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文檔簡介
天津市四合莊中學王利萍
中學說課標說教材普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-4坐標系與參數方程
知識樹
說課程標準-曲線的參數方程
1、通過分析拋物運動中時間與運動物體位置的
關系,寫出拋物運動軌跡的參數方程,體會
參數的意義。2、分析圓的幾何性質,選擇適當的參數寫出它
的參數方程。3、會進行參數方程和普通方程的互化。課程目標
說課程標準—曲線的參數方程教學重點:
根據問題的條件引進適當的參數
,寫出參數方程,體會參數的意義。參數方程和普通方程的互化。教學難點:
根據幾何性質選取恰當的參數,建立曲線的參數方程。參數方程和普通方程的等價互化。課程內容說課程標準—曲線的參數方程教學過程:一、參數方程的概念
1.探究:(1)平拋運動:xy500OAv=100m/s課程內容說課程標準—曲線的參數方程
xyOv=v0(2)練習:斜拋運動:課程內容說課程標準-曲線的參數方程
2.參數方程的概念(見教科書第22頁)
說明:(1)一般來說,參數的變化范圍是有限制的。(2)參數是聯(lián)系變量x,y的橋梁,可以有實際意義,也可
無實際意義。
例1.(教科書第22頁例1)已知曲線C的參數方程是(t為參數)(1)判斷點M1(0,1),M2(5,4)與曲線C的位置關系;(2)已知點M3(6,a)在曲線C上,求a的值。課程內容說課程標準—曲線的參數方程
xyO r M M0
x二.圓的參數方程說明:(1)隨著選取的參數不同,參數方程形式也有不同,但表示的
曲線是相同的。(2)在建立曲線的參數方程時,要注明參數及參數的取值范圍。例2.(教科書第24頁例2)思考:你能回答教科書第25頁的思考嗎?課程內容說課程標準—曲線的參數方程
三.課堂練習
(教科書第26頁習題)四.鞏固與反思1.本節(jié)學習的數學知識2.本節(jié)學習的數學方法五.鞏固與提高1.與普通方程xy=1表示相同曲線的參數方程(t為參數)是
(D)
B
CD課程內容A說課程標準—曲線的參數方程A.(2,7)
2.下列哪個點在曲線上(C)B
CD.(1,0)3.曲線的軌跡是(D)
A.一條直線B.一條射線C.一個圓D.一條線段4.方程表示的曲線是(D)A.余弦曲線B.與x軸平行的線段C.直線D.與y軸平行的線段課程內容說教材--所用版本的編寫特點
1.強調背景,展現(xiàn)過程
例如,在回顧平面直角坐標系時,教科書先給出了下面的思考(以下簡稱“聲響定位”):說教材--所用版本的編寫特點
給出這一問題背景,目的是讓學生通過思考和比較后,能選擇建立坐標系,通過坐標法解決問題,進一步體會坐標法思想,為繼續(xù)學習極坐標系、柱坐標系與球坐標系作準備.在介紹極坐標概念前,教科書先給出下面的問題(以下簡稱“校內方位”)讓學生思考:說教材--所用版本的編寫特點
這一思考,能讓學生結合自己熟悉的背景,體會在某些情況下用距離與角度來刻畫點的位置的方便性,為引入極坐標提供思維基礎.在引入參數方程的概念時,教科書提供下面的“探究”。說教材--所用版本的編寫特點
這一探究的目的是讓學生先感受事實:“在建立了坐標系的情況下,離開飛機的救援物資(動點)的坐標(或曲線上的點的坐標)可以用某個變量的函數來表示”,從而使參數方程的引入自然,參數的意義明確.在介紹平擺線時,下面的背景不僅讓學生對平擺線先有一個認識,還為參數的選擇與參數方程的建立提供了準備:從以上例子可以看出,教科書在介紹新知識、新方法時,十分重視知識背景,以恰當的問題引導學生經歷觀察、歸納、概括、推理、交流、反思的思維過程和知識發(fā)生發(fā)展的過程,并通過思考、探究、旁白等方式鼓勵學生積極參與這個過程,培養(yǎng)學生主動思考、自主探索的學習習慣.說教材--所用版本的編寫特點
2.重視思想性
數學知識的積累是數學學習的重要任務,但是提煉數學思想方法,學會數學地思維是數學學習的重中之重.坐標系、曲線的極坐標方程及參數方程是本專題的主要數學知識,而坐標法思想卻是本專題的重要內容.因此,重視思想性就成了本專題的重要特征.
(1)坐標系是數形結合的橋梁,曲線的極坐標方程、參數方程是數形結合的產物,坐標法思想是數形結合思想的重要表現(xiàn)形式.因此,教科書在落實坐標法思想的同時,自然滲透著數形結合思想.
教科書在回顧“平面直角坐標系”時給出了兩個具體問題,一個是來自實際生活的“聲響定位”(P2思考),另一個是數學本身的問題(P4例1):這兩個問題本身都沒有建立坐標系,這樣安排的目的就是為學生體會坐標法思想創(chuàng)造條件.說教材--所用版本的編寫特點
(2)從具體到抽象,從特殊到一般是人們常常采取的認識事物的思維方式,也是一種重
要的數學思想方法,教科書在安排學習內容時特別重視這種思想方法的滲透.例如,從“聲響定位”、“校內方位”到極坐標系的建立,從“圓形體育館座位確定”到建立柱坐標系而得出柱坐標,從“航天器位置的確定”到建立球坐標系而得出球坐標,等等都是基于這種考慮.(3)注重類比思想.在很多內容的處理上,教科書不是把結論直接陳述給學生,而是啟
發(fā)學生用類比的方法進行思考,自行探究并獲取結論.
例如,在學習圓的參數方程后,學生已經知道圓的參數方程中的參數的幾何意
義.在學習橢圓的參數方程時,教科書安排了以下思考:說教材--所用版本的編寫特點
學生在進行上述類比時,首先想到的是橢圓的參數方程中參數的幾何意義與圓的參數方程中參數的幾何意義是一致的,但隨著進一步的探究與學習卻發(fā)現(xiàn)兩個參數的幾何意義不同.教科書安排這樣的“思考”,是為學生正確理解類比思想提供反面例子.
在介紹完橢圓的參數方程后,教科書安排了下面的例子:
在利用橢圓的參數方程解決了上述問題后,教科書給出了下列思考:說教材--所用版本的編寫特點
教科書這樣安排的用意,是希望學生通過例1與線性規(guī)劃問題進行類比,由此體會更多的最優(yōu)化問題,并由此培養(yǎng)學生的問題意識與創(chuàng)新能力.在學習了直線的參數方程后,為了體現(xiàn)參數方程在研究某些問題時的優(yōu)勢,教科書安排了下面的例:在解決上述問題后,教科書接著安排了下面的探究:這樣安排,不僅能使學生體會到參數方程在研究直線與圓錐曲線的位置關系時的優(yōu)勢,還能促使學生重新審視證明過程,用類比的方法發(fā)現(xiàn)證明過程在橢圓改為雙曲線時亦成立,從而獲得更一般的結論.說教材---所用版本的編寫體例
說教材---所用版本的編寫目的
1.突出聯(lián)系性
知識間的聯(lián)系是數學學科的重要特征,學生掌握數學知識的水平與靈活運用數學知識的能力,在很大程度上決定于他的知識的聯(lián)系狀態(tài).
(1)重視與已有知識的聯(lián)系.
本講內容與三角、圓錐曲線等知識的聯(lián)系是密切和自然的,教科書在關注這些聯(lián)系
的同時,特別重視與向量知識及向量方法的聯(lián)系,并以此加強學生對解析方法的全
面認識.說教材---所用版本的編寫目的
又如,在學習了拋物線的參數方程后,教科書安排了以下例題:例如,在推導雙曲線、直線、漸開線的參數方程時,充分利用向量方法,使數量關系清楚明了,推導過程簡潔方便.以下是漸開線的推導過程:說教材---所用版本的編寫目的
教科書在處理上述問題的過程中,不僅利用了拋物線的參數方程,同時利用向量的數量積來處理“垂直”關系,這樣既避免了針對斜率進行分類討論,也簡化了推理過程.在介紹平面直角坐標系中的伸縮變換時,教科書與三角函數圖象的伸縮變換聯(lián)系起來,不僅增加了學生回顧已學知識的機會,解決了認識伸縮變換的平臺問題,而且使學生把更多的注意力放在了觀察圖象上的坐標的伸縮變換上,突出了利用坐標伸縮變換表示圖形伸縮變換的坐標法思想,提升了學生對函數圖象的伸縮變換的認識.說教材選修4-4內容結構本專題分兩講第一講是“坐標系”內容包括:平面直角坐標系、極坐標系、簡單曲線的極坐標方程和柱坐標系與球坐標系簡介第二講是“參數方程”內容包括:曲線的參數方程、圓錐曲線的參數方程、直線的參數方程和漸開線與擺線.本專題是在學習直線與方程、圓與方程以及圓錐曲線與方程的基礎上,對解析幾何內容的進一步深化.說教材-知識與技能的立體整合知識間的聯(lián)系是數學學科的重要特征,學生掌握數學知識的水平與靈活運用數學知識的能力,在很大程度上決定于他的知識的聯(lián)系狀態(tài).
(1)重視與已有知識的聯(lián)系.
本講內容與三角、圓錐曲線等知識的聯(lián)系是密切和自然的,教科書在關注這些聯(lián)系
的同時,特別重視與向量知識及向量方法的聯(lián)系,并以此加強學生對解析方法的全
面認識.說教材-知識與技能的立體整合例如,在推導雙曲線、直線、漸開線的參數方程時,充分利用向量方法,使數量關系清楚明了,推導過程簡潔方便.以下是漸開線的推導過程:又如,在學習了拋物線的參數方程后,教科書安排了以下例題:說教材-知識與技能的立體整合教科書在處理上述問題的過程中,不僅利用了拋物線的參數方程,同時利用向量的數量積來處理“垂直”關系,這樣既避免了針對斜率進行分類討論,也簡化了推理過程.在介紹平面直角坐標系中的伸縮變換時,教科書與三角函數圖象的伸縮變換聯(lián)系起來,不僅增加了學生回顧已學知識的機會,解決了認識伸縮變換的平臺問題,而且使學生把更多的注意力放在了觀察圖象上的坐標的伸縮變換上,突出了利用坐標伸縮變換表示圖形伸縮變換的坐標法思想,提升了學生對函數圖象的伸縮變換的認識.說教材-知識與技能的立體整合(2)重視教科書內部的聯(lián)系.
在回顧“平面直角坐標系”時,教科書安排“聲響定位”問題不僅考慮滲透坐標法
思想,還考慮了為后面極坐標的學習建立聯(lián)系:說教材-知識與技能的立體整合在引入參數方程的概念后,教科書安排了下列習題:上述問題不僅加深學生對參數方程的意義與作用的理解,還與引入參數方程時“投放救災物資”的問題聯(lián)系起來,使學生學會從不同角度觀察處理問題.說教材-知識與技能的立體整合(3)重視數學知識與實際問題的聯(lián)系
將所學數學知識與實際問題聯(lián)系起來,不僅可以讓學生看到數學是有用的,而且可
以激勵學生學習數學的熱情,加強數學應用意識.教科書不僅在正文方面注意給出
實際問題,在例題、習題、探究與閱讀材料等方面均作了安排.在得出直線的參數
方程后,為讓學生進一步理解坐標法思想,了解直線參數方程的應用,教科書聯(lián)系
“臺風”這個實際現(xiàn)象安排了如下的例:說教材-知識與技能的立體整合下面的探究不僅可以使學生將橢圓規(guī)的構造原理與橢圓的參數方程聯(lián)系起來,同時可以激發(fā)學生的應用與創(chuàng)新意識:說建議—說教學建議1.坐標系的教學應著重讓學生理解平面和空間中點的位置都可以用有序數組(坐標)來
刻畫,在不同坐標系中,這些數所體現(xiàn)的幾何含義不同。同一幾何圖形的方程在不同
坐標系中具有不同的形式。因此,選擇適當的坐標系可以使表示圖形的方程具有更方
便的形式。在坐標系的教學中,可以引導學生自己嘗試建立坐標系,說明建立坐標系
的原則,激勵學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維,并通過具體實例說明這樣建立坐標系有哪
些方便之處2.教學中應通過具體例子讓學生體會極坐標的多值性,但是在表示點的極坐標時,如無
特別要求,通常取ρ≥0,0≤θ<2π。極坐標方程與直角坐標方程的互化,主要是極坐標
方程化為直角坐標方程;參數方程與普通方程的互化,主要是參數方程化為普通方程,
并注意參數的取值范圍。3.求曲線的極坐標方程主要包括:特殊位置的直線(如過極點的直線)、圓(過極點或
圓心在極點的圓);求曲線的參數方程主要包括:直線、圓、橢圓和拋物運動軌跡的
參數方程。4.應通過對具體物理現(xiàn)象的分析(如拋物運動的軌跡)引入參數方程,使學生了解參數的作
用。應注意鼓勵學生運用已有的平面向量、三角函數等知識,選擇適當的參數建立曲
線的參數方程。5.可以組織學生成立興趣小組,合作研究擺線的性質,收集擺線應用的實例,了解平擺
線和圓的漸開線的參數方程。可以應用計算機展現(xiàn)心臟線、螺線、玫瑰線、葉形線、
擺線、漸開線等,使學生感受這些曲線的美。說建議—說評價建議1.教學中,要注意突出教學重點,把握教學要求
(1)極坐標系、圓錐曲線與直線的參數方程、坐標法思想、數形結合思想與
參數法是本專題的教學重點。(2)根據《高中數學課程標準》的要求,本專題只介紹了特殊位置的圓、直
線等簡單曲線的極坐標方程,對圓錐曲線的極坐標方程不作要求,極坐
標的多值性不要過多討論,同時,對求出的極坐標方程是曲線的極坐標
方程也不要求證明。(3)便于與信息技術整合的教學內容是這些曲線的參數方程中參
數的幾何意
義的認識。(4)本專題的學習報告不占用上課時間,利用課外時間完成,可以利用網絡
或板報形式進行交流。坐標系的教學應著重讓學生理解平面和空間中點的位置都可以用有序數組(坐標)來刻畫,在不同坐標系中,這些數所體現(xiàn)的幾何含義不同。同一幾何圖形的方程在不同坐標系中具有不同的形式。因此,選擇適當的坐標系可以使表示圖形的方程具有更方便的形式。說建議—說評價建議3.在坐標系的教學中,可以引導學生自己嘗試建立坐標系,說明
建立坐標系的原則,激勵學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維,并通具
體實例說明這樣建立坐標系有哪些方便之處。應通過對具體現(xiàn)象的分析(如拋物線運動的軌跡)引入參數方
程,是學生了解多數的作用。應注意鼓勵學生運用已有的平面向量、三角函數等知識,選擇適當的參數建立曲線的參數方程??山M織學生成立興趣小組,合作研究擺線的性質,收集擺線應用的實例。7.可以應用計算機展現(xiàn)心脹線、螺線、玫瑰線、葉形線、擺線、漸開線等,使學生感受這些曲線的美。
說建議—說課程資源的利用與開發(fā)建議1.創(chuàng)設問題情景,啟發(fā)學生思維,體會數學過程,改進學習方式.
在進行具體內容的教學時應重視問題情景,其目的不僅是為了介入數學知識,更重要的是使學生體會數學知識的發(fā)生與發(fā)展的過程,解決學生認知上的困難,啟發(fā)學生的思維,改進學生學習的方式.例如,在進行坐標系的教學時,無論是極坐標系,還是柱坐標系、球坐標系,都應該用好引入坐標系前設置的問題情景,使學生通過具體問題看到引入新坐標系的必要,體會新坐標系的不同作用,解決新坐標系引入時的難點,豐富對坐標系的整體認識.又如,在進行雙曲線的參數方程的教學時,可以利用信息技術工具(如《幾何畫板》)創(chuàng)設雙曲線的形成過程:當學生在觀察雙曲線形成過程時,教師可以啟發(fā)學生思考哪一個變量能確定雙曲線上的動點的變化?在這樣的問題情景中,學生不僅能通過積極思維找到參數,發(fā)現(xiàn)參數的幾何意義,更重要的是學生的學習方式發(fā)生了變化,同時經歷了建立雙曲線的參數方程的整個過程.說建議—說課程資源的利用與開發(fā)建議2.充分重視數學知識的聯(lián)系性,使教學過程既成為學生學習新知
識的過程,同時也成為已學知識的提升過程.
本專題的知識與三
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