兩年(22-23)高考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編專題九 立體幾何與空間向量（教師版）

專題九立體幾何與空間向量真題卷題號考點(diǎn)考向2023新課標(biāo)1卷12基本的立體圖形正方體、球體、四面體、圓柱體的結(jié)構(gòu)特征14簡單幾何體的表面積與體積求四棱臺的體積18空間直線、平面的垂直、二面角線線平行的判定、已知二面角確定動點(diǎn)位置2023新課標(biāo)2卷9基本的立體圖形、二面角圓錐的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的表面積與體積、二面角的定義14簡單幾何體的表面積與體積求四棱臺的體積20空間直線、平面的垂直、二面角異面垂直的判定、求二面角2022新高考1卷4簡單幾何體的表面積與體積求棱臺的體積8簡單幾何體的表面積與體積、外接球求棱錐的體積、球的切接問題9空間角求異面直線成角、線面角19空間中的距離、空間角求點(diǎn)到平面的距離、求二面角2022新高考2卷7簡單幾何體的表面積與體積求外接球的表面積11簡單幾何體的表面積與體積求三棱錐的體積20空間直線、平面的平行、空間角線面平行的判定、求二面角2021新高考1卷3基本的立體圖形求圓錐的母線長12基本的立體圖形幾何體中的動點(diǎn)問題（動點(diǎn)軌跡、三棱錐的體積、線線垂直的判定、線面垂直的判定）20空間直線、平面的垂直、簡單幾何體的表面積與體積線線垂直的判定、求三棱錐的體積2021新高考2卷4簡單幾何體的表面積與體積求球的表面積5簡單幾何體的表面積與體積求正四棱臺的體積10空間直線、平面的垂直線線垂直的判定19空間直線、平面的垂直、空間角面面垂直的判定、求二面角2020新高考1卷4空間角求線面角16基本的立體圖形球的截面問題20空間直線、平面的垂直、空間角線面垂直的判定、求線面角正弦值的最值2020新高考2卷13簡單幾何體的表面積與體積求三棱錐的體積20空間直線、平面的垂直、空間角線面垂直的判定、求線面角【2023年真題】1.（2023·新課標(biāo)I卷第12題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為SKIPIF1<0單位：SKIPIF1<0的正方體容器SKIPIF1<0容器壁厚度忽略不計SKIPIF1<0內(nèi)的有(

)A.直徑為SKIPIF1<0的球體

B.所有棱長均為SKIPIF1<0的四面體

C.底面直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體

D.底面直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查正方體內(nèi)接其它幾何體的問題，屬于綜合題.由正方體、球體、四面體、圓柱體的結(jié)構(gòu)特征和棱長、直徑的大小關(guān)系，逐個分析選項(xiàng)可得解.【解答】解：選項(xiàng)A，正方體的內(nèi)切球直徑為SKIPIF1<0，故A正確SKIPIF1<0選項(xiàng)B，連接正方體的六個面對角線，可以得到一個正四面體，即正方體的內(nèi)接正四面題的棱長為SKIPIF1<0，故B正確SKIPIF1<0對于C，D，假設(shè)放入最大的圓柱AB，A，B分別為圓柱下、上底面的圓心，設(shè)圓柱底面半徑為r，正方體體對角線為CD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)r取定時，圓柱的高SKIPIF1<0對于C，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故C錯．對于D，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故D正確．故選：SKIPIF1<02.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第9題）（多選）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，SKIPIF1<0，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則(

)A.該圓錐的體積為SKIPIF1<0 B.該圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0

C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0【答案】AC

【解析】【分析】本題考查求圓錐的體積與側(cè)面積，及圓錐中的其他量，屬于基礎(chǔ)題.A，B選項(xiàng)，通過解SKIPIF1<0，求出圓錐的高PO與底面直徑AB，從而求出體積與側(cè)面積；C，D選項(xiàng)，利用SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，解三角形求出SKIPIF1<0的長，進(jìn)一步求出SKIPIF1<0的面積.【解答】解：對于A：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故圓錐的體積SKIPIF1<0，故A正確；對于B：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的半徑為2，弧長為SKIPIF1<0，故圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C：取AC中點(diǎn)D，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C正確；對于D：SKIPIF1<0，故D正確.故選SKIPIF1<03.（2023·新課標(biāo)I卷第14題）在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該棱臺的體積為__________【答案】SKIPIF1<0

【解析】【分析】本題考查正四棱臺的體積，屬于中檔題．可將正四棱臺補(bǔ)成正四棱錐，然后分析求解即可．【解答】解：如圖，

將正四棱臺SKIPIF1<0補(bǔ)成正四棱錐，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<04.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第14題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為__________【答案】28

【解析】【分析】本題主要考查棱臺的體積，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意正四棱錐被截后剩余部分為正四棱臺，直接計算即可求解．【解答】解：由題意可得四棱臺的高為3，上底面面積為SKIPIF1<0，下底面面積為SKIPIF1<0，故正四棱臺的體積SKIPIF1<0所得棱臺的體積為SKIPIF1<05.（2023·新課標(biāo)I卷第18題）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0點(diǎn)P在棱SKIPIF1<0上，當(dāng)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0

【答案】證明：SKIPIF1<0如圖，作SKIPIF1<0于點(diǎn)E，SKIPIF1<0于點(diǎn)F，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，從而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，從而SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，得證.

SKIPIF1<0如圖，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BC、BA、SKIPIF1<0分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為，則，即，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為，則，即，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，，解得SKIPIF1<0或3，則SKIPIF1<0【解析】本題考查了立體幾何中線線平行的判定、二面角等知識，屬于中檔題.SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)E，SKIPIF1<0于點(diǎn)F，構(gòu)造兩個平行四邊形，根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行，即可證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，分別求出平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，由二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，可知，解出t的值，進(jìn)而求得SKIPIF1<06.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第20題）如圖三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BC的中點(diǎn).SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)F滿足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.

【答案】解：SKIPIF1<0連接AE，DE，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ADE，SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面BCD，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)二面角SKIPIF1<0平面角為SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】本題考查了線面垂直的性質(zhì)、二面角的求解，是中檔題.SKIPIF1<0先判定線面垂直，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理得結(jié)論；SKIPIF1<0建立空間直角坐標(biāo)系，得出平面DAB的法向量和平面ABF的法向量，由空間向量求解可得結(jié)論.【2022年真題】7.（2022·新高考I卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔SKIPIF1<0時，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0水位為海拔SKIPIF1<0時，相應(yīng)水面的面積為SKIPIF1<0將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔SKIPIF1<0上升到SKIPIF1<0時，增加的水量約為SKIPIF1<0(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C

【解析】【分析】本題考查了棱臺的體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

讀懂題意，結(jié)合棱臺的體積公式即可求解.【解答】解：依據(jù)棱臺的體積公式

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<08.（2022·新高考I卷第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一個球面上，若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C

【解析】【分析】本題考查了球的切接問題，涉及棱錐的體積、球的體積、導(dǎo)數(shù)等知識，屬較難題.有正四棱錐的外接球的性質(zhì)，可得SKIPIF1<0，利用求導(dǎo)求最值，即可解答.

【解答】解：方法SKIPIF1<0設(shè)正四棱錐SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，底面邊長為a，球心為O，由已知易得球半徑為SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0，

故所以SKIPIF1<0，求導(dǎo)SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

故該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0

方法SKIPIF1<0

由方法SKIPIF1<0中知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求導(dǎo)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<09.（2022·新高考II卷第7題）已知正三棱臺的高為1，上下底面的邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查了正三棱臺和外接球的關(guān)系應(yīng)用，球體表面積公式的應(yīng)用.【解答】解：由題意易得上底面所在平面截球面所得圓的半徑為3，下底面所在平面截球面所得圓的半徑為4，設(shè)該球的半徑為R，當(dāng)正三棱臺的上、下底面在球心異側(cè)時，有SKIPIF1<0，無解；所以正三棱臺的上、下底面在球心同側(cè)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此該球的表面積為SKIPIF1<010.（2022·新高考I卷第9題）（多選）已知正方體SKIPIF1<0，則(

)A.直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0

B.直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0

C.直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0

D.直線SKIPIF1<0與平面ABCD所成的角為SKIPIF1<0【答案】ABD

【解析】【分析】本題主要考查直線與直線所成角及直線與平面所成角，屬于中檔題.

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征對各個選項(xiàng)逐一判斷分析，即可得解.【解答】解：如圖，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確;

對于選項(xiàng)SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

所以直線SKIPIF1<0，故B正確;

對于選項(xiàng)SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0即為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，

SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯誤;

對于選項(xiàng)SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與平面ABCD所成的角即為SKIPIF1<0，所以D正確.11.（2022·新高考II卷第11題）（多選）如圖，四邊形ABCD為正方形，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的體積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則(

)

A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】CD

【解析】【分析】本題主要考查三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題.【解答】解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0連結(jié)BD交AC于M，連結(jié)EM、FM，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<012.（2022·新高考I卷第19題）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為4，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0

SKIPIF1<0求A到平面SKIPIF1<0的距離;

SKIPIF1<0設(shè)D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.

【答案】解：SKIPIF1<0設(shè)A到平面SKIPIF1<0的距離為d，

因?yàn)橹比庵鵖KIPIF1<0的體積為4，即可得SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，

解得SKIPIF1<0，所以A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0，因?yàn)橹比庵鵖KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，

故四邊形SKIPIF1<0為正方形，即SKIPIF1<0，

又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，

故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0三條直線兩兩垂直，

故如圖可以以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

由條件可得，解得，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

設(shè)平面ABD的一個法向量為SKIPIF1<0，

，取SKIPIF1<0，

同理可求得平面BCD的一個法向量為SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，

所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0

【解析】本題考查了平面與平面所成角的空間向量求法、點(diǎn)到面的距離的幾何求法、幾何體的體積公式，考查了空間中的垂直關(guān)系的證明與應(yīng)用，屬于中檔題.

SKIPIF1<0利用等體積法以及三棱錐的體積公式即可求解.

SKIPIF1<0根據(jù)題干首先證明SKIPIF1<0三條直線兩兩垂直，且SKIPIF1<0，建立直角坐標(biāo)系，求出平面ABD的一個法向量和平面BCD的一個法向量，利用向量法即可求出二面角SKIPIF1<0的正弦值.13.（2022·新高考II卷題20題）如圖，PO是三棱錐SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是PB的中點(diǎn).

SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0正弦值.【答案】解：SKIPIF1<0法一：連接OA、OB，

因?yàn)镻O是三棱錐SKIPIF1<0的高，所以SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

作AB中點(diǎn)D，連接OD、DE，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

又因?yàn)镾KIPIF1<0平面PAC，SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0平面PAC，

又D、E分別為AB、PB的中點(diǎn)，所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0

又因?yàn)镾KIPIF1<0平面PAC，SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0平面PAC，

又OD、SKIPIF1<0平面ODE，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面PAC，

又SKIPIF1<0平面ODE，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

法二：SKIPIF1<0連接OA、OB，

因?yàn)镻O是三棱錐SKIPIF1<0的高，所以SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，O為BF中點(diǎn)，

延長BO，交AC于F，連接PF，

所以在SKIPIF1<0中，O、E分別為BF、PB的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0平面PAC，SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0法一：過點(diǎn)D作SKIPIF1<0，以DB為x軸，DO為y軸，DF為z軸.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

平面AEB的法向量設(shè)為SKIPIF1<0，直線AB的方向向量可設(shè)為SKIPIF1<0，

直線SKIPIF1<0平面AEB，直線DP的方向向量為SKIPIF1<0

，所以，

所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0

平面AEC的法向量設(shè)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，所以，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0

法二：SKIPIF1<0過點(diǎn)A作SKIPIF1<0，以AB為x軸，AC為y軸，AF為z軸

建立所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

平面AEB的法向量設(shè)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，所以，所以SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0

平面AEC的法向量設(shè)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，所以，

所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

所以二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0

【解析】本題考查線面平行與二面角的求解，考查學(xué)生的空間想象與計算能力，有一定的難度.

【2021年真題】14.（2021·新高考I卷第3題）已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為(

)A.2 B.SKIPIF1<0 C.4 D.SKIPIF1<0【答案】B

【解析】【分析】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖，屬于基礎(chǔ)題.設(shè)圓錐母線長為l，求出圓錐的底面周長，即為展開圖半圓的弧長，計算可得答案.【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為l，因?yàn)閳A錐的底面半徑為SKIPIF1<0，所以底面圓周長為SKIPIF1<0，由展開圖可知半圓的弧長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<015.（2021·新高考II卷第4題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為SKIPIF1<0軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離SKIPIF1<0將地球看作是一個球心為O，半徑r為SKIPIF1<0的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0單位：SKIPIF1<0，則S占地球表面積的百分比約為(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C

【解析】【分析】本題考查球的表面積，考查直線與平面所成的角，屬于中檔題.

由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.【解答】解：如圖所示：

由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

故選SKIPIF1<016.（2021·新高考II卷第5題）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D

【解析】【分析】本題考查了棱臺的結(jié)構(gòu)特征與體積的求法.

由正四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【解答】解：作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖所示，因?yàn)樵撜睦馀_上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高SKIPIF1<0，下底面面積SKIPIF1<0，上底面面積SKIPIF1<0，所以該棱臺的體積SKIPIF1<0

SKIPIF1<0故選：SKIPIF1<017.（2021·新高考I卷第12題）（多選）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則(

)A.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的周長為定值

B.當(dāng)SKIPIF1<0時，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值

C.當(dāng)SKIPIF1<0時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0

D.當(dāng)SKIPIF1<0時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD

【解析】【分析】本題考查了動點(diǎn)軌跡，線面平行與線面垂直的判定，錐體的體積問題等，綜合性強(qiáng)，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于拔高題．

判斷當(dāng)SKIPIF1<0時，點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，分別計算點(diǎn)P為兩個特殊點(diǎn)時的周長，即可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)SKIPIF1<0時，點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，利用線面平行的性質(zhì)以及錐體的體積公式，即可判斷選項(xiàng)B；當(dāng)SKIPIF1<0時，取線段BC，SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為M，SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，則點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，分別取點(diǎn)P在SKIPIF1<0，M處，得到均滿足SKIPIF1<0，即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)SKIPIF1<0時，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)D，則點(diǎn)P在線的SKIPIF1<0上，證明當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，利用過定點(diǎn)A與定直線SKIPIF1<0垂直的平面有且只有一個，即可判斷選項(xiàng)SKIPIF1<0【解答】解：對于A，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，

故點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，此時SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，

當(dāng)點(diǎn)P為SKIPIF1<0的中點(diǎn)時，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，

故周長不為定值，故選項(xiàng)A錯誤；

對于B，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，

故點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，

因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

所以直線SKIPIF1<0上的點(diǎn)到平面SKIPIF1<0的距離相等，

又SKIPIF1<0的面積為定值，

所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值，故選項(xiàng)B正確；

對于C，當(dāng)SKIPIF1<0時，取線段BC，SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為M，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，

則點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，

當(dāng)點(diǎn)P在SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

同理，當(dāng)點(diǎn)P在M處，SKIPIF1<0，故選項(xiàng)C錯誤；

對于D，當(dāng)SKIPIF1<0時，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)D，

因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

則點(diǎn)P在線的SKIPIF1<0上，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)SKIPIF1<0處時，取AC的中點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，BE，

因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，BE，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

在正方體形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

因?yàn)檫^定點(diǎn)A與定直線SKIPIF1<0垂直的平面有且只有一個，

故有且僅有一個點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D正確．

故選：SKIPIF1<018.（2021·新高考II卷第10題）（多選）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足SKIPIF1<0的是(

)A. B.

C. D.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查了空間中兩直線的位置關(guān)系以及垂直的判定，考查了數(shù)形結(jié)合思想和直觀想象能力，屬于中檔題.

根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【解答】解：設(shè)正方體的棱長為2，對于A，如圖SKIPIF1<0所示，連接AC，易知SKIPIF1<0，且MN、AC、OP在同一平面內(nèi)，由圖可知直線OP與AC相交且不垂直，故SKIPIF1<0不成立，故A錯誤.對于B，如圖SKIPIF1<0所示，取MT的中點(diǎn)為Q，連接PQ，OQ，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正方體SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面MADT，而SKIPIF1<0平面MADT，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SM，SKIPIF1<0平面SNTM，故SKIPIF1<0平面SNTM，又SKIPIF1<0平面SNTM，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面OPQ，而SKIPIF1<0平面OPQ，故SKIPIF1<0，故B正確.對于C，如圖SKIPIF1<0，連接BD，則SKIPIF1<0，由B的判斷可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C正確.對于D，如圖SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)G，連接PG，OG，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，

根據(jù)三角形的性質(zhì)可知PO與PG不垂直，故PO與MN不垂直，故D錯誤.故選SKIPIF1<019.（2021·新高考I卷第20題）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，O為BD的中點(diǎn).

SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積.

【答案】SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以BD為底的等腰三角形，又SKIPIF1<0為BD的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面BCD，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABD，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0SKIPIF1<0解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD為y軸，OA為z軸，垂直O(jiān)D且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

SKIPIF1<0是邊長為1的等邊三角形，，，，不妨設(shè)，SKIPIF1<0點(diǎn)E在棱AD上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，，設(shè)向量為平面BCE的法向量，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即顯然是平面BCD的法向量，SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，，即，解得SKIPIF1<0舍去SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】本題考查立體幾何的面面垂直的性質(zhì)，二面角余弦值的求法，三棱錐的體積.SKIPIF1<0先證明SKIPIF1<0平面BCD，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明.SKIPIF1<0先建系，利用已知二面角的角度求出三棱錐的高度，即可求解體積.20.（2021·新高考II卷第19題）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是正方形，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0證明：平面SKIPIF1<0平面ABCD；SKIPIF1<0求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．【答案】解：SKIPIF1<0證明：取AD的中點(diǎn)為O，連接SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為直角三角形且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，OC、SKIPIF1<0平面ABCD，故SKIPIF1<0平面ABCD，因?yàn)镾KIPIF1<0平面QAD，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0在平面ABCD內(nèi)，過O作SKIPIF1<0，交BC于T，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0中的SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，

故可以O(shè)T為x軸，以O(shè)D為y軸，以O(shè)Q為z軸，建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，故SKIPIF1<0設(shè)平面QBD的一個法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0而平面QAD的法向量為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0又二面角SKIPIF1<0的平面角為銳角，故其余弦值為SKIPIF1<0【解析】本題考查了面面垂直的判定和運(yùn)用空間向量求解二面角的問題，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

SKIPIF1<0取AD的中點(diǎn)為O，連接SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0平面ABCD，從而得到平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0在平面ABCD內(nèi)，過O作SKIPIF1<0，交BC于T，則SKIPIF1<0，以O(shè)T為x軸，以O(shè)D為y軸，以O(shè)Q為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.【2020年真題】21.（2020·新高考I卷第4題、II卷第4題）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球SKIPIF1<0球心記為SKIPIF1<0，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面．在點(diǎn)A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯SKIPIF1<0，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為(

)SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0

C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B

【解析】【分析】本題是立體幾何在生活中的運(yùn)用，考查空間線面角的定義和求法，屬于中檔題．

由緯度的定義和線面角的定義，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，可得晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角．【解答】解：可設(shè)A所在的緯線圈的圓心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直于緯線所在的圓面，由圖可得SKIPIF1<0為晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<022.（2020·新高考I卷題16題）已知直四棱柱SKIPIF1<0的棱長均為2，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與側(cè)面SKIPIF1<0的交線長為________.【答案】SKIPIF1<0

【解析】【分析】本題考查空間中球與平面的交線問題，注意球心到面的距離和形成的交線位置與所對應(yīng)的圓弧和圓心角，屬于難題.

由已知得點(diǎn)SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離即為點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離，即為SKIPIF1<0，則根據(jù)勾股定理可得截面的圓半徑為SKIPIF1<0

，球與側(cè)面SKIPIF1<0所形成的交線為一段圓弧，其圓心角為SKIPIF1<0，則根據(jù)弧長公式即可得解.【解答】解：直四棱柱棱長為2，底面是邊長為2的菱形，側(cè)面是邊長為2的正方形，

又SKIPIF1<0，

可得SKIPIF1<0

，

點(diǎn)SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離即為點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離，即為SKIPIF1<0，則根據(jù)勾股定理可得截面的圓半徑為SKIPIF1<0

，

而SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，

則球與側(cè)面SKIPIF1<0所形成的交線為一段圓弧，其圓心角為SKIPIF1<0

，

故形成的交線長為SKIPIF1<0

.故答案為SKIPIF1<023.（2020·新高考II卷題13題）已知正