立體幾何證明題課件

1.1.2.2.3.3.4.4.O5.O5.例2、如圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2：1，問(wèn)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論；MFO6.例2、如圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,點(diǎn)E在PD7.7.8.8.證明過(guò)程分析：a⊥POPA⊥

a

AO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aA

aOP三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。結(jié)論匯總1：板書(shū)證明過(guò)程9.證明過(guò)程分析：a⊥POPA⊥AO⊥aa⊥平面PAOPO平A

aOP結(jié)論匯總2：三垂線定理基本圖形的特點(diǎn)分析1:一面2:四線3:三垂直線面垂直線射垂直線斜垂直探究問(wèn)題4：三垂線定理的圖形有哪些特點(diǎn)？（構(gòu)成元素、三垂的解釋）10.AaOP結(jié)論匯總2：三垂線定理基本圖形的特點(diǎn)分析1:一面2PCBA例1已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點(diǎn)

PA⊥平面ABC

∴AC是斜線PC在平面ABC上的射影∵BC

平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BC結(jié)論應(yīng)用：11.PCBA例1已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥平面線射垂直線斜垂直P(pán)AOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？12.線射垂直線斜垂直P(pán)AOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面

的垂線和斜線，AO是PO在平面

的射影,a

,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理13.在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一PAO14.14.例1已知：正方體中，AC是面對(duì)角線，BD'是與AC異面的體對(duì)角線.求證：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′15.例1已知：正方體中，AC是面對(duì)角線，BD'是與16.16.17.17.【變式練習(xí)1】如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點(diǎn)，沿EF將△AEF折起到△A1EF的位置，連結(jié)A1B，A1C.求證：(1)EF⊥平面A1EC；(2)AA1⊥平面A1BC.18.【變式練習(xí)1】18.19.19.20.20.21.21.用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直

22.用線面垂直的性質(zhì)22.【證明】如圖，∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1.而AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AM.連結(jié)A1C.可以證明Rt△ACM∽R(shí)t△AA1C，所以AM⊥A1C.而A1C∩BC＝C，所以AM⊥平面A1BC，所以A1B⊥AM.23.【證明】如圖，∠ACB＝90°，23.空間角的計(jì)算一找——二證——三求解24.空間角的計(jì)算一找——二證——三求解24.25.25.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直線A1B與直線CD所成角；(2)求直線A1B和直線B1C所成角（3）求直線A1O和直線AD1所成的角.（4）求直線A1C和直線AD所成的角的余弦值D1ABA1CB1C1DO26.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.D1直線與平面所成的角27.直線與平面所成的角27.線面角相關(guān)概念αP斜線PA與平面

所成的角為PABl平面的斜線A斜足A斜線PA在平面內(nèi)的射影垂足BB平面的垂線28.線面角相關(guān)概念αP斜線PA與平面所成的角為PABl平面的1.斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的射影所成的角2.平面的垂線與平面所成的角為直角3.一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，則這條直線與平面所成的角的00角一條直線與平面所成的角的取值范圍是29.1.斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的射影所成的角2.30.30.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直線A1B和平面ABCD所成的角；(2)求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.（3）求直線A10和平面ABCD所成的角.D1ABA1CB1C1DO31.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.D1例2如圖，AB為平面

的一條斜線，B為斜足，AO⊥平面

，垂足為O，直線BC在平面

內(nèi)，已知∠ABC=60°，

OBC=45°，求斜線AB和平面α所成的角.ABCOαD32.例2如圖，AB為平面的一條斜線，B為斜足，A33.33.34.34.一、二面角的定義及二面角的平面角平面的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做一個(gè)半平面。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。（1）半平面——（2）二面角——lαβι35.一、二面角的定義及二面角的平面角平面的一條直線把平面分為兩αβBOAa(3)二面角畫(huà)法——如下圖l36.αβBOAa(3)二面角畫(huà)法——如下圖l36.l

AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD5（4）二面角的記法——“面1—棱—面2”37.lAB二面角－AB－l二面角－l－

上述變化過(guò)程中圖形在變化，形成的“角度”的大小如何來(lái)確定？38.上述變化過(guò)程中圖形在變化，形成的“角度”的大小αβB。OA(5)二面角的平面角——垂直于二面角的棱的任一平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角叫做二面角的平面角。從二面角的棱上任一點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。①二面角的平面角與點(diǎn)（或垂直平面）的位置無(wú)任何關(guān)系，只與二面角的張角大小有關(guān)。αβB。OAB1。O1A1②二面角就是用它的平面角來(lái)度量的。一個(gè)二面角的平面角多大，我們就說(shuō)個(gè)二面角是多少度的二面角。（注）39.αβB。OA(5)二面角的平面角——垂直于二面角的棱注意二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)

lOAB

AOB40.注意二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1(6)二面角的范圍：[0。,180。]（7）直二面角——平面角為直角的二面角叫做直二面角OAB41.(6)二面角的范圍：[0。,180。]（7）直二面角——平面二面角的平面角:

ABP

l二面角的平面角必須滿足：3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)二面角的平面角的范圍:0

180

二面角的大小用它的平面角的大小來(lái)度量以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。A1B1P1注意:(與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān))∠APB=∠A1P1B142.二面角的平面角:ABP一、幾何法：找出平面角，求解三角形1、定義法:以二面角的棱a上任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA,OB，則∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB在一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)A向另一平面作垂線AB，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連結(jié)AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法:過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。aABCO2、三垂線法:ABOa43.一、幾何法：找出平面角，求解三角形1、定義法:以二面角的棱a例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）找出二面角A1-BD-A；(2)找出二面角A1-BD-B1；.（3）E是BB1的中點(diǎn)，找出平面A1DE與平面ABCD所成銳角D1ABA1CB1C1DE44.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.D1PABCD過(guò)E作ED⊥PC于D，則∠BDE就是此二面角的平面角。連結(jié)BD，過(guò)B作BE⊥AC于E，E

∵△ABC為正△，∴BE=在Rt△PAC中，E為AC中點(diǎn)，則DE=在Rt△DEB中tan∠BDE=∴∠BDE=arctan例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。三垂線法:45.PABCD過(guò)E作ED⊥PC于D，則∠BDE就是此二面角練習(xí)3：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大小；（2）求二面角A-PC-B的大小。PABCDE若△ABC是△PBC在平面ABC的投影，則二面角θ滿足：46.練習(xí)3：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，A47.47.求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補(bǔ)求出二面角的大小。

mn如圖：二面角的大小等于-<m,n>2、平面法向量法:48.求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面2、平面法向量法:求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補(bǔ)求出二面角的大小。mnαβ如圖：二面角的大小等于<m,n>49.2、平面法向量法:求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的例4:在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，

AD=

SA=AB=BC=1，求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值大小.xyz解：以A為原點(diǎn)，如圖