數(shù)學攻略大一輪復習新高考精練11-1隨機事件與古典概型（試題部分）

專題十一概率與統(tǒng)計【考情探究】課標解讀考情分析備考指導主題內容一、隨機事件的概率、古典概型1.了解兩個互斥事件的概率加法公式.2.理解古典概型及其概率計算公式.1.從近幾年高考情況來看,概率與估計問題常以應用題為載體,注重考查學生的應用意識及閱讀理解能力.2.概率問題的核心是概率計算.其中事件的互斥、對立、獨立是概率計算的核心,排列、組合是進行概率計算的工具;統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析,重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征.3.離散型隨機變量的分布列及期望的考查是高考的重點,近兩年在高考試題中位于后面兩題位置,屬于難度較高的題目,特別是與統(tǒng)計內容的結合,其背景新穎,充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和與多個知識點的交匯性.1.古典概型、相互獨立事件與互斥事件的概率是高考考查的熱點,古典概型主要以客觀題考查,求基本事件的個數(shù)時常涉及排列數(shù)、組合數(shù)的計算,計算時要首先判斷事件是否與順序有關,以確定是排列、還是組合問題.2.相互獨立事件,互斥事件常作為解答題的第一問考查,是進一步求分布列、期望與方差的基礎,求解該類問題要正確理解題意,準確判定概率模型,恰當選擇概率公式.3.離散型隨機變量及其分布列、均值與方差及應用是高考數(shù)學的熱點,求解離散型隨機變量的分布列與期望,關鍵要過好“三關”:一是“判斷關”,即依題意判斷隨機變量的所有可能的取值;二是“求概率關”,即利用兩個計數(shù)原理、排列與組合內容,以及古典概型的概率公式求隨機變量取各個值時的概率;三是“應用定義關”,即列出隨機變量的分布列,并利用隨機變量的數(shù)學期望的定義進行計算,若能判定隨機變量X服從二項分布,可利用E(X)=np,D(X)=np(1p)求解避免繁雜的運算,提高解題的準確度.二、離散型隨機變量及其分布列1.理解離散型隨機變量及其分布列的概念.2.理解超幾何分布.3.理解取值有限的離散型隨機變量的均值、方差的概念,并會計算均值、方差.三、二項分布與正態(tài)分布1.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布,能解決一些簡單的實際問題.2.了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義,并進行簡單應用.四、抽樣方法、用樣本估計總體1.會用簡單隨機抽樣抽取樣本.2.能從樣本數(shù)據(jù)中提取數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差).3.會用樣本的頻率分布(數(shù)字特征)估計總體分布(數(shù)字特征).五、變量間的相關關系、統(tǒng)計案例1.會作散點圖,并會用其認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想,能根據(jù)所給公式求線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶).3.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的方法,并能解決一些簡單問題.4.了解回歸分析的基本方法,并能解決一些簡單的實際問題.【真題探秘】隨機事件與古典概型基礎篇固本夯基【基礎集訓】考點一事件與概率1.甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加“《論語》知識大賽”,決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績,回答者對甲說“雖然你的成績比乙好,但是你倆都沒得到第一名”;對乙說“你當然不會是最差的”.從上述回答分析,丙是第一名的概率是()A.15B.13C.14答案B2.甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左邊的概率是()B.1C.12D.答案D3.如圖,已知電路中4個開關閉合的概率都是12,且是相互獨立的,則燈亮的概率為(A.316B.34C.1316答案C4.一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次,設事件A表示向上的一面標有奇數(shù),事件B表示向上的一面上的數(shù)不超過3,事件C表示向上的一面上的數(shù)不小于4,則()與B是互斥而非對立事件與B是對立事件與C是互斥而非對立事件與C是對立事件答案D5.男隊有號碼分別為1,2,3的三名乒乓球運動員,女隊有號碼為1,2,3,4的四名乒乓球運動員,現(xiàn)兩隊各出一名運動員比賽一場,則出場的兩名運動員號碼不同的概率為.

答案36.設某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路暢通狀況有關,對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計,結果如下:T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(1)求T的分布列與數(shù)學期望ET;(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)作一個50分鐘的講座,結束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率.解析(1)由統(tǒng)計結果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P從而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分鐘).(2)設T1,T2分別表示往、返所需時間,T1,T2的取值相互獨立,且與T的分布列相同.設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”,由于講座時間為50分鐘,所以事件A對應于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1P(A)=0.91.考點二古典概型7.“微信搶紅包”自2015年以來異常火爆,在某個微信群某次進行的搶紅包活動中,若所發(fā)紅包的總金額為8元,被隨機分配為元元元元元共5份供甲、乙等5人搶,每人只能搶一次,則甲、乙二人搶到的紅包金額之和不低于3元的概率是()A.310B.25C.12答案D8.每年三月為學雷鋒活動月,某班有青年志愿者男生3人,女生2人,現(xiàn)需選出2名青年志愿者到社區(qū)做公益宣傳活動,則選出的2名志愿者性別相同的概率為()A.35B.25C.15答案B9.有3個興趣小組,甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組,每位同學參加各個小組的可能性相同,則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為()A.13B.12C.23答案A10.某車間共有6名工人,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù),日加工零件個數(shù)大于樣本平均數(shù)的工人為優(yōu)秀工人,從該車間的6名工人中任取2名,則恰有1名優(yōu)秀工人的概率為()A.19B.13C.815答案C11.從左至右依次站著甲、乙、丙3個人,從中隨機抽取2個人進行位置調換,則經過兩次這樣的調換后,甲在乙左邊的概率是.

答案2綜合篇知能轉換【綜合集訓】考法一隨機事件的頻率與概率1.某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費a2a隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.解析(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內出險次數(shù)小于2的頻率為60+50200=0.55,故P(A)的估計值為(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200=0.3,故P(B)的估計值為(3)由所給數(shù)據(jù)得保費a2a頻率調查的200名續(xù)保人的平均保費為5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為5a.考法二互斥事件、對立事件概率公式的應用2.某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù),如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)123已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結算時間的平均值;(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)解析(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為1×15+1.(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”.將頻率視為概率得P(A1)=15100=320,P(A2)=30100P(A3)=25100=1因為A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=320+310+14故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為710考法三古典概型概率的求法3.(2018江西宜春昌黎實驗學校第二次段考,7)五個人圍坐在一張圓桌旁,每個人面前放著完全相同的硬幣,所有人同時翻轉自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為()A.12B.1532C.1132答案C4.(2020屆廣西南寧10月摸底)某校從高一(1)班和(2)班的某次數(shù)學考試(試卷滿分為100分)的成績中各隨機抽取了3份數(shù)學成績組成一個樣本,如莖葉圖所示.若分別從(1)班,(2)班的樣本中各隨機抽取一份,則(2)班成績更好的概率為()A.29B.13C.12答案B5.(2018河南信陽二模,5)某同學先后投擲一枚正方體骰子兩次,第一次向上的點數(shù)記為x,第二次向上的點數(shù)記為y,在平面直角坐標系xOy中,以(x,y)為坐標的點在直線2xy=1上的概率為()A.112B.19C.536答案A6.(2018山西太原一模,15)某人在微信群中發(fā)了一個7元“拼手氣”紅包,被甲、乙、丙三人搶完,若三人均領到整數(shù)元,且每人至少領到1元,則甲領取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是.

答案27.(2018上海復旦大學附屬中學月考,10)從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個數(shù),要使取到的一個數(shù)大于k,另一個數(shù)小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是25,則k=答案7【五年高考】1.(2019課標Ⅰ,6,5分)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.516B.1132C.2132答案A2.(2019課標全國Ⅱ,4,5分)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為()A.23B.3C.25D.答案B3.(2017山東,8,5分)從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59答案C4.(2019江蘇,6,5分)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務,則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是.

答案75.(2018江蘇,6,5分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學生去參加活動,則恰好選中2名女生的概率為.

答案36.(2019天津,15,13分)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況.(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;(ii)設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發(fā)生的概率.員工項目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○解析本題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)學運算素養(yǎng).(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)(i)從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.(ii)由表格知,符合題意的所有可能結果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=1115思路分析(1)首先得出抽樣比,從而按比例抽取各層的人數(shù);(2)(i)利用列舉法列出滿足題意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.教師專用題組1.(2014課標Ⅰ,5,5分)4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為()A.18B.38C.58答案D2.(2016江蘇,7,5分)將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是.

答案53.(2015江蘇,5,5分)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為.

答案54.(2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.解析(1)由已知,有P(A)=C31C所以,事件A發(fā)生的概率為13(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=C32+P(X=1)=C31CP(X=2)=C31C所以,隨機變量X的分布列為X012P474隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×415+1×715+2×【三年模擬】一、單項選擇題(每題5分,共40分)1.(2018重慶九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考,4)已知隨機事件A,B發(fā)生的概率滿足P(A∪B)=34,某人猜測事件A∩B發(fā)生,則此人猜測正確的概率為(B.12C.1答案C2.(2019福建廈門一模,5)《易經》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“”表示一根陽線,“”表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為()A.114B.17C.528答案D3.(2019山西太原模擬,2)已知隨機事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,則P(A)=()答案A4.(2020屆廣東湛江9月調研,5)某學校組織高一和高二兩個年級的同學,開展“學雷鋒敬老愛老”志愿服務活動,利用暑期到敬老院進行打掃衛(wèi)生、表演文藝節(jié)目、傾聽老人的囑咐和教誨等一系列活動.現(xiàn)有來自高一年級的4名同學,其中男生2名、女生2名;高二年級的5名同學,其中男生3名、女生2名,現(xiàn)從這9名同學中隨機選擇4名打掃衛(wèi)生,則選出的4名同學中恰有2名男生,且這2名男生來自同一個年級的概率是()A.1126B.521C.635答案D5.(2019湖南師大附中3月模擬,5)2019年1月1日,濟南軌道交通1號線試運行,濟南軌道交通集團面向廣大市民開展“參觀體驗,征求意見”活動,市民可以通過濟南地鐵APP搶票,小陳搶到了三張體驗票,準備從四位朋友小王,小張,小劉,小李中隨機選擇兩位與自己一起去參加體驗活動,則小王和小李至多1人被選中的概率為()A.16B.13C.23答案D6.(2020屆福建南安僑光中學第一次階段考,6)已知a∈{0,1,2},b∈{1,1,3,5},則函數(shù)f(x)=ax22bx在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)的概率是()A.512B.13C.14答案A7.(2019安徽蚌埠二模,4)從1,2,3,4中選取兩個不同數(shù)字組成兩位數(shù),則這個兩位數(shù)能被4整除的概率為()A.13B.14C.16答案B8.(2020屆四川宜賓四中開學考試,2)現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計一位射箭運動員三次射箭恰有兩次命中的概率:先由計算機隨機產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示未命中,再以三個隨機數(shù)為一組,代表三次射箭的結果,經隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù):807966191925271932812458569683489257394027552488730113537741根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計該運動員三次射箭恰好有兩次命中的概率為()答案D二、多項選擇題(共5分)9.(改編題)不透明的口袋內裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張,一次任意取出2張卡片,則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而非對立的事件是()張卡片都不是紅色張卡片恰有一張是紅色張卡片至少有一張是紅色張卡片都為綠色答案ABD三、填空題(每題5分,共25分)10.(2019上海嘉定二模,8)學校從3名男同學和2名女同學中任選2人參加志愿者服務活動,則選出的2人中至少有1名女同學的概率為.

答案711.(2020屆廣東百校聯(lián)考10月月考,16)十二生肖,又稱十二屬相,中國古人拿十二種動物來配十二地支,組成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬十二屬相,現(xiàn)有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同學依次隨機抽取一件作為禮物,甲同學喜歡馬、牛,乙同學喜歡馬、龍、狗,丙同學除了鼠不喜歡外其他的都喜歡,則這三位同學抽取的禮物都喜歡的概率是.

答案312.(2020屆湖南長沙長郡中學第二次月考,14)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個質數(shù)的和”,在不超過20的質數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于20的概率是.

答案113.(2020屆江蘇南通中學10月月考,6)從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中任取兩張,這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為.

答案214.(2018河北石家莊二模,14)用1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的五位數(shù),若用a1,a2,a3,a4,a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位數(shù)字,則出現(xiàn)a1<a2<a3>a4>a5的五位數(shù)的概率為.

答案1四、解答題(共25分)15.(2019廣東汕頭達濠華僑中學、東廈中學第一次聯(lián)考,17)某學校有初級教師21人,中級教師14人,高級教師7人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些教師中抽取6人對績效工資情況進行調查.(1)求應從初級教師,中級教師,高級教師中分別抽取的人數(shù);(2)若從抽取的6名教師中隨機抽取2名做進一步數(shù)據(jù)分析,求抽取的2名均為初級教師的概率.解析(1)從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)為3,2,1.(2)在抽取的6名教師中,3名初級教師分別記為A1,A2,A3,2名中級教師分別記為A4,A5,1名高級教師記為A6,則抽取2名教師的所有可能結果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.從6名教師中抽取的2名教師均為初級教師(記為事件B)的所有可能結果為{A1,A2}