重力加速度g的算術(shù)平方根成反比。2．周期公式：T＝2πeq\r(\f(l,g))。3．發(fā)現(xiàn)：單擺周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。4．特點(diǎn)：單擺周期與振幅及擺球質(zhì)量皆無關(guān)。5．應(yīng)用(1)制成擺鐘用來計(jì)量時(shí)間。(2)測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。如圖所示的是樣式不同的擺鐘(掛鐘、座鐘、落地鐘)。(1)擺鐘擺錘的振動可以看成簡諧運(yùn)動。(√)(2)擺鐘擺錘振動的回復(fù)力來源于重力和擺桿的彈力的合力。(×)(3)寒冷的冬天室外走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘，搬到暖和的室內(nèi)擺鐘的走時(shí)會變慢。(√)(4)如果將擺鐘從上海移到北京其走時(shí)會變快。(√)(5)如果將擺鐘帶到我國的“天和核心艙”中仍然可以使用。(×)要點(diǎn)一對單擺回復(fù)力及運(yùn)動特征的理解如圖甲所示，擺鐘是單擺模型的具體應(yīng)用。如圖乙所示，當(dāng)擺角很小時(shí)，單擺的運(yùn)動可看成簡諧運(yùn)動。結(jié)合簡諧運(yùn)動的知識，請思考以下問題。(1)小球和細(xì)線構(gòu)成一個(gè)做簡諧運(yùn)動的單擺，運(yùn)動過程中小球受到幾個(gè)力的作用？什么力充當(dāng)了小球振動的回復(fù)力？(2)擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)，合外力是否為零？(3)擺球到達(dá)最大位移處，v＝0，加速度是否等于0?提示：(1)小球受兩個(gè)力的作用：重力和細(xì)線的拉力。重力沿圓弧切線方向的分力G1＝mgsinθ提供了使擺球振動的回復(fù)力，如圖所示。(2)擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)回復(fù)力為零，但是合外力不為零，合外力提供擺球做圓周運(yùn)動的向心力。(3)最大位移處速度v＝0，所需向心力為零，此時(shí)擺球所受合外力等于重力沿圓弧切線方向的分力，所以加速度不等于0。1．單擺做簡諧運(yùn)動的推證如圖所示，單擺的回復(fù)力F＝G1＝mgsinθ，在偏角很小時(shí)(通常θ＜5°),sinθ≈eq\f(x,l)，所以單擺的回復(fù)力為F＝－eq\f(mg,l)x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負(fù)號表示回復(fù)力F與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，故單擺做簡諧運(yùn)動。2．單擺做簡諧運(yùn)動的規(guī)律(1)單擺做簡諧運(yùn)動的位移圖像(x-t圖像)是一條正弦(或余弦)曲線。(2)單擺振動過程中各量的變化特點(diǎn)。位置或過程位移、回復(fù)力、加速度速度、動能重力勢能最高點(diǎn)最大零最大最低點(diǎn)零最大最小遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動越來越大越來越小越來越大靠近平衡位置運(yùn)動越來越小越來越大越來越小【典例1】[多選]如圖所示，均勻小球在做簡諧運(yùn)動，平衡位置為O點(diǎn)，A、B為最大位移處，M、N點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對稱。下列說法正確的是()A．小球受重力、繩子拉力和回復(fù)力B．小球所受合外力就是單擺的回復(fù)力C．小球在O點(diǎn)時(shí)合外力不為0，回復(fù)力為0D．小球在M點(diǎn)的位移與小球在N點(diǎn)的位移大小相等解析小球只受兩個(gè)力：重力、繩子拉力，A錯(cuò)誤；單擺的回復(fù)力是重力沿運(yùn)動方向的分力，B錯(cuò)誤；單擺在O點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力為0，但合外力不為0，合外力指向運(yùn)動軌跡的圓心，C正確；根據(jù)運(yùn)動的對稱性可知，選項(xiàng)D正確。答案CD|特別提醒|關(guān)于單擺的回復(fù)力的三點(diǎn)提醒(1)單擺振動中的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的分力，除了最大位移處之外回復(fù)力與它受到的合力均不相等。(2)在最大位移處時(shí)，速度為零，向心力為零，此時(shí)合力等于回復(fù)力。(3)經(jīng)過平衡位置時(shí)，速度不為零，向心力也不為零，此時(shí)回復(fù)力為零，合力等于向心力。1．對于單擺的振動，以下說法中正確的是()A．單擺振動時(shí)，擺球受到的向心力大小處處相等B．單擺運(yùn)動的回復(fù)力就是擺球受到的合力C．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時(shí)所受回復(fù)力為零D．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時(shí)所受合外力為零解析：C單擺振動過程中受到重力和擺線拉力的作用，把重力沿切向和徑向分解，其切向分力提供回復(fù)力，擺線拉力與重力的徑向分力的合力提供向心力，向心力大小為meq\f(v2,l)，可見最大偏角處向心力為零，平衡位置處向心力最大，而回復(fù)力在最大偏角處最大，在平衡位置處為零，故選C。2．一單擺做小角度擺動，其振動圖像如圖所示，以下說法正確的是()A．t1時(shí)刻擺球速度最大，擺球的回復(fù)力最大B．t2時(shí)刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小C．t3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最小D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大解析：D在t1時(shí)刻和t3時(shí)刻擺球的位移最大，回復(fù)力最大，速度為零，A、C均錯(cuò)誤；在t2時(shí)刻和t4時(shí)刻擺球在平衡位置，速度最大，懸線拉力最大，回復(fù)力為零，故B錯(cuò)誤，D正確。要點(diǎn)二單擺周期公式的理解及應(yīng)用1．對單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))的理解(1)T與擺長l和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)。(2)T與振幅和擺球質(zhì)量無關(guān)，故T又叫單擺的固有周期。(3)成立條件：最大擺角很小(最大擺角小于5°)。2．對擺長l和重力加速度g的理解(1)擺長l：從懸點(diǎn)到擺球重心的長度。①實(shí)際單擺的擺長：l＝l′＋eq\f(D,2)，l′為從懸點(diǎn)到擺球上端的擺線長度，D為擺球直徑。②等效擺長：(a)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上小角度擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsinα。其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))。(b)圖中，如果乙在垂直紙面方向小角度擺動時(shí)，其等效擺長等于甲擺的擺長；如果乙在紙面內(nèi)小角度擺動時(shí)，等效擺長等于丙擺的擺長。(2)重力加速度g①單擺系統(tǒng)只處在重力場中且懸點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。②天體表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，式中R為天體半徑，M為天體的質(zhì)量。不同星球上M和R一般不同，所以g也一般不同。【典例2】[多選]甲、乙兩個(gè)單擺的振動圖像如圖所示。根據(jù)振動圖像可以斷定()A．甲、乙兩單擺振動的頻率之比是3∶2B．甲、乙兩單擺振動的周期之比是2∶3C．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動，甲、乙兩單擺擺長之比是9∶4D．若甲、乙兩單擺在不同地點(diǎn)擺動，但擺長相同，則甲乙兩單擺所在地點(diǎn)的重力加速度之比為9∶4思路點(diǎn)撥(1)由振動圖像可知單擺振動的周期關(guān)系為eq\f(3,2)T甲＝T乙。(2)甲、乙兩單擺在不同一地點(diǎn)擺動，擺長相同，但g不同。解析根據(jù)圖像可知，單擺振動的周期關(guān)系為eq\f(3,2)T甲＝T乙，所以周期之比為eq\f(T甲,T乙)＝eq\f(2,3)，頻率為周期的反比，所以頻率之比為eq\f(f甲,f乙)＝eq\f(3,2)，A、B正確；若甲、乙在同一地點(diǎn)，則重力加速度相同，根據(jù)周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可得擺長之比為4∶9，C錯(cuò)誤；若在不同地點(diǎn)，擺長相同，根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))得重力加速度之比為9∶4，D正確。答案ABD【典例3】如圖所示，三根細(xì)線在O點(diǎn)處打結(jié)，A、B端固定在同一水平面上相距為l的兩點(diǎn)上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC線長也是l，下端C點(diǎn)系著一個(gè)小球(半徑可忽略)，下列說法正確的是(以下皆指擺動角度小于5°，重力加速度為g)()A．讓小球在紙面內(nèi)振動，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))B．讓小球在垂直紙面內(nèi)振動，周期T＝2πeq\r(\f(3l,2g))C．讓小球在紙面內(nèi)振動，周期T＝2πeq\r(\f(3l,2g))D．讓小球在垂直紙面內(nèi)振動，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))思路點(diǎn)撥(1)小球在紙面內(nèi)小角度振動時(shí)“等效懸點(diǎn)”為O、“等效擺長”為l。(2)小球在垂直紙面內(nèi)小角度振動時(shí)“等效懸點(diǎn)”在過O點(diǎn)作AB的垂線的垂足處，“等效擺長”為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)l＋l))。解析讓小球在紙面內(nèi)振動，在偏角很小時(shí)，單擺做簡諧運(yùn)動，擺長為l，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))；讓小球在垂直紙面內(nèi)振動，在偏角很小時(shí)，單擺做簡諧運(yùn)動，擺長為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)l＋l))，周期T′＝2πeq\r(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)＋1))l,g))，A正確，B、C、D錯(cuò)誤。答案A|特別提醒|解答有關(guān)“等效擺長”問題，關(guān)鍵是要弄清單擺振動的平面、“等效懸點(diǎn)”及“等效擺長”等。要點(diǎn)三“類單擺”模型1．“類單擺”模型除了前面學(xué)習(xí)的單擺模型，有些物體的運(yùn)動與單擺的運(yùn)動規(guī)律類似，該類物體的運(yùn)動稱為“類單擺”模型。2．兩種典型實(shí)例(1)如圖甲所示，eq\x\to(BC)為豎直面內(nèi)的光滑小圓弧(半徑為R)，且eq\x\to(BC)?R(或?qū)?yīng)圓心角∠BOC很小)，當(dāng)小球在eq\x\to(BC)間運(yùn)動時(shí)，小球受重力、軌道支持力作用，軌道支持力可以等效為單擺中的擺線拉力，故其運(yùn)動為“類單擺”運(yùn)動，等效擺長l效＝R(小球半徑r?R)。(2)如圖乙所示，在固定的光滑斜面上，用長度為l的細(xì)繩一端固定于O1點(diǎn)，下端懸掛一小球，使小球在斜面內(nèi)來回?cái)[動，小球受到重力、繩的拉力、斜面的支持力作用，其運(yùn)動為“類單擺”運(yùn)動，等效重力為G效＝mgsinθ，等效重力加速度為g效＝gsinθ。3．處理類單擺問題的思路(1)確認(rèn)符合“類單擺”模型的條件。(2)確定等效擺長l效。(3)確定等效重力加速度g效。(4)利用公式T＝2πeq\r(\f(l效,g效))或簡諧運(yùn)動規(guī)律分析求解有關(guān)問題?！镜淅?】如圖所示，將小球甲、乙、丙(都可視為質(zhì)點(diǎn))分別從A、B、C三點(diǎn)由靜止同時(shí)釋放，最后都到達(dá)豎直面內(nèi)圓弧的最低點(diǎn)D，其中甲從圓心A出發(fā)做自由落體運(yùn)動，乙沿弦軌道從一端B(與圓心A等高)到達(dá)另一端D，丙沿圓弧軌道從C點(diǎn)運(yùn)動到D，且C點(diǎn)很靠近D點(diǎn)。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判斷正確的是()A．甲球最先到達(dá)D點(diǎn)，乙球最后到達(dá)D點(diǎn)B．甲球最先到達(dá)D點(diǎn)，丙球最后到達(dá)D點(diǎn)C．丙球最先到達(dá)D點(diǎn)，乙球最后到達(dá)D點(diǎn)D．甲球最先到達(dá)D點(diǎn)，無法判斷哪個(gè)球最后到達(dá)D點(diǎn)思路點(diǎn)撥由于“C點(diǎn)很靠近D點(diǎn)”，故“丙沿圓弧軌道從C點(diǎn)運(yùn)動到D”做“類單擺”運(yùn)動，時(shí)間t＝eq\f(T,4)。解析設(shè)圓的半徑為r，小球甲從A到D的過程中做自由落體運(yùn)動，所用時(shí)間t1＝eq\r(\f(2r,g))。由幾何知識知∠ADB＝θ＝45°，弦BD長度為2rcosθ，小球乙從B到D的過程中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，運(yùn)動加速度為gcosθ，所用時(shí)間t2＝eq\r(\f(2s,a))＝eq\r(\f(2×\r(2)r,gcos45°))＝2eq\r(\f(r,g))丙沿圓弧軌道從C點(diǎn)運(yùn)動到D的運(yùn)動可以看成類單擺運(yùn)動，周期T＝2πeq\r(\f(r,g))，時(shí)間t3＝eq\f(T,4)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(r,g))。故有t2＞t3＞t1，由此可知乙球最后到，甲球最先到，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。答案A1.一個(gè)質(zhì)量為m的小球在半徑為R的光滑圓弧槽上來回運(yùn)動，如圖，圓弧槽的長度l?R。為了使小球振動的頻率變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，可以采用的辦法是()A．將R減小為原來的eq\f(1,4)B．將R增大為原來的4倍C．將圓弧長l增大為原來的4倍D．將m減小為原來的eq\f(1,2)解析：B將R減小為原來的eq\f(1,4)，周期變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，頻率則為原來的2倍，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；將R增大為原來的4倍，周期變?yōu)樵瓉淼?倍，頻率則為原來的eq\f(1,2)，選項(xiàng)B正確；將圓弧長l增大為原來的4倍，不會改變小球運(yùn)動的周期和頻率，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小球的周期和頻率與質(zhì)量沒有關(guān)系，所以改變小球的質(zhì)量，不會改變其運(yùn)動的周期和頻率，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。2.如圖所示，一根不可伸長的細(xì)繩下端拴一小鋼球，上端系在位于光滑斜面O處的釘子上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)繩與斜面平行?，F(xiàn)使小球獲得一平行于斜面底邊的初速度，使小球偏離平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面傾角為θ，懸點(diǎn)到小球球心的距離為L，重力加速度為g。則小球回到最低點(diǎn)所需的最短時(shí)間為()A．πeq\r(\f(L,g)) B.πeq\r(\f(Lsinθ,g))C．πeq\r(\f(L,gsinθ)) D.πeq\r(\f(L,gcosθ))解析：C因?yàn)樾∏蚱x平衡位置，最大偏角小于5°，小球的運(yùn)動可以看作單擺，在等效重力作用下有mgsinθ＝mg′，T＝2πeq\r(\f(L,g′))，小球回到最低點(diǎn)所需的最短時(shí)間為t＝eq\f(T,2)＝πeq\r(\f(L,gsinθ))，故選C。|要點(diǎn)回眸|1．某一單擺在小角度擺動時(shí)，其周期T與哪個(gè)物理量有關(guān)()A．?dāng)[長 B.擺球質(zhì)量C．最大擺角 D.與以上三者都有關(guān)解析：A小角度擺動時(shí)，單擺周期公式為T＝2πeq\r(\f(l,g))，即T與l和g有關(guān)，故選A。2．[多選]惠更斯利用擺的等時(shí)性原理制成了第一座擺鐘。如圖甲所示為日常生活中我們能見到的一種擺鐘，圖乙為擺鐘的結(jié)構(gòu)示意圖，圓盤固定在擺桿上，螺母可以沿?cái)[桿上下移動。夏天走時(shí)準(zhǔn)確的(未做其他調(diào)整)擺鐘，到了冬天發(fā)現(xiàn)擺鐘變快了，下列說法正確的是()A．?dāng)[鐘變快說明擺鐘的周期變大了B．?dāng)[鐘變快說明擺鐘的周期變小了C．若要調(diào)準(zhǔn)擺鐘可將螺母適當(dāng)向下移動D．若要調(diào)準(zhǔn)擺鐘可將螺