初等幾何 第六章 各類考試中的幾何

第六章各類考試中的幾何問題6.1中考幾何問題“提供新材料、創(chuàng)設(shè)新情景、提出新問題”已成為幾何試題設(shè)計(jì)的新趨勢.這一新趨勢的主要表現(xiàn)是：在問題的背景上下功夫，力求情景新穎，讓學(xué)生在變化的試題情景中解題，在對(duì)學(xué)生已有幾何語言的讀、寫、譯能力的基礎(chǔ)上，力求考查學(xué)生的閱讀理解能力；在問題的呈現(xiàn)方式上下功夫，改變問題的呈現(xiàn)方式，多角度、多層次、多途徑，靈活地呈現(xiàn)問題，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活性；在問題的形式上下功夫，歸納型試題、方案型試題、探索型試題、開放型試題等，讓學(xué)生在幾何問題的探索中，數(shù)學(xué)思維得到錘煉，創(chuàng)新思維得到發(fā)展.6.1.1中考幾何問題的基本特點(diǎn)1.注重基礎(chǔ)知識(shí)，強(qiáng)調(diào)聯(lián)系實(shí)際近年來，中考幾何試題非常關(guān)注與實(shí)際生活的聯(lián)系，幾何知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系密切，強(qiáng)調(diào)人與自然、社會(huì)協(xié)調(diào)發(fā)展的現(xiàn)代意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)生活和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的基本走向，密切聯(lián)系最新的科技成果和社會(huì)熱點(diǎn).注重促進(jìn)學(xué)生幾何學(xué)習(xí)方式的改善，幾何學(xué)習(xí)效率的提高，激發(fā)并保持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生體會(huì)到幾何就在我們身邊.2.突出學(xué)科特點(diǎn)，加大探究力度近年來，中考幾何試題突出了平面幾何的兩大內(nèi)容：一是以圖形為主，直觀性強(qiáng)，所考查的圖形生動(dòng)形象；二是以推理為主，邏輯性強(qiáng)，通過概念、判斷、推理、論證，考查學(xué)生的邏輯思維能力.近年來，中考幾何試題十分關(guān)注學(xué)生的閱讀理解能力、動(dòng)手實(shí)踐能力、探索發(fā)現(xiàn)能力、抽象歸納能力的考查.3.關(guān)注知識(shí)整合，考查思想方法近年來，關(guān)注幾何知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)幾何知識(shí)的整體性，用具體的試題為載體考查數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，是中考幾何試題的一大亮點(diǎn).初中階段的幾何學(xué)習(xí)要掌握的數(shù)學(xué)思想主要有：數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等；主要數(shù)學(xué)方法有：構(gòu)造法、面積法、換元法、代數(shù)法等.這些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在近年來的中考試題中進(jìn)行了多方位、多層次的考查.4.拓展思維空間，著眼學(xué)生發(fā)展近年來，各地中考的幾何試題已不再拘泥于知識(shí)點(diǎn)的考查，而是注重拓展思維空間，精心設(shè)計(jì)情景，多角度、多層次地考查學(xué)生的各種能力：通過變化問題的情景讓學(xué)生去分析、轉(zhuǎn)化，聯(lián)系，尋找解題途徑；適度拓展、發(fā)散探究問題，讓學(xué)生去聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)解題思路，考查學(xué)生的創(chuàng)造能力.6.1.2中考幾何問題的基本內(nèi)容新課程將初中幾何內(nèi)容分為圖形的認(rèn)識(shí)、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明四大模塊；從其研究方法上看，新課程將初中幾何分為實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何.近年來中考幾何試題的基本內(nèi)容也主要包括四大模塊:圖形的認(rèn)識(shí)、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明.重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查的問題主要是：與圓相關(guān)的問題、解三角形、圖形的變換、圖形的計(jì)算與證明；與幾何有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題.其中實(shí)際應(yīng)用問題將是構(gòu)成中難度解答題的主要內(nèi)容，三角形、四邊形等內(nèi)容的綜合仍將是構(gòu)成高難度題的主要內(nèi)容.6.1.3中考幾何問題的基本解法中考幾何問題是“按課標(biāo)要求，不出偏題、怪題和死記硬背的題目”，突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及基本數(shù)學(xué)思想方法的考查，著眼于考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力，強(qiáng)化應(yīng)用，著重創(chuàng)新，強(qiáng)調(diào)幾何與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，減少繁難的幾何證明題，淡化幾何證明的技巧，降低論證過程形式化的要求.中考幾何問題的基本解法是：數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、化歸法、反證法和構(gòu)造法等.例1（南充）

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)G，E在CD的延長線上，EP=EG.（1）求證：直線EP為⊙O的切線；（2）點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，若BG2=BF?BO．試證明BG=PG；（3）在滿足(2)的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB=．求弦CD的長．分析：（1）連接OP先由EP=EG，證出∠EPG=∠BGF再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°推出∠EPG+∠OPB=90°（2）連接OG由BG2=BF?BO得出△BFG∽△BGO得出∠BGO=∠BFG=90°得出結(jié)論．（3）連接AC、BC、OG由sinB=，求出r由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF再求出BF，F(xiàn)A，利用直角三角形來求斜邊上的高，再乘以2得出CD長度．答：CD=．

例2.（南充）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過點(diǎn)（b－2，2b2－5b－1）.（1）求這條拋物線的解析式；（2）⊙M過A、B、C三點(diǎn)，交y軸于另一點(diǎn)D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，若△DMF為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）把點(diǎn)（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1=(b－2)2+b(b－2)－3b+3，解得b=2.∴拋物線的解析式為y=x2+2x－3.（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.拋物線的對(duì)稱軸是直線x=－1，圓心M在直線x=－1上.∴設(shè)M（－1，n），作MG⊥x軸于G，MH⊥y軸于H，連接MC、MB.∴MH=1，BG=2.∵M(jìn)B=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴點(diǎn)M（－1，－1）

（3）如圖，由M（－1，－1），得MG=MH.∵M(jìn)A=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.由旋轉(zhuǎn)可知∠3=∠4.∴△AME≌△DMF.若△DMF為等腰三角形，則△AME為等腰三角形.設(shè)E（x，0），△AME為等腰三角形分三種情況：②∵M(jìn)在AB的垂直平分線上，∴MA=ME=MB，∴E（1，0）例3（中考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，2)、點(diǎn)B(﹣2，0)，過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE．（1）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）

經(jīng)過A、D、E三點(diǎn)，求該拋物線的解析式．

（2）若正方形和拋物線均以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng)．①在

運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于平移時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍．②運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）由題意可知：OB=2，OC=1．如圖（1）所示，過D點(diǎn)作DH⊥y軸于H，過E點(diǎn)作EG⊥x軸于G．易證△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E(﹣3，2)．∴拋物線

注幾何動(dòng)態(tài)問題是近年來中考出現(xiàn)較多的題型，它集質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、線段的運(yùn)動(dòng)、圖形的變化一身，集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，是數(shù)與形的巧妙結(jié)合.在運(yùn)動(dòng)中分析、在變化中求解，這不僅反映了動(dòng)態(tài)型命題的重要特征，而且還展示了動(dòng)態(tài)型命題特有的發(fā)展功能和思維功能.6.2

高考幾何問題6.2.1高考幾何問題的基本特點(diǎn)高考幾何問題主要內(nèi)容包括學(xué)生必修與選修中的立體幾何、解析幾何及平面幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.幾何問題是高考的必考內(nèi)容之一，近年來已形成“保持穩(wěn)定，注重基礎(chǔ)，突出能力，著力創(chuàng)新”的特點(diǎn).這些特點(diǎn)，既有試題在幾何基礎(chǔ)層面上的呈顯，又有試題在數(shù)學(xué)能力上的體現(xiàn).1.試題在基礎(chǔ)知識(shí)層面的特點(diǎn)（1）緊扣教材，注重基礎(chǔ)（2）全面考查，重點(diǎn)突出（3）顧及體系，立意較高2．試題在數(shù)學(xué)能力層面的特點(diǎn)（1）考查思想，突出本質(zhì)（2）低入高出，區(qū)分明顯（3）注重思維，減少計(jì)算（4）能力立意，全面考查（5）文理試題，差異合理（6）穩(wěn)中有進(jìn)，適度創(chuàng)新6.2.2高考幾何問題的基本內(nèi)容隨著高中數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)，平面幾何列入了高中選修課程．寧夏、江蘇、廣東、海南等省在高考中先后出現(xiàn)了平面幾何題．這些試題雖然是選做題，但它卻傳遞了一個(gè)重要信息：高考要考平面幾何，高考復(fù)習(xí)也要復(fù)習(xí)平面幾何．其主要內(nèi)容包括初中平面幾何的內(nèi)容，高中補(bǔ)充的內(nèi)容，如射影定理、平行射影、平面與圓柱面的截線、平面與圓錐面的截線、梯形中位線定理、圓冪定理等．高考立體幾何試題，以基本位置關(guān)系的判定與柱、錐、球的相關(guān)角、距離、體積計(jì)算為基礎(chǔ)題，以證明空間線面的位置關(guān)系和有關(guān)數(shù)量關(guān)系的計(jì)算，諸如空間線面平行、垂直的判定與證明，線面角和距離的計(jì)算.高考命題的載體可能趨向于不規(guī)則幾何體，但仍以“方便建系”為原則.在高考中，立體幾何始終占有重要位置，以中檔題為主，兼有低檔題.高考解析幾何試題，既要考查直線與圓的方程、圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)及圖形等基礎(chǔ)知識(shí)，又要將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，借助方程研究曲線，體現(xiàn)“代數(shù)方法研究幾何問題”的解析幾何的基本思想方法；既綜合性強(qiáng)又有適當(dāng)?shù)碾y度和較好的區(qū)分度.縱觀近年全國各地?cái)?shù)學(xué)高考題，平面解析幾何問題常見的有：選擇題、填空題考查基礎(chǔ)知識(shí)；解答題分為解析幾何中最值和參數(shù)范圍問題；解析幾何中定點(diǎn)、定值和存在性問題；圓錐曲線與向量問題；圓錐曲線的切線及弦長問題；解析幾何交匯問題；求軌跡方程問題等.6.2.3高考幾何問題的基本解法高考幾何試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查.一是數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；二是數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；三是常用數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等.數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之間，可以說，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)“能力”.例1．(四川)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D,D1分別是線段BC,B1C1的中點(diǎn)，P是線段AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，試作出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面DD1A1；（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，求