華中科大2002量子力學(xué)考試題及解答

PAGEPAGE5華中2002基本概念題玻爾在當初建立原子光譜理論時作了哪些基本假設(shè)；該理論在解決實際問題時遇到困難，原因何在；德布羅意又是如何解決這些問題的。答：（1）經(jīng)典軌道加定態(tài)條件：原子系統(tǒng)只存在一系列不連續(xù)的能量狀態(tài),處于這些狀態(tài)的原子其相應(yīng)的電子只能在一定的軌道上繞核作圓周運動,但不輻射能量,這些狀態(tài)稱為原子系統(tǒng)的定態(tài),相應(yīng)的能量分別取不連續(xù)的量值(稱為能級):E1,E2,E3,……(E1<E2<E3<……) 氫原子：電子圓周運動的能量：電子圓周運動的半徑：(2)頻率條件:在某一軌道上運動的電子,由于某種原因而發(fā)生躍遷時,原子就從一定態(tài)過渡到另一定態(tài),同時吸收或發(fā)出光子(單色光波),光子能量(光波頻率)由兩個定態(tài)的能量差來決定:(設(shè)En>EmEn→Em為輻射Em→En為吸收)RH=1.09677576×107/m(3)角動量量子化：作圓周運動的電子其角動量是量子化的：該假設(shè)遇到的困難是為什么電子只能在一定的軌道上繞核作圓周運動,并且不輻射能量,這與經(jīng)典電磁理論矛盾。德布羅意提出電子既有粒子性又有波動性，從而解決了電子只能在一定軌道上運動的問題。但對為什么不輻射仍然沒有給出合理的解釋。簡要說明波函數(shù)和它所描寫的粒子之間的關(guān)系。答：微觀粒子的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。微觀粒子的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開（）：，則在態(tài)中測量粒子的力學(xué)量F得到結(jié)果為的幾率是，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是。以能量這個力學(xué)量為例，簡要說明能量算符和能量之間的關(guān)系。答：在量子力學(xué)中，能量E用算符表示，當體系處于某個能量En的本征態(tài)時，算符對態(tài)的作用是得到這一本征值，即：；當體系處于一般態(tài)時，算符對態(tài)的作用是得到體系取不同能量本征值的幾率幅（從而就得到了相應(yīng)幾率），即：試問電子是什么？電子是一個物理實在，它具有波動和粒子二重性質(zhì)，可以說電子既是粒子又是波，是波和粒子的混合體。但在不同的物理現(xiàn)象中，往往只有其中一方面的性質(zhì)被突現(xiàn)出來，如：在陰極射線和衰變等現(xiàn)象中，電子的粒子性占主導(dǎo)地位；而在晶體衍射、電子的雙縫干涉等現(xiàn)象中，電子的波動性占主導(dǎo)地位。非相對論量子力學(xué)的理論體系建立在一些基本假設(shè)的基礎(chǔ)上，試舉出二個以上這樣的基本假設(shè)，并簡述之。答：(1)微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。（2）力學(xué)量用厄密算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示式中將動量p換為算符得出。表示力學(xué)量的算符組成完全系的本征函數(shù)。(3)將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開（其中）：則在態(tài)中測量力學(xué)量得到結(jié)果為的幾率是，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是。(4)體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程：，其中是體系的哈密頓算符。(5)在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)(全同性原理)。以上選三個作為答案試設(shè)計一實驗，從實驗角度證明電子具有自旋，并對可能觀察到的現(xiàn)象作進一步討論。解：讓電子通過一個均勻磁場，則電子在磁場方向上有上下兩取向，再讓電磁通過一非均勻磁場，則電子分為兩束。設(shè)質(zhì)量為的粒子在如圖所示的一維無限深勢阱中運動求定態(tài)Schrodinger方程的解。解：略見華師02T3（1）通過解本征值方程，試證明自旋在任何方向的投影只能有向上和向下兩個可能的取向。（2）在自旋向上的狀態(tài)中，測量SZ有哪些可能的值？這些可能的值各以多大的幾率出現(xiàn)？SZ的平均值是多少？解：參見華師04T3和華中00T2-3（1）自旋角動量在空間任意方向的投影為：在表象，的矩陣元為其相應(yīng)的久期方程為：即：,所