汕尾市重點中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

汕尾市重點中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知平面向量，，若，則實數(shù)的值為（）A.0 B.-3C.1 D.-12．已知定義在R上的函數(shù)滿足：對任意，則A. B.0C.1 D.33．我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程端娥五號探測器，順利將探測器送入預(yù)定軌道，經(jīng)過兩次軌道修正，嫦娥五號順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行，嫦娥五號從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道，若這時把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號距離月表400千米，已知月球半徑約為1738千米，則嫦娥五號繞月每旋轉(zhuǎn)弧度，飛過的路程約為（）（）A.1069千米 B.1119千米C.2138千米 D.2238千米4．下列區(qū)間包含函數(shù)零點的為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)則（）A.－ B.2C.4 D.116．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為，則所在的區(qū)間為()A B.C. D.7．已知集合A={1,2,3}，集合B={x|x2=x}，則A∪B=（）A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{－1,0,1,2,3}8．命題“”的否定為A. B.C. D.9．若，求（）A. B.C. D.10．如圖，在正四棱柱中，，點為棱的中點，過，，三點的平面截正四棱柱所得的截面面積為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的單調(diào)增區(qū)間為________.12．已知函數(shù)，實數(shù)，滿足，且，若在上的最大值為2，則____13．已知為第二象限角，且，則_____14．函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是____.15．，的定義域為____________16．已知定義域為R的函數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍是______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若存在實數(shù)、使得，則稱函數(shù)為、的“函數(shù)”（1）若．為、的“函數(shù)”，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求、的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，，是否存在實數(shù)、使得為、的“函數(shù)”，且同時滿足：①是偶函數(shù)；②的值域為．若存在，請求出、的值；若不存在，請說明理由．（注：為自然數(shù)．）18．定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.（1）證明：在上有界函數(shù)；（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，E為AD的中點，過A，D，N的平面交PC于點M.求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.20．對于在區(qū)間上有意義的函數(shù)，若滿足對任意的，，有恒成立，則稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的．現(xiàn)有函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)在上是否“友好”；（2）若關(guān)于x的方程的解集中有且只有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍21．某旅游風(fēng)景區(qū)發(fā)行的紀(jì)念章即將投放市場，根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計每枚該紀(jì)念章的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時間x天2620市場價y元10278120（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系并說明理由：①；②；③；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格；（3）利用你選取的函數(shù)，若存在，使得不等式成立，求實數(shù)k的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】根據(jù)，由求解.【題目詳解】因為向量，，且，所以，解得，故選：C.2、B【解題分析】，且，又，，由此可得，，是周期為的函數(shù)，，，故選B.考點：函數(shù)的奇偶性，周期性，對稱性，是對函數(shù)的基本性質(zhì)的考察.【易錯點晴】函數(shù)滿足則函數(shù)關(guān)于中心對稱，,則函數(shù)關(guān)于軸對稱，常用結(jié)論：若在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)以為周期.本題中，利用此結(jié)論可得周期為，進(jìn)而，需要回到本題利用題干條件賦值即可.3、D【解題分析】利用弧長公式直接求解.【題目詳解】嫦娥五號繞月飛行半徑為400+1738=2138，所以嫦娥五號繞月每旋轉(zhuǎn)弧度，飛過的路程約為（千米）.故選：D4、C【解題分析】根據(jù)零點存在定理，分別判斷選項區(qū)間的端點值的正負(fù)可得答案.【題目詳解】，，，，，又為上單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)故選：C.5、C【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的分段條件，先求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的分段條件，代入準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.6、C【解題分析】令，則，故的零點在內(nèi)，因此兩函數(shù)圖象交點在內(nèi)，故選C.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的交點與函數(shù)零點的關(guān)系、零點存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題.零點存在性定理的條件：（1）利用定理要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線；（2）要求；（3）要想判斷零點個數(shù)還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性).7、C【解題分析】求出集合B={0，1}，然后根據(jù)并集的定義求出A∪B【題目詳解】解：∵集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}故選C【題目點撥】本題考查并集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題8、D【解題分析】根據(jù)命題的否定的定義寫出結(jié)論，注意存在量詞與全稱量詞的互換【題目詳解】命題“”的否定為“”故選D【題目點撥】本題考查命題的否定，解題時一定注意存在量詞與全稱量詞的互換9、A【解題分析】根據(jù)，求得，再利用指數(shù)冪及對數(shù)的運(yùn)算即可得出答案.【題目詳解】解：因為，所以，所以.故選：A.10、D【解題分析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為菱形，從而可求出截面的面積.【題目詳解】取的中點，的中點，連接，因為該幾何體為正四棱柱，∴故四邊形為平行四邊形，所以，又，∴，同理，且，所以過，，三點平面截正四棱柱所得的截面為菱形，所以該菱形的面積為.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】求出給定函數(shù)的定義域，由對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解作答.【題目詳解】依題意，，則，解得，函數(shù)中，由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：【題目點撥】關(guān)鍵點睛：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，正確求出函數(shù)的定義域是解決問題的關(guān)鍵.12、4【解題分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式分別求得a,b的值，然后求解的值即可.【題目詳解】繪制函數(shù)的圖像如圖所示，由題意結(jié)合函數(shù)圖像可知可知，則，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，解得，且，解得：，故.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)圖像的應(yīng)用，對數(shù)的運(yùn)算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.13、【解題分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式計算得到答案.【題目詳解】為第二象限角，且，故，.故答案為：.14、【解題分析】設(shè)函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理求解.【題目詳解】解：由題得函數(shù)的定義域為.設(shè)函數(shù)，因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：15、【解題分析】由，根據(jù)余弦函數(shù)在的圖象可求得結(jié)果.【題目詳解】由得：，又，，即的定義域為.故答案為：.16、【解題分析】先判斷函數(shù)奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而把條件不等式轉(zhuǎn)化為簡單不等式.【題目詳解】由函數(shù)定義域為R，且，可知函數(shù)為奇函數(shù).，令則，令則即在定義域R上單調(diào)遞增，又，由此可知，當(dāng)時，即，函數(shù)即為減函數(shù)；當(dāng)時，即，函數(shù)即為增函數(shù)，故函數(shù)在R上的最小值為，可知函數(shù)在定義域為R上為增函數(shù).根據(jù)以上兩個性質(zhì)，不等式可化為，不等式等價于即解之得或故答案為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）存在；，.【解題分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的等式組，由此可解得函數(shù)、的解析式；（2）由偶函數(shù)的定義可得出，由函數(shù)的值域結(jié)合基本不等式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得的值，進(jìn)而可求得的值，即可得解.【小問1詳解】解：因為為、的“函數(shù)”，所以①，所以因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，所以②聯(lián)立①②解得，【小問2詳解】解：假設(shè)存在實數(shù)、，使得為，的“函數(shù)”則①因為是偶函數(shù)，所以即，即，因為，整理得因為對恒成立，所②，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號所以，由于的值域為，所以，且又因為，所以，綜上，存在，滿足要求18、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）根據(jù)，利用求解單調(diào)性求解；（2）根據(jù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，令，則，轉(zhuǎn)化，在時恒成立求解.【小問1詳解】解：，則在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故，即，故，故是有界函數(shù)；【小問2詳解】因為在上是以3為上界的有界函數(shù)，所以在上恒成立，令，則，所以在時恒成立，所以，在時恒成立，函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，所以；函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，所以.所以實數(shù)a的取值范圍是.19、（1）見證明（2）見證明（3）見證明【解題分析】（1）先證明四邊形DENM為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可得到證明；（2）先證明AD⊥平面PEB，由AD∥BC可得BC⊥平面PEB；（3）由（2）知BC⊥平面PEB可得PB⊥MN，由已知得PB⊥AN，即可證得PB⊥平面ADMN，利用面面垂直的判定定理即可得到證明.【題目詳解】(1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC．又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC又∵N為PB的中點，∴M為PC的中點，∴MN＝BC∵E為AD中點，DE＝AD＝BC＝MN，∴DEMN，∴四邊形DENM為平行四邊形，∴EN∥DM.又∵EN?平面PDC，DM?平面PDC，∴EN∥平面PDC(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，E為AD中點，∴BE⊥AD．又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB．∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB(3)由(2)知AD⊥PB又∵PA＝AB，且N為PB的中點，∴AN⊥PB∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.【題目點撥】本題考查線面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，屬于基本知識的考查20、（1）當(dāng)時，函數(shù)在，上是“友好”的（2）【解題分析】（1）當(dāng)時，利用函數(shù)的單調(diào)性求出和，由即可求得結(jié)論；（2）化簡原方程，然后討論的范圍和方程的解即可得答案【小問1詳解】解：當(dāng)時，，因為單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，，因為，所以由題意可得，當(dāng)時，函數(shù)在上是“友好”的；【小問2詳解】解：因為，即，且，①所以，即，②當(dāng)時，方程②的解為，代入①成立；當(dāng)時，方程②的解為，代入①不成立；當(dāng)且時，方程②的解為或?qū)⒋擘?，則且，解得且，將代入①，則，且，解得且所以要使方程的解集中有且只有一個元素，則，綜上，的取值范圍為21、（1）選擇，理由見解析，（2）上市天數(shù)10天，最低價格70元，（3）【解題分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性選取即可