直線與平面平行經(jīng)典題目

第4頁共11頁9.2直線與平面平行●知識梳理1.直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，即直線與平面平行、直線與平面相交、直線在平面內(nèi).2.直線與平面平行的判定：如果平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行.3.直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交，那么這條直線與交線平行.●點(diǎn)擊雙基1.設(shè)有平面α、β和直線m、n，則m∥α的一個充分條件是A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ答案：D2.設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面.給出下列四個命題，其中正確命題的序號是①若m⊥α，n∥α，則m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ③若m∥α，n∥α，則m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βA.①② B.②③ C.③④ D.①④答案：AA.異面 B.相交 C.平行 D.不能確定解析：設(shè)α∩β=l，a∥α，a∥β，過直線a作與α、β都相交的平面γ，記α∩γ=b，β∩γ=c，則a∥b且a∥c，∴b∥c.又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.答案：C4.(06重慶卷)對于任意的直線l與平同a,在平面a內(nèi)必有直線m,使m與lA.平行B.相交C.垂直D.互為異面直線解析：對于任意的直線與平面，若在平面α內(nèi)，則存在直線m⊥；若不在平面α內(nèi)，且⊥α，則平面α內(nèi)任意一條直線都垂直于，若不在平面α內(nèi)，且于α不垂直，則它的射影在平面α內(nèi)為一條直線，在平面內(nèi)必有直線垂直于它的射影，則與垂直，綜上所述，選C.5.已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤.（i）當(dāng)滿足條件③⑤時，有；（ii）當(dāng)滿足條件②⑤時，有. （填所選條件的序號）●典例剖析【例1】如下圖，兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.證法一：過M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足（如上圖），連結(jié)PQ.∵M(jìn)P∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.又NQ=BN=CM=MP，∴MPQN是平行四邊形.∴MN∥PQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.證法二：過M作MG∥BC，交AB于點(diǎn)G（如下圖），連結(jié)NG.∵M(jìn)G∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE.又==，∴GN∥AF∥BE，同樣可證明GN∥平面BCE.又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.特別提示證明直線和平面的平行通常采用如下兩種方法：①利用直線和平面平行的判定定理，通過“線線”平行，證得“線面”平行；②利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行.【例2】已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長及側(cè)棱長均為13，M、N分別是PA、BD上的點(diǎn)，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求證：直線MN∥平面PBC；（2）求直線MN與平面ABCD所成的角.（1）證明：∵P—ABCD是正四棱錐，∴ABCD是正方形.連結(jié)AN并延長交BC于點(diǎn)E，連結(jié)PE.∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.又∵BN∶ND=PM∶MA，∴EN∶AN=PM∶MA.∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC內(nèi)，∴MN∥平面PBC.設(shè)AA′=BB′=x，則AC2=（）2=2x2，BC2=（）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，∴6x2=（2）2，x=2.答案：28、（07江西）右圖是一個直三棱柱（以A1B1C1為底面）截面為ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3（I）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A1B1C1xzyMGDSFCBEAAxzyMGDSFCBEAA第39題圖第38題圖FEPDC（Ⅲ）求此幾何體的體積；解法一：（1）證明：作交于，連．則．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．則是平行四邊形，因此有．平面且平面，則面．（2）如圖，過作截面面，分別交，于，．作于，連．因?yàn)槊妫?，則平面．又因?yàn)椋?，．所以，根?jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．因?yàn)?，所以，故，即：所求二面角的大小為．?）因?yàn)椋裕髱缀误w體積為．解法二：（1）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，．易知，是平面的一個法向量．因?yàn)?，平面，所以平面．?），，設(shè)是平面的一個法向量，則則，得：取，．顯然，為平面的一個法向量．則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角．所以二面角的大小是．（3）同解法一．培養(yǎng)能力9.如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）證明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大??；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF//平面AEC？證明你的結(jié)論.（Ⅰ）證明因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以從而（Ⅲ）解法一以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為所以設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，則令得解得即時，亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時，、、共面.又BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時，BF//平面AEC.解法二當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時，BF//平面AEC，證明如下，證法一取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM//CE.①由知E是MD的中點(diǎn).連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn).所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.證法二因?yàn)樗浴?、共?又BF平面ABC，從而BF//平面AEC.探究創(chuàng)新10.如下圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1、B、M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N（1）求證：EM∥平面A1B1C1D1；（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；（3）設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.（1）證明：設(shè)A1B1的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、FC1.∵E為A1B的中點(diǎn)，∴EFB1B.又C1MB1B，∴EFMC1.∴四邊形EMC1F為平行四邊形.∴EM∥FC1.∵EM平面A1B1C1D1，F(xiàn)C1平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1（2）解：作B1H⊥A1N于H，連結(jié)BH.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N.∴∠BHB1為二面角B—A1N—B1的平面角.∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，∴EM∥A1N.又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1.又∵A1F∥NC1，∴四邊形A1FC1N是平行四邊形.∴NC1=A1F.設(shè)AA1=a，則A1B1=2a，D1N=a.在Rt△A1D1N中，A1N==a，∴sin∠A1ND1==.在Rt△A1B1H中，B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·=a.在Rt△BB1H中，tan∠BHB1===.（3）解：延長A1N與B1C1交于P，則P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，∴P∈BM，即直線A1N、B1C1、BM交于一點(diǎn)P.又∵平面MNC1∥平面BA1B1，∴幾何體MNC1—BA1B1為棱臺.∵S=·2a·a=a2，S=·a·a=a2，棱臺MNC1—BA1B1的高為B1C1=2a，V1=·2a·（a2++a2）=a3，∴V2=2a·2a·a－a3=a3.∴=.●思悟小結(jié)1.直線與平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行，后者又統(tǒng)稱為直線在平面外.2.輔助線（面）是解證線面平行的關(guān)鍵.為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，往往需要作輔助線（面）.教學(xué)點(diǎn)睛1.必須使學(xué)生理解并掌握直線與平面的位置關(guān)系，以及直線與平面平行的判定定理及性質(zhì)定理；結(jié)合本課時題目，使學(xué)生掌握解證線面平行的基本方法.拓展題例【例1】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b.（1）設(shè)E、F分別為AB1、BC1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC；（2）求證：A1C1⊥AB；（3）求點(diǎn)B1到平面ABC1的距離.（1）證明：∵E、F分別為AB1、BC1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC，∴EF∥AC.∴EF∥平面（2）證明：∵AB=CC1，∴AB=BB1.又三棱柱為直三棱柱，∴四邊形ABB1A1為正方形.連結(jié)A1B，則A1B⊥AB1.又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1.∴A1C1⊥AB.（3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1.∴A1到平面ABC1的距離等于B1到平面ABC1的距離.過A1作A1G⊥AC1于點(diǎn)G，∵AB⊥平面ACC1A1，∴AB⊥A1G.從而A1G⊥平面ABC1，故A1G即為所求的距離，即A1G=評述：本題（3）也可用等體積變換法求解. 2、（07全國Ⅱ）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)。(Ⅰ)求證：EF∥平面SAD；(Ⅱ)設(shè)SD=