第14章-幾何非線性有限元分析1

幾何非線性有限元方法1引言非線性的來源材料非線性大應變，大位移，大旋轉如果一個結構承受大的變形，它改變的幾何構形可導致非線性行為。在輕微的橫向載荷下，桿的端部是極度柔性的，當載荷增加時，桿的幾何形狀改變（變彎曲）并減少了力臂（由于載荷移動），從而導致桿的剛度在較高載荷下不斷增大。幾何非線性問題：

板、殼等薄壁結構在一定載荷作用下，盡管應變很小，甚至未超過彈性極限，但是位移較大。這時必須考慮變形對平衡的影響，即平衡條件必須建立在變形后的位形上，同時應變表達式應包括位移的二次項---平衡方程和幾何條件都是非線性的；金屬成型材料在受載時都可能出現(xiàn)很大的應變，這時除了采用非線性的平衡方程和幾何關系外，還需要引入相應的應力應變關系。1引言1.物體運動的物質描述2.格林和阿爾曼西應變3.歐拉、拉格朗日和克希荷夫應力4.大變形時平衡方程和虛位移原理5.大變形本構關系6.彈性大變形問題的有限元法7.彈性分支點穩(wěn)定問題有限元分析8.物質描述大變形增量問題的T.L、U.L法2內容3.1物體運動的物質描述-拉格朗日描述t=0的坐標為

，t時刻位置為

，質點運動可表為

對物體t時刻位置和變形的刻劃稱為構形或位形，如圖示。

描述運動的參照基準稱為參考位形，以初始位形作參考位形的描述稱為物質描述或拉格朗日描述，稱為物質坐標。3.1物體運動的物質描述-變形梯度

物體現(xiàn)時坐標

對物質坐標

的偏導數(shù)稱為變形梯度，是非對稱的二階張量。

現(xiàn)時位形兩鄰點的距離為3.1物體運動的物質描述-變形梯度

因此可以將變形梯度視作一種線性變換，它將參考位形中的線元

變換為現(xiàn)時位形中的線元

，這變換中既有伸縮，也有轉動。變形梯度在大變形分析中很重要。

初始位形兩鄰點的距離為物體運動和變形是單值和連續(xù)的，也即在任一時刻，和是一一對應的，那么在參考位形的任意點Jacobi行列式J不為零。也即變形梯度可逆Ricci可由Ricci置換符號的定義和行列式的性質證明Ricci符號3.1物體運動的物質描述-體積及面積變換公式設圖示初始位形微元體體積為dV0，三線元為運動變形后，現(xiàn)時位形三線元為現(xiàn)時位形初始位形3.1物體運動的物質描述-體積及面積變換公式因此，現(xiàn)時位形的體積可表為體積變換公式3.1物體運動的物質描述-體積及面積變換公式

仿體積的變換公式又因變形前體積又因所以同理，變形后體積所以3.1物體運動的物質描述-體積及面積變換公式3.1物體運動的物質描述-體積及面積變換公式面積變換公式3.2Green和Almansi應變張量設初始和現(xiàn)時位形中P、Q兩點的距離分別為3.4Green和Almansi應變張量格林應變張量阿爾曼西應變張量格林應變張量用初始位形定義，也即用變形前的坐標定義它是lagrange坐標的函數(shù)。阿爾曼西應變張量用現(xiàn)時位形定義，它是Euler坐標的函數(shù)。用變形前坐標表示用變形后坐標表示研究變形前后線段尺度的變化可以獲得變形的度量－應變3.4Green和Almansi應變張量Green和Almansi應變張量關系

質點的位移向量也同樣可用初始位形和現(xiàn)時位形定義上式對lagrange坐標或對Euler坐標求偏導位移對坐標（）的偏導數(shù)，稱為位移梯度張量。初始坐標的函數(shù)現(xiàn)時坐標的函數(shù)3.4Green和Almansi應變張量初始坐標的函數(shù)現(xiàn)時坐標的函數(shù)

由此公式可見，兩種應變張量都是對稱的。

將位移梯度張量代入兩種應變的表達式，可得用位移梯度張量表示的應變公式如下3.4Green和Almansi應變張量3.4Green和Almansi應變張量

當位移梯度很小時，位移梯度分量的乘積項是高階小量，可以不區(qū)分初始位形和現(xiàn)時位形，將高階項略去后，即可得到無限小應變張量柯西應變-工程應變在大變形問題中，是用從變形后的物體內截取的微元體來建立平衡方程及與之相等效的虛功原理的。因此首先在變形后的物體內截取出的微元體上定義應力張量，稱為Euler應力張量，；此應力張量有明確的含義，即代表真實的應力張量。是現(xiàn)時位形和變形相關的真實應力。由四面體的平衡，可將面的應力，用表示3.5

應力張量-Euler應力張量邊界靜力平衡條件然而在分析過程中，必須聯(lián)系應力與應變。如果應變是用變形前的坐標（初始位形）表示的Green應變張量，那么，還需定義與之相對應的，即關于變形前位形的應力張量。3.5應力張量-

Lagrange應力張量、Kirchhoff應力張量（名義應力張量）對于變形后的位形（現(xiàn)時位形），有Euler應力張量對于變形前的位形（初始位形），可以定義名義應力

?Kirchhoff規(guī)定:第二類Piola-Kirchhoff應力張量Lagrange規(guī)定Lagrange應力張量3.5應力張量-

Lagrange應力張量、Kirchhoff應力張量（名義應力張量）利用初始和現(xiàn)時位形中物質面元間的關系(變形前后)，得3.5應力張量-

Lagrange應力張量與Euler應力張量關系上式左乘Lagrange規(guī)定邊界靜力平衡條件3.5應力張量-

Lagrange應力張量與Euler應力張量關系Kirchhoff規(guī)定:Kirchhoff應力張量與Lagrange應力張量關系根據Lagrange應力張量與Euler應力張量關系Lagrange規(guī)定:3.5應力張量-

Lagrange應力張量與Euler應力張量關系根據Lagrange應力張量與Euler應力張量關系Kirchhoff應力張量與Euler應力張量關系？3.5應力張量關系克希荷夫應力張量在空間固定坐標下，是一個不隨剛體轉動而變的客觀張量。歐拉應力不是?？讼：煞驊埩亢虶reen應變張量構成描述材料本構關系的一個適當?shù)拇钆湟虼?，雖然二階