廣西壯族自治區(qū)百色市廣西田陽高中2024屆高一數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

廣西壯族自治區(qū)百色市廣西田陽高中2024屆高一數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義：對于一個定義域為的函數(shù)，若存在兩條距離為的直線和，使得時，恒有，則稱在內有一個寬度為的通道．下列函數(shù)：①；②；③；④.其中有一個寬度為2的通道的函數(shù)的序號為A.①② B.②③C.②④ D.②③④2．計算器是如何計算，，，，等函數(shù)值的？計算器使用的是數(shù)值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù)，通過計算多項式的值求出原函數(shù)的值，如，，，其中.英國數(shù)學家泰勒(B.Taylor，1685-1731)發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出的和的值也就越精確.運用上述思想，可得到的近似值為（）A.0.50 B.0.52C.0.54 D.0.563．直線的傾斜角是A. B.C. D.4．設集合，則（）A.（1，2] B.[3，＋∞）C.（﹣∞，1]∪（2，＋∞） D.（﹣∞，1]∪[3，＋∞）5．設，則（）A.3 B.2C.1 D.-16．若，則A. B.C.1 D.7．已知函數(shù)與的圖象關于軸對稱，當函數(shù)和在區(qū)間同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”.若區(qū)間為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.8．甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次，每次打靶的情況如圖所示（虛線為甲的折線圖），則以下說法錯誤的是A.甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數(shù)相等B.甲的環(huán)數(shù)的中位數(shù)比乙的大C.甲的環(huán)數(shù)的眾數(shù)比乙的大D.甲打靶的成績比乙的更穩(wěn)定9．中國宋代的數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（）A.6 B.C.12 D.10．要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是__________12．經(jīng)過原點并且與直線相切于點的圓的標準方程是__________13．《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=（弦矢+）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長等于9m的弧田.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田的面積是________.14．已知函數(shù)(，，)的部分圖象如圖，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為______.15．當時，函數(shù)取得最大值，則___________.16．已知，若，則實數(shù)的取值范圍為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線：，直線：.（1）若，求與的距離；（2）若，求與的交點的坐標.18．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調增區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上值域19．計算下列各式：（1）；（2）20．已知函數(shù)圖象的一個最高點和最低點的坐標分別為和（1）求的解析式；（2）若存在，滿足，求m的取值范圍21．已知集合為非空數(shù)集，定義，.（1）若集合，直接寫出集合及；（2）若集合，，且，求證；（3）若集，且，求集合中元素的個數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】②③可由作圖所得，④作圖可知有一個寬度為1的通道，由定義可知比1大的通道都存在.2、C【解題分析】根據(jù)新定義，直接計算取近似值即可.【題目詳解】由題意，故選：C3、B【解題分析】，斜率為，故傾斜角為.4、C【解題分析】由題意分別計算出集合的補集和集合，然后計算出結果.【題目詳解】解：∵A＝（1，3），∴＝（﹣∞，1]∪[3，＋∞），∵，∴x﹣2＞0，∴x＞2，∴B＝（2，＋∞），∴（﹣∞，1]∪（2，＋∞），故選：C5、B【解題分析】直接利用誘導公式化簡，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系代入計算可得；【題目詳解】解：因為，所以；故選：B6、A【解題分析】由，得或，所以，故選A【考點】同角三角函數(shù)間的基本關系，倍角公式【方法點撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉化，通過相消或相約消去非特殊角，進而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關鍵是目標明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系7、C【解題分析】若區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2x﹣t|的“不動區(qū)間”，則函數(shù)f（x）=|2x﹣t|和函數(shù)F（x）=|﹣t|在[1，2]上單調性相同，則（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，進而得到答案【題目詳解】∵函數(shù)y=f（x）與y=F（x）的圖象關于y軸對稱，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2x﹣t|的“不動區(qū)間”，∴函數(shù)f（x）=|2x﹣t|和函數(shù)F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上單調性相同，∵y=2x﹣t和函數(shù)y=2﹣x﹣t的單調性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故答案為：C【題目點撥】（1）本題主要考查不動點定義及利用定義解答數(shù)學問題的能力，考查指數(shù)函數(shù)的圖像和性質，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)正確理解不動區(qū)間的定義，得到（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，是解答的關鍵8、C【解題分析】甲：8,6,8,6,9,8，平均數(shù)為7.5，中位數(shù)為8，眾數(shù)為8；乙：4,6,8,7,10,10，平均數(shù)為7.5，中位數(shù)7.5，眾數(shù)為10；所以可知錯誤的是C．由折線圖可看出乙的波動比甲大，所以甲更穩(wěn)定.故選C9、B【解題分析】根據(jù)海倫秦九韶公式和基本不等式直接計算即可.【題目詳解】由題意得：，，當且僅當，即時取等號，故選：B10、B【解題分析】直接利用三角函數(shù)的平移變換求解.【題目詳解】因函數(shù)y＝cos，所以要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象向左平移個單位長度，故選：B【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象的平移變換，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】，是的子集，故.【題目點撥】本題主要考查集合的研究對象和交集的概念，考查指數(shù)不等式的求解方法，考查二次函數(shù)的值域等知識.對于一個集合，首先要確定其研究對象是什么元素，是定義域還是值域，是點還是其它的元素.二次函數(shù)的值域主要由開口方向和對稱軸來確定.在解指數(shù)或對數(shù)不等式時，要注意底數(shù)對單調性的影響.12、【解題分析】設圓心坐標，則，，，根據(jù)這三個方程組可以計算得：，所以所求方程為：點睛：設出圓心與半徑，根據(jù)題意列出方程組，解出圓心和半徑即可13、.【解題分析】如下圖所示，在中，求出半徑，即可求出結論.【題目詳解】設弧田的圓心為，弦為，為中點，連交弧為，則，所以矢長為，在中，，，所以，，所以弧田的面積為.故答案為：.【題目點撥】本題以數(shù)學文化為背景，考查直角三角形的邊角關系，認真審題是解題的關鍵，屬于基礎題.14、【解題分析】由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的周期，同時根據(jù)圖象的性質求得一個單調增區(qū)間，然后利用周期性即可寫出所有的增區(qū)間.【題目詳解】由圖可知函數(shù)f(x)的最小正周期.如圖所示，一個周期內的最低點和最高點分別記作，分別作在軸上的射影，記作,根據(jù)的對稱性可得的橫坐標分別為,∴是函數(shù)f(x)的一個單調增區(qū)間，∴函數(shù)的單調增區(qū)間是,故答案為：,【題目點撥】本題關鍵在于掌握函數(shù)圖象的對稱性和周期性.一般往往先從函數(shù)的圖象確定函數(shù)中的各個參數(shù)的值，再利用函數(shù)的解析式和正弦函數(shù)的性質求得單調區(qū)間，但是直接由圖象得到函數(shù)的周期，并根據(jù)函數(shù)的圖象的性質求得一個單調增區(qū)間，進而寫出所有的增區(qū)間，更為簡潔.15、##【解題分析】由輔助角公式，正弦函數(shù)的性質求出，，再根據(jù)兩角和的正切和公式，誘導公式求.【題目詳解】（其中，），當時，函數(shù)取得最大值∴，，即，，所以，.故答案為：.16、【解題分析】求出a的范圍，利用指數(shù)函數(shù)的性質轉化不等式為對數(shù)不等式，求解即可【題目詳解】由loga0得0＜a＜1．由得a﹣1，∴≤﹣1=，解得0<x≤，故答案為【題目點撥】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調性的應用，對數(shù)不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解題分析】分析：（1）先根據(jù)求出k的值，再利用平行線間的距離公式求與的距離.(2)先根據(jù)求出k的值，再解方程組得與的交點的坐標.詳解：（1）若，則由，即，解得或.當時，直線：，直線：，兩直線重合，不符合，故舍去；當時，直線：，直線：，所以.（2）若，則由，得.所以兩直線方程為：，：，聯(lián)立方程組，解得，所以與的交點的坐標為.點睛：（1）本題主要考查直線的位置關系和距離的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2)直線與直線平行，則且兩直線不重合.直線與直線垂直，則.18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】（1）根據(jù)二倍角公式和誘導公式，結合輔助角公式可求得解析式，從而利用周期公式可求得周期；（2）利用整體代換即可求單調增區(qū)間；（3）由得，從而可得的取值范圍.【題目詳解】（1），所以最小正周期（2）由，得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.（3）由得，則，所以19、（1）-37（2）0【解題分析】（1）利用對數(shù)的性質以及有理數(shù)指數(shù)冪的性質，算出結果；（2）利用誘導公式算出三角函數(shù)值試題解析：（1）原式；（2），，所以原式20、(1),(2)【解題分析】（1）根據(jù)題意得到，所以，再代入數(shù)據(jù)計算得到，，得到答案.（2）因為，所以得到，得到計算得到答案.【題目詳解】（1）由題意得，則.又，則，因，所以.,，因為的圖象經(jīng)過點，所以,所以，，因為，所以故（2）因為，所以從而,，因為，所以要使得存在滿足，則，解得．故m的取值范圍為【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的解析式，存在問題，計算函數(shù)的值域是解題的關鍵.21、（1），；（2）證明見解析；（3）1347.【解題分析】（1）根據(jù)題目定義，直接得到集合A+及A﹣；（2）根據(jù)兩集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的關系；（3）通過假設A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相應的A+及A﹣，通過A+∩A﹣＝?建立不等關系