22.3-實際問題與二次函數(shù)-教案

第頁22．3實際問題與二次函數(shù)第1課時二次函數(shù)與圖形面積01教學(xué)目標(biāo)1．會求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．2．能從實際問題中分析、找出變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能利用二次函數(shù)及性質(zhì)解決與面積有關(guān)的最小(大)值問題．02預(yù)習(xí)反饋閱讀教材P49～50(探究1)，完成下列問題．1．一般地，當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是最低點，也就是說，當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有最小值eq\f(4ac－b2,4a)；當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是最高點，也就是說，當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有最大值eq\f(4ac－b2,4a)．2．從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)，其圖象如圖所示．(1)小球運動的時間是3s時，小球最高；(2)小球運動中的最大高度是45m.3．一個直角三角形的兩條直角邊長的和為20cm，其中一直角邊長為xcm，面積為ycm2，則y與x的函數(shù)的關(guān)系式是y＝eq\f(1,2)x(20－x)，當(dāng)x＝10時，面積y最大，為50cm2.03名校講壇例1(教材P49探究)用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化．當(dāng)l是多少米時，場地的面積S最大？【思路點撥】先寫出S關(guān)于l的函數(shù)解析式，再求出使S最大的l值．【解答】∵矩形場地的周長是60m，一邊長為lm，則另一邊長為(eq\f(60,2)－l)m，∴場地的面積S＝l(eq\f(60,2)－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)．∴當(dāng)l＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(30,2×（－1）)＝15時，S有最大值eq\f(4ac－b2,4a)＝eq\f(－302,4×（－1）)＝225．答：當(dāng)l是15m時，場地的面積S最大．【點撥】在實際問題中，求函數(shù)的解析式時，一定要標(biāo)注自變量的取值范圍，同時在求函數(shù)的最值時，一定要注意頂點的橫坐標(biāo)是否在自變量的取值范圍內(nèi)．【跟蹤訓(xùn)練1】(《名校課堂》22.3第1課時習(xí)題)如圖，假設(shè)籬笆(虛線部分)的長度為16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是(C)A．60m2B．63m2C．64m2D．66m2例2(教材P49探究的變式)如圖，用長為6m的鋁合金條制成一個“日”字形窗框，已知窗框的寬為xm，窗戶的透光面積為ym2(鋁合金條的寬度不計)．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；【思路點撥】由題意可知，窗戶的透光面積為長方形，根據(jù)長方形的面積公式即可得到y(tǒng)和x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】∵大長方形的周長為6m，寬為xm，∴長為eq\f(6－3x,2)m.∴y＝x·eq\f(（6－3x）,2)＝－eq\f(3,2)x2＋3x(0＜x＜2)．【點撥】求y與x的函數(shù)關(guān)系式時，一定不能漏掉自變量的取值范圍．(2)如何安排窗框的長和寬，才能使得窗戶的透光面積最大？并求出此時的最大面積．【思路點撥】由(1)中的函數(shù)關(guān)系可知，y和x是二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到最大面積．【解答】由(1)可知，y和x是二次函數(shù)關(guān)系．∵a＝－eq\f(3,2)＜0，∴函數(shù)有最大值．當(dāng)x＝－eq\f(3,2×（－\f(3,2)）)＝1時，y最大＝eq\f(3,2)m2，此時eq\f(6－3x,2)＝1.5.答：窗框的長和寬分別為1.5m和1m時，才能使得窗戶的透光面積最大，此時的最大面積為1.5m2.【點撥】要考慮x＝1是不是在自變量的取值范圍內(nèi)．【跟蹤訓(xùn)練2】如圖，點C是線段AB上的一點，AB＝1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個正方形的面積之和，下列判斷正確的是(A)A．當(dāng)C是AB的中點時，S最小B．當(dāng)C是AB的中點時，S最大C．當(dāng)C為AB的三等分點時，S最小D．當(dāng)C是AB的三等分點時，S最大04鞏固訓(xùn)練1．為搞好環(huán)保，某公司準(zhǔn)備修建一個長方體的污水處理池，池底矩形的周長為100m，則池底的最大面積是(B)A．600m2B．625m2C．650m2D．675m22．如圖，利用一面墻(墻的長度不超過45m)，用80m長的籬笆圍成一個矩形場地，當(dāng)AD＝20m時，矩形場地的面積最大，最大面積為800m2.3．(《名校課堂》22.3第1課時習(xí)題)手工課上，小明準(zhǔn)備做一個形狀是菱形的風(fēng)箏，這個菱形的兩條對角線長度之和恰好為60cm，菱形的面積S(單位：cm2)隨其中一條對角線的長x(單位：cm)的變化而變化．(1)請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(2)當(dāng)x是多少時，菱形風(fēng)箏面積S最大？最大面積是多少？解：(1)S＝－eq\f(1,2)x2＋30x.(2)∵S＝－eq\f(1,2)x2＋30x＝－eq\f(1,2)(x－30)2＋450，且a＝－eq\f(1,2)＜0，∴當(dāng)x＝30時，S有最大值，最大值為450.即當(dāng)x為30cm時，菱形風(fēng)箏的面積最大，最大面積是450cm2.第2課時二次函數(shù)與商品利潤01教學(xué)目標(biāo)能根據(jù)商品利潤問題建立二次函數(shù)的關(guān)系式，并探求出在何時刻，實際問題能取得理想值，增強(qiáng)學(xué)生解決具體問題的能力．02預(yù)習(xí)反饋閱讀教材P50(探究2)，完成下列問題．1．某商店從廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價．若每件商品售價為x元，則可賣出(350－10x)件商品，那么商品所賺錢數(shù)y(元)與售價x的函數(shù)關(guān)系式為(B)A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2－350xD．y＝－10x2＋350x－73502．某商店經(jīng)營一種商品，已知獲得的利潤y(元)與銷售單價x(元)之間滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－eq\f(1,2)(x－45)2＋1200，則當(dāng)銷售單價為45元時，獲利最多，為1__200元．3．北國超市的小王對該超市蘋果的銷售進(jìn)行了統(tǒng)計，某進(jìn)價為4元/千克的蘋果每天的銷售量y(千克)和當(dāng)天的售價x(元/千克)之間滿足y＝－20x＋200(5≤x≤8)，若銷售這種蘋果所獲得的利潤為W，售價為x元，則銷售每千克蘋果所獲得的利潤為(x－4)元，W與x之間的函數(shù)關(guān)系式為W＝(x－4)(－20x＋200)＝－20(x－7)2＋180，要使蘋果當(dāng)天的利潤達(dá)到最高，則其售價應(yīng)為7元，最大利潤為180元．03名校講壇例1(教材P50探究2)某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？想一想：進(jìn)價，售價，利潤，利潤率幾者之間有什么關(guān)系？【思路點撥】調(diào)整價格包括漲價和降價兩種情況，做題時應(yīng)分類討論．①漲價時，若設(shè)每件漲價x元，則每星期少賣10x件，實際賣出(300－10x)件，銷售額為[(60＋x)·(300－10x)]元，買進(jìn)商品需付[40(300－10x)]元，根據(jù)利潤＝銷售額－買進(jìn)商品的錢數(shù)列函數(shù)解析式，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即可；②降價時，若設(shè)每件降價x元，則每星期多賣20x件，實際賣出(300＋20x)件，銷售額為[(60－x)·(300＋20x)]元，買進(jìn)商品需付[40(300＋20x)]元，再同漲價，求出函數(shù)的最大值，最后再結(jié)合①②兩種情況，即可得出最后使利潤最大的定價．【解答】設(shè)每星期售出商品的利潤為y元，則由分析可知，①漲價時y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250(0≤x≤30)．∴當(dāng)x＝5時，y最大，也就是說，在漲價的情況下，漲價5元，即定價65元時，利潤最大，最大利潤是6250元．②降價時y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6000＝－20(x－2.5)2＋6125(x≥0)．∴當(dāng)x＝2.5時，y最大，也就是說，在降價的情況下，漲價2.5元，即定價57.5元時，利潤最大，最大利潤是6125元．綜合漲價與降價兩種情況及現(xiàn)在的銷售狀況可知，定價65元時，利潤最大．【點撥】在實際問題中，求函數(shù)的解析式時，一定要標(biāo)注自變量的取值范圍，同時在利用公式求函數(shù)的最值時，一定要注意頂點的橫坐標(biāo)是否在自變量的取值范圍內(nèi)．例2(教材P50探究2的變式)某商店購進(jìn)一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出400件．根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件．如果售價為x元，總利潤為y元．(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)售價x為多少元時，總利潤y最大，最大值是多少元？【思路點撥】(1)根據(jù)總利潤＝每件日用品的利潤×可賣出的件數(shù)，即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)利用公式法可得二次函數(shù)的最值．【解答】(1)∵銷售單價為x元，銷售利潤為y元，根據(jù)題意，得y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝(x－20)(1000－20x)＝－20x2＋1400x－20000(20≤x≤50)，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝－20x2＋1400x－20000(20≤x≤50)．(2)∵y＝－20x2＋1400x－20000，∴當(dāng)x＝－eq\f(1400,2×（－20）)＝35時，y最大＝4500.∴售價x為35元時，總利潤y最大，最大值是4500元．【跟蹤訓(xùn)練】(《名校課堂》22.3第2課時習(xí)題)一件工藝品進(jìn)價為100元，標(biāo)價135元售出，每天可售出100件．根據(jù)銷售統(tǒng)計，該件工藝品每降價1元出售，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，每件需降價的錢數(shù)為(A)A．5元B．10元C．0元D．6元04鞏固訓(xùn)練1．某旅社有客房120間，每間房間的日租金為50元，每天都客滿，旅社裝修后要提高租金，經(jīng)市場調(diào)查，如果一間客房日租金每增加5元，則客房每天少出租6間．不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租金提高到75元時，客房日租金的總收入最高．2．某商店經(jīng)營一種小商品，進(jìn)價為2.5元，據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是13.5元時，平均每天銷售量是500件，而銷售單價每降低1元，平均每天就可以多售出100件．(1)假設(shè)每件商品降低x元，商店每天銷售這種小商品的利潤是y元，請你寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；(2)每件小商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多少？(注：銷售利潤＝銷售收入－購進(jìn)成本)解：(1)降低x元后，所銷售的件數(shù)是(500＋100x)，則y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)．(2)由(1)得，y＝－100x2＋600x＋5500＝－100(x－3)2＋6400，∴當(dāng)x＝3時，y的最大值是6400元，即降價為3元時，利潤最大．∴銷售單價為10.5元時，最大利潤為6400元．答：銷售單價為10.5元時，最大利潤為6400元．第3課時實物拋物線01教學(xué)目標(biāo)1．會利用二次函數(shù)知識解決實物拋物線問題．2．能根據(jù)實際問題構(gòu)建二次函數(shù)模型．02預(yù)習(xí)反饋閱讀教材P51(探究3)，完成下列問題．1．有一拋物線形拱橋，其最大高度為16米，跨度為40米，把它的示意圖放在如圖所示的坐標(biāo)系中，則拋物線的函數(shù)解析式為y＝－eq\f(1,25)x2＋eq\f(8,5)x．2．隧道的截面是拋物線，且拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,8)x2＋2，一輛車高3m，寬4m，該車不能(填“能”或“不能”)通過該隧道．03名校講壇例1(教材P51探究3)如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m．水面下降1m，水面寬度增加多少？【思路點撥】將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出這條拋物線表示的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解題．其中以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系最為簡便(如圖)．【解答】設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2.由拋物線經(jīng)過點(2，－2)，可得－2＝a×22，解得a＝－eq\f(1,2).∴這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝－eq\f(1,2)x2.當(dāng)水面下降1m時，水面的縱坐標(biāo)為y＝－3，這時有－3＝－eq\f(1,2)x2，解得x＝±eq\r(6).∴這時水面寬度為2eq\r(6)m.答：當(dāng)水面下降1m時，水面寬度增加(2eq\r(6)－4)m.【點撥】利用二次函數(shù)知識解決實物拋物線問題的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)坐標(biāo)系，并將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；(2)合理地設(shè)出所求的函數(shù)的解析式，并代入已知條件或點的坐標(biāo)，求出解析式；(3)利用解析式求解實際問題．【跟蹤訓(xùn)練1】(《名校課堂》22.3第3課時習(xí)題)如圖是一個橫截面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2米．水面下降1米時，水面的寬度為2eq\r(6)米．例2(教材變式例題)某公司草坪的護(hù)欄是由50段形狀相同的拋物線組成的，為牢固起見，每段護(hù)欄需按間距0.4m加設(shè)不銹鋼管(如圖)做成立柱，為了計算所需不銹鋼管立柱的總長度，設(shè)計人員測得如圖所示的數(shù)據(jù)．(1)求此拋物線的解析式；(2)計算所需不銹鋼管的總長度．【解答】(1)由題意得，B(0，0.5)，C(1，0)．設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋c，代入得a＝－0.5，c＝0.5.故解析式為y＝－0.5x2＋0.5.(2)如圖所示：當(dāng)x＝0.2時，y＝0.48.當(dāng)x＝0.6時，y＝0.32.∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4＝2×(0.48＋0.32)＝1.6(米)．∴所需不銹鋼管的總長度為：1.6×50＝