GenesioTesi混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析研究

畢業(yè)論文論文論文題目Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析研究學(xué)生姓名達(dá)亞偉學(xué)號(hào)20096303專業(yè)班級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)09-2班指導(dǎo)教師李慧民院系名稱數(shù)學(xué)學(xué)院2013年5月28日目錄中文摘要。.....。。。。。。。。。。.。.。..。.。.。.。..。..。.。。。。...。。。.。。..。..。。。...1英文摘要。。..。...。。..。。。.....。...。。.。.。.。。.。..。....。。.....。。。.。.。。..。21引言。。...。.。..。..。..。。。。。.。...。.。..。。。..。....。。.。。.。.。。..。..。。....32混沌2.1混沌的進(jìn)展簡(jiǎn)史。....。。。.。...。。。。..。。。。....。....。。。.。.。。...。。..。42。2混沌的定義.。。...。...。。..。。。。.。。..。。..。.。。。。。。。。.。。。....。.。.。.。52.3混沌的基本特征。。.....。....。。.。。.。。....。.....。.。。。。.。.。。。.。..。.63穩(wěn)定性3.1穩(wěn)定性的定義.。。.。..。。....。.。。。.。.。。。。。.。....。。.。。.。。.。.。.....。73。2線性近似的局部穩(wěn)定性。....。。。.。.。.。。。.。。。。.。...。。.。。.。.。..。。..。83。3Lyapunov函數(shù)方法。。.。。.。.。..。...。.。..。.。。.。。。...。.......。。.。..103。4臨界情形.。。。..。。..。。。..。.。。。......。。。...。...。..。.。....。。.。.。..134正文4。1Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)。。。.....。。.。.。..。。。。..。。。。。。.。..。。。。。。。....174.2Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性的商量.。。。.。。。。。。。....。。。。。。。。。174.3Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性的商量...。。。.。..。..。。。。.。.。。.。.21結(jié)論....。。。..。。.。。。.。。。...。。..。。..。。。。..。.....。.。..。。.....。。..。.。。..25致謝.。。。。..。。.。。。.。.。。。。。。....。。。.。...。.。。。...。。。.。。。。...。..........25參考文獻(xiàn)。..。.。..。。...。..。..。。。。。。。.。。..。.。........。。。.。.。。。.。。。。。。。.26Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析討論摘要：本篇論文主要商量和討論了Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性。俄國數(shù)學(xué)家Lyapunov對(duì)于一般的非線性微分動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性做了開創(chuàng)性討論，這給我們商量Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性供應(yīng)了指導(dǎo)性思路。對(duì)此，我們將這篇論文分五部分展開：第一部分作為引言部分,主要介紹選題的討論背景與意義.其次部分介紹混沌的歷史，相關(guān)的定義，特征以及當(dāng)前混沌學(xué)討論的前景與未解決的混沌學(xué)核心問題。第三部分介紹非線性常微分方程穩(wěn)定性的定義，主要敘述Lyapunov關(guān)于線性近似化商量其局部穩(wěn)定性和利用Lyapunov函數(shù)（即V函數(shù)）商量其全局穩(wěn)定性的一般方法，并且給出一些當(dāng)代關(guān)于穩(wěn)定性的討論成果。第四部分作為正文部分,介紹了Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)及其方程形式,并指出其具有的性質(zhì)，我們運(yùn)用第三部分的方法證明該混沌系統(tǒng)關(guān)于其平衡點(diǎn)是局部不穩(wěn)定的和全局不穩(wěn)定的。第五部分則給出該系統(tǒng)的討論結(jié)論和相關(guān)的參考文獻(xiàn)，并對(duì)相關(guān)人員表達(dá)感謝。關(guān)鍵字：混沌；穩(wěn)定性；Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)；局部線性化；V函數(shù)AnalysisonStabilityofGenesio—TesichaoticsystemAbstract:ThispapermainlydiscussesandstudiesthestabilityoftheGenesio-Tesichaoticsystem.RussianmathematicianLyapunovmadepioneeringresearchwithrespecttothestabilityforgeneralnonlineardifferentialdynamicalsystem,whichprovidesusguidingthoughtabouttheresearchthestabilityoftheGenesio—Tesichaoticsystem。Tothis,wedividethispaperintofiveparts:Thefirstpartastheintroductionpart,mainlyintroducestheresearchbackgroundandsignificanceoftopicselection。Thesecondpartintroducesthehistory，therelevantdefinition,characteristicsofchaosanditscurrentstudyprospects，coreunsolvedproblems。Thethirdpartintroducesthedefinitionofthestabilityofnonlinearordinarydifferentialequation，mainlydiscussesLyapunov’sgeneralmethodonthelinearapproximationtostudythelocalstabilityandtheuseofLyapunovfunction（i.e。,Vfunction)todiscusstheglobalstability，andgivessomecontemporaryresearchresultsaboutstability.Theforthpartasabodypart,introducestheGenesio—Tesichaoticsystemanditsformofequation，andpointsoutitsnature，thewayinwhichweusethethirdpartprovesthatthechaoticsystemaboutitsbalancepointislocalunstableandglobalinstable.Thefifthpartgivestheresearchconclusionofthissystemandtherelatedreferences，andexpressesmygratitudetorelevantpersonnel。KeyWords:Chaos；Stablility;Genesio—Tesichaoticsystem；locallinearization；Vfunction1引言選題的背景與意義現(xiàn)代科學(xué)始于英國物理學(xué)家Newton于1686年發(fā)表的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，對(duì)自然天體的預(yù)言而言，Newton力學(xué)無疑是最為成功的典范,在Newton的著作中給我們演繹了很多精彩的結(jié)果。然而Newton運(yùn)動(dòng)定律只能很好的描述單體及二體的問題，對(duì)稍簡(jiǎn)潔的三體問題無法得到滿意解。19世紀(jì)末20世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家Poincare在討論限制性的三體問題時(shí)遇到了混沌問題，發(fā)現(xiàn)三體引力相互作用將產(chǎn)生簡(jiǎn)潔性，Poincare還指出三體問題中，在肯定范圍內(nèi)，其解是隨機(jī)的。1963年美國氣象學(xué)家Lorenz在討論自然氣象學(xué)時(shí)提出了第一個(gè)混沌模型，從今揭開了世界討論混沌學(xué)的新熱潮.混沌現(xiàn)象及其討論是當(dāng)今世界數(shù)學(xué)界的討論課題與學(xué)術(shù)熱點(diǎn)，它揭示了自然界及人類社會(huì)中普遍存在的簡(jiǎn)潔性,有序和無序的統(tǒng)一，確定性和隨機(jī)性的統(tǒng)一，加深了人們對(duì)客觀世界的熟識(shí)。它在自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中,掩蓋面之大、跨學(xué)科之廣、綜合性之強(qiáng)，進(jìn)展前景級(jí)影響之深遠(yuǎn)都是空前的?；煦缡瞧毡榇嬖谟谧匀唤缰械?，討論發(fā)現(xiàn)有很多系統(tǒng)是混沌的,比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電力系統(tǒng)、大氣系統(tǒng)、天體系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、電路系統(tǒng)、分子運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)等等?；煦缋碚撌墙鼛资瓴胚M(jìn)展起來的活躍的前沿領(lǐng)域，有的學(xué)者甚至將其與量子物理和相對(duì)論一起稱為二十世紀(jì)三項(xiàng)重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，從哲學(xué)、科學(xué)和工程上來說，對(duì)它的討論都具有重大理論與實(shí)際意義.Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)是物理學(xué)中一類很重要的方程，它廣泛用于電路設(shè)計(jì)與其他方向中。該系統(tǒng)以其方程形式簡(jiǎn)潔，電路易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn),并且可以通過時(shí)間尺度變換獲得所需的頻譜范圍，在保密通信的應(yīng)用中有肯定的價(jià)值。現(xiàn)代對(duì)其的討論方向主要是混沌同步討論、耦合混沌同步、自適應(yīng)同步等,有的學(xué)者也將Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)與Coullet混沌系統(tǒng)做比較,得出這兩個(gè)拓?fù)洳坏葍r(jià)的系統(tǒng)，其奇異吸引子的結(jié)構(gòu)具有肯定的相像性的結(jié)論，并采納非線性反饋掌握方法實(shí)現(xiàn)了兩系統(tǒng)之間的同步.鑒于Genesio—Tesi系統(tǒng)的物理學(xué)應(yīng)用前景和數(shù)學(xué)的理論討論前景，本論文主要探究該系統(tǒng)的穩(wěn)定性,分析其平衡點(diǎn)處的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性，這對(duì)深化了解該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，擴(kuò)大該系統(tǒng)應(yīng)用范圍有很深遠(yuǎn)的意義。2混沌我們知道對(duì)于一、二維駐定微分方程組,象平面的軌線圖貌不會(huì)太簡(jiǎn)潔，僅有奇點(diǎn)、極限環(huán)、同宿軌、異宿軌等幾種特殊軌線,而對(duì)于三維及以上的駐定微分方程組，或二維及以上的非駐定微分方程組，其軌線或積分曲線可能消滅混沌現(xiàn)象。Lorenz方程就是一個(gè)典型的模型，而經(jīng)過李天巖、Yorke等人的連續(xù)討論后，開創(chuàng)了混沌科學(xué)的新紀(jì)元。2.1混沌的進(jìn)展簡(jiǎn)史混沌理論是一種兼具質(zhì)性思考與量化分析的方法,用以探討動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中無法用單一的數(shù)據(jù)關(guān)系,而必須用整體，連續(xù)的數(shù)據(jù)關(guān)系才能加以解釋及猜測(cè)之行為。普遍存在的混沌現(xiàn)象，已經(jīng)引起了眾多領(lǐng)域?qū)W者和專家的愛好，混沌的理論及應(yīng)用已成為非線性科學(xué)最重要的前沿內(nèi)容。從數(shù)學(xué)角度上看，混沌是數(shù)學(xué)上為數(shù)不多的沒有統(tǒng)肯定義的概念之一，它的發(fā)現(xiàn)沖擊了Newton的決定論,有的學(xué)者甚至將其譽(yù)為繼相對(duì)論和量子力學(xué)后20世紀(jì)的第三次科學(xué)革命。1954年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A。N。Kolmogorov發(fā)表論文《Hamilton函數(shù)微小變化時(shí)條件周期運(yùn)動(dòng)的保持》，給出了KAM定理的雛形。1963年，他的同學(xué)V。I。Aronld給出了定理的嚴(yán)格證明，瑞典數(shù)學(xué)家J.Moser給出了一個(gè)改進(jìn)的證明,這些討論工作奠定了混沌討論的基礎(chǔ).1963年,美國氣象學(xué)家Lorenz發(fā)表了聞名論文《決定論非周期流》（“Deterministicnon-periodicflow")，得出了廣為人知的“蝴蝶效應(yīng)”，Lorenz系統(tǒng)成為第一個(gè)關(guān)于混沌的物理與數(shù)學(xué)模型,成為后人討論混沌理論的動(dòng)身點(diǎn)與基石。1976年，美國華裔學(xué)者李天巖與其導(dǎo)師Yorke在美國《數(shù)學(xué)月刊》中發(fā)表題為《周期三意味著混沌》（“Periodthreeimplieschaos”)的聞名論文中領(lǐng)先引入“Chaos”這個(gè)英文單詞來表示混沌,不久之后人們驚奇發(fā)現(xiàn)“周期三意味著混沌”是1964年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A。N.Sharkovskii定理的一個(gè)特例。由于此定理的重新發(fā)現(xiàn),也使得Sharkovskii定理也廣為人知。1978年，Mandelbrot用分形(Fractal）一詞來描述不規(guī)章幾何形態(tài)，從而得出“具有奇怪吸引子的混沌具有分?jǐn)?shù)維”的結(jié)論，進(jìn)一步刻畫了混沌的特征。在對(duì)混沌討論的不斷深化的同時(shí)，人們不僅僅滿意于熟識(shí)和發(fā)現(xiàn)混沌，而開頭致力于如何利用“好”的混沌和克服“壞”的混沌，90年月以來國際上的掌握混沌及混沌同步的討論有了突破性的進(jìn)展，并激起理論與實(shí)驗(yàn)應(yīng)用討論的進(jìn)展前潮，使混沌的可能應(yīng)用消滅了契機(jī)，為人們?cè)诶没煦绶矫嬲宫F(xiàn)了十分誘人的應(yīng)用與進(jìn)展前景。2。2混沌的定義混沌的奇異性和簡(jiǎn)潔性目前尚不得人們徹底了解，目前混沌的各種定義是不同領(lǐng)域的學(xué)者從不同側(cè)面給出的,而混沌并沒有國際上所公認(rèn)的定義.下面介紹幾個(gè)影響比較廣的混沌定義：Li-Yorke混沌定義是目前比較公認(rèn)的且影響較大的混沌數(shù)學(xué)定義，它從區(qū)間映射的角度動(dòng)身來定義，由1975年李天巖及其導(dǎo)師Yorke提出.定理2。1（Li-Yorke定理)設(shè)是上的連續(xù)自映射，若有3周期點(diǎn)，則對(duì)任何正整數(shù)n，有n周期點(diǎn)。定義2。1（Li—Yorke混沌定義）區(qū)間上的連續(xù)自映射，如果滿意下面條件，便可確定它有混沌現(xiàn)象：（1）周期點(diǎn)上的周期無上界；（2)閉區(qū)間上存在不行數(shù)子集,滿意：a。對(duì)任意，有b。對(duì)任意，有c。對(duì)任意和的任意周期點(diǎn),有1989年，Devany從拓?fù)浣嵌葎?dòng)身給出了更為直觀，便于理解的混沌定義。定義2.2（Devany混沌定義)設(shè)是一個(gè)度量空間，是上的一個(gè)映射,稱映射是混沌的，如果以下三條性質(zhì)成立:映射是初值敏感依靠的,如果存在，對(duì)于任何與的一個(gè)領(lǐng)域，存在和自然數(shù),使得;映射的周期點(diǎn)在中是稠密的；映射是拓?fù)鋫鬟f的，如果對(duì)任何開集，存在自然數(shù),使得1990年，Wiggins給出了一個(gè)更簡(jiǎn)潔的定義。定義2。3（Wiggins混沌定義）記集合，稱映射是混沌的，如果以下兩條性質(zhì)成立：在中是對(duì)初值敏感依靠的;在中是拓?fù)鋫鬟f的定義2。4(Morotto混沌定義)設(shè)為維歐氏空間,為的范數(shù)，稱連續(xù)映射為混沌的，若以下性質(zhì)成立：存在一個(gè)正整數(shù)滿意,對(duì)于任意的整數(shù)，有周期的點(diǎn);存在Scrambled集，即為一不行數(shù)非周期點(diǎn)集滿意存在，；，，；,，;存在的一個(gè)不行數(shù)子集，，;2。3混沌的基本特征初值敏感性對(duì)非線性系統(tǒng)，從兩個(gè)極其相近的初值動(dòng)身的兩條軌道，短時(shí)間內(nèi)差異似乎不大,而在足夠的長的時(shí)間里，會(huì)產(chǎn)生顯著的差異.有界性混沌是有界的，其軌線始終在一個(gè)確定的區(qū)域之內(nèi)，這個(gè)區(qū)域叫做混沌吸引域。分維性混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有多葉、多層結(jié)構(gòu)，且葉層越分越細(xì)，表現(xiàn)為無限次的自相像過程,其在相空間的無限次折疊形成了有無窮次的自相像結(jié)構(gòu)-奇怪吸引子。內(nèi)隨機(jī)性在輸入確定性的狀態(tài)后卻產(chǎn)生類似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這種由內(nèi)部產(chǎn)生的性質(zhì),叫做內(nèi)隨機(jī)性，它沖擊了Newton的機(jī)械決定論.遍歷性混沌系統(tǒng)在其混沌吸引域里是遍歷的，即在有限時(shí)間內(nèi)混沌系統(tǒng)的軌道經(jīng)過混沌區(qū)域的每一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)。普適性指不同系統(tǒng)在趨于混沌形態(tài)時(shí)所表現(xiàn)的某種共同特征，它不依簡(jiǎn)略的混沌方程和參數(shù)而變，是混沌內(nèi)在規(guī)律性的一種體現(xiàn).混沌動(dòng)力學(xué)討論的主要內(nèi)容主要包括：一是混沌的基本理論討論，包括混沌的數(shù)學(xué)定義、混沌吸引子的發(fā)現(xiàn)、KAM定理的建立、混沌的表征、混沌的分析方法、混沌普適性的討論、通向混沌的道路、周期軌道的提取等，現(xiàn)已取得十分豐碩的成果，但還遺留一些尚未解決的核心問題，比如經(jīng)典Lorenz吸引子的結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)嚴(yán)格意義下的混沌、產(chǎn)生混沌的數(shù)學(xué)機(jī)理等；二是在自然界中發(fā)現(xiàn)并且證明混沌現(xiàn)象的存在，到目前為止，絕大部分學(xué)科領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象的存在;三是混沌掌握、同步和反掌握以及混沌的應(yīng)用討論,這是應(yīng)用領(lǐng)域極為關(guān)注的問題.以上幾個(gè)方向相互依存、相互貫穿、相互促進(jìn)，共同推動(dòng)了混沌學(xué)科的進(jìn)展。3穩(wěn)定性穩(wěn)定性理論是微分方程的一個(gè)重要分支，是由討論運(yùn)動(dòng)問題而進(jìn)展起來的。俄國偉大的數(shù)學(xué)家Lyapunov（Ляпунов。A.M)經(jīng)過長期深化的鉆研,在1892年發(fā)表他的經(jīng)典著作《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題》中,首先給穩(wěn)定性概念下了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，并建立了一系列極為豐富的理論,從而奠定了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)。3。1穩(wěn)定性的定義對(duì)于一般的非線性微分方程組為討論該方程組的特解接近的解的性態(tài)，通常利用變換把該方程組化為其中顯然有故不失一般性，考慮方程組（3.1）的零解四周的性態(tài)定義3。1如果對(duì)任意給定的，存在（一般與和有關(guān)），使當(dāng)任一滿意時(shí)，方程組（3.1）的由初值條件確定的解,對(duì)一切均有則稱方程組（3.1)的零解為穩(wěn)定的。如果方程組(3。1）的零解穩(wěn)定,且存在這樣的使當(dāng)時(shí)，滿意初值條件的解均有則稱方程組(3。1）的零解為漸近穩(wěn)定的.如果漸近穩(wěn)定，且存在域，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)滿意初值條件的解均有則稱稱為（漸近）穩(wěn)定域或吸引域。若穩(wěn)定域?yàn)槿臻g，即，則稱零解全局(漸近）穩(wěn)定的。當(dāng)零解不是穩(wěn)定的,稱它為不穩(wěn)定的。即:如果對(duì)某個(gè)給定的不管怎樣小,總有一個(gè)滿意，使由初值條件所確定的解,至少存在某個(gè)使得，則稱方程組（3。1)的零解為不穩(wěn)定的.3。2線性近似的局部穩(wěn)定性對(duì)于駐定微分方程組稱滿意方程：的點(diǎn)為平衡點(diǎn)。若微分方程組的平衡點(diǎn)為，做變換：則新的微分方程組以為平衡點(diǎn)。不失一般性,考慮一階常系數(shù)線性微分方程組（3.2)其系數(shù)矩陣的特征方程(3.3）定理3。1若特征方程(3。3)的根均具有復(fù)實(shí)根，則方程組(3.2）的零解是漸近穩(wěn)定的；若特征方程（3.3）具有正實(shí)部的根，則方程組（3。2）的零解是不穩(wěn)定的;若特征方程（3。3)沒有正實(shí)部的根，但有零根和具零實(shí)部的根，則方程組（3.2）的零解可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的,這要看零根或具零實(shí)部的根其重?cái)?shù)是否等于1而定?？紤]非線性微分方程組(3。4）其中，且滿意條件（3。5）定理3.2若特征方程（3.3)沒有零根和零實(shí)部的根,則非線性微分方程組（3。4)的零解的穩(wěn)定性態(tài)與其線性近似的方程組（3。2）的零解的穩(wěn)定性態(tài)全都.這就是說，當(dāng)特征方程(3.3）的根具有負(fù)實(shí)部時(shí)，方程組(3。4）的零解是漸近穩(wěn)定的，而當(dāng)特征方程（3。3）具有正實(shí)部的根時(shí),其零解是不穩(wěn)定的。定理3.3(Routh-Hurtiwz判別法)設(shè)給定常系數(shù)的n次代數(shù)方程(3.6）其中，作行列式其中則代數(shù)方程（3。6）的一切根均具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是下列不等式同時(shí)成立：推論3.1方程(3.6）全部根均具有負(fù)實(shí)部的必要條件是推論3。2方程（3。6）的根均具有負(fù)實(shí)部的必要條件是；充分條件是(當(dāng)時(shí)，應(yīng)去掉上式中的等號(hào)）3。3Lyapunov函數(shù)方法Lyapunov創(chuàng)立了討論穩(wěn)定性的一整套理論和方法，包括直接判別的第一方法和應(yīng)用V函數(shù)判別的其次方法，第一方法是尋求微分方程組的特解或通解,以級(jí)數(shù)的形式將它表示出來,最簡(jiǎn)潔的級(jí)數(shù)形式是Taylor級(jí)數(shù)，在這基礎(chǔ)上討論穩(wěn)定性問題;其次方法則借助一個(gè)所謂的Lyapunov的函數(shù)和依據(jù)微分方程組所計(jì)算的全導(dǎo)數(shù)的符號(hào)性質(zhì)來直接推斷穩(wěn)定性問題，下面我們就Lyapunov其次方法作個(gè)說明。定義3.2如果有及存在,使在域上除了可取零值之外，保持同一符號(hào)，則稱是常號(hào)的。如，則稱為常正的；如，則稱為常負(fù)的.定義3.3對(duì)于不依靠于的函數(shù)，如果存在，使當(dāng)及時(shí),保持同一符號(hào)，則稱為定號(hào)的，如恒有，則稱為定正的；如恒有,則稱為定負(fù)的。定義3.4如果有及存在，使在域上有不等式,其實(shí)為某個(gè)正常數(shù),則稱是有界的。設(shè)為有界函數(shù),如果對(duì)于任一個(gè)，有存在,使當(dāng)及對(duì)一切（是某一常數(shù)）時(shí)，有不等式，則稱為有無限小上界。考慮微分方程組（3。7）在某域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，再假設(shè)函數(shù)關(guān)于全部變?cè)钠珜?dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，以方程（3。7）的解代入，然后對(duì)求導(dǎo)數(shù)這樣求得的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)通過方程（3。7）的全導(dǎo)數(shù).定理3.41如果對(duì)微分方程組（3。7）可以找到一個(gè)定號(hào)函數(shù)，其通過（6）的全導(dǎo)數(shù)為與符號(hào)相反的常號(hào)函數(shù)或恒等于零，則方程組（3.7)是穩(wěn)定的.2如果有定號(hào)函數(shù)，它具有無限小上界，其通過（3.7）的全導(dǎo)數(shù)與為符號(hào)相反的定號(hào)函數(shù)，則方程組（3。7）是漸近穩(wěn)定的。3如果存在函數(shù)，滿意下列條件：I)有界；II)存在某常數(shù)，使通過（3.7）的全導(dǎo)數(shù)可以表示為其中為常數(shù)，而為常號(hào)函數(shù)或恒等于零；III）當(dāng)時(shí),對(duì)于一切，永久有任意小的存在，使。那么,方程組（3。7）是不穩(wěn)定的。定理3。5設(shè),且在原點(diǎn)鄰域內(nèi)負(fù)定，當(dāng)正定時(shí)平凡解是穩(wěn)定的；當(dāng)嚴(yán)格存在負(fù)值區(qū)時(shí)，平凡解是不穩(wěn)定的.設(shè),且在原點(diǎn)鄰域內(nèi)正定，當(dāng)負(fù)定時(shí)平凡解是穩(wěn)定的;當(dāng)嚴(yán)格存在正值區(qū)時(shí),平凡解是不穩(wěn)定的。定理3.6如果對(duì)于方程組（3.7）有這樣的函數(shù)存在：I)有無限小上界；II）為定號(hào)；III）對(duì)于一切，永久有任意小的存在，使。那么，方程組（3。7）是不穩(wěn)定的。關(guān)于Lyapunov的V函數(shù)構(gòu)造的定理：考慮一階常系數(shù)線性微分方程組(3。2）其系數(shù)矩陣的特征方程(3。3）定理3.7如果特征方程(3.3）的根不滿意任何關(guān)系式其中為非負(fù)整數(shù),且，則對(duì)于任給的次型，永久有一個(gè)且只有一個(gè)次型滿意偏微分方程（3.8）定理3.8如果特征方程（3.3）的一切根的實(shí)數(shù)部均為負(fù)，又如為定號(hào)的（偶）次型，則必定有滿意（3.8)式的次型，而且它是和符號(hào)相反的定號(hào)函數(shù).定理3。9如果特征方程（3。3）的根中至少有一個(gè)根的實(shí)數(shù)部為正,又其個(gè)根滿意定理3.7的條件，而為（偶)次型定號(hào)函數(shù)，則必定有滿意（3。8)式的次型，且它不是與反符號(hào)的常號(hào)函數(shù)。定理3.10如果特征方程（3.3)的根至少有一根的實(shí)數(shù)部為正，又如為給定的（偶）次型定號(hào)函數(shù)，則永久有常數(shù)和次存在,滿意方程：且不是與反符號(hào)的常號(hào)函數(shù)。Lyapunov其次方法的函數(shù)引起了一系列要求解決的問題:Lyapunov只提出以函數(shù)的性質(zhì)決定穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性的理論,并應(yīng)用這一理論簡(jiǎn)略探討了駐定的常微分方程組和周期系數(shù)的方程組的穩(wěn)定性問題。但對(duì)于一切更簡(jiǎn)潔的微分方程組，是否有函數(shù)存在？函數(shù)的構(gòu)造方法如何?如何借助函數(shù)以確定漸近穩(wěn)定域？是否借助函數(shù)，指示與充分小的相對(duì)應(yīng)的函數(shù)的估值這三個(gè)基本問題過去和現(xiàn)在仍然是討論的對(duì)象。3.3臨界情形基于Lyapunov的說法，他對(duì)駐定方程提出臨界情形的概念，把當(dāng)特征方程(3.3）實(shí)數(shù)部為零的根本是等于零的情形稱為第一臨界情形，把實(shí)數(shù)部為零的根是一對(duì)共軛純虛根的情形稱為其次臨界情形。第一臨界情形:設(shè)有個(gè)微分方程所組成的方程組,其特征方程除有一個(gè)零根外，其余個(gè)根都有負(fù)實(shí)部，則總可以經(jīng)過非奇異的常系數(shù)線性變換,將方程轉(zhuǎn)化為下列形式:作方程組由此求得正則解將正則解代入并作記號(hào)則此時(shí)只能產(chǎn)生下面兩種情形之一:一般情形特殊情形在情形（1)中，如果為奇數(shù)而，則原方程組是漸近穩(wěn)定的；如果為奇數(shù)而，或?yàn)榕紨?shù)，則原方程組是不穩(wěn)定的.在情形（2）中，原方程組是穩(wěn)定的,擔(dān)不是漸近穩(wěn)定的。其次臨界情形：設(shè)給定方程組其中是實(shí)常數(shù),使特征方程有一對(duì)純虛根，而其余的一切根均有負(fù)實(shí)部；為的正則函數(shù)。作方程組在假定的條件下,必可求得一組非零解且作線性變換則原方程組化為如下形式：這里是實(shí)常數(shù)，使特征方程的一切根均具有負(fù)實(shí)部;為的正則函數(shù),其展式不含低于二次之項(xiàng)進(jìn)一步地，不失一般性假定，下面就一般情形而言，處理方法僅以采納極坐標(biāo)法進(jìn)行（也可以直接進(jìn)行）令,并以代替作為獨(dú)立變量，得方程組其中；及均為的正則函數(shù)，且對(duì)于一切實(shí)為全都正則，其按的冪的展開式不含低于二次之項(xiàng)，且展式系數(shù)為的周期函數(shù)，并可表為有限Fourier級(jí)數(shù)尋求滿意變換后方程組的級(jí)數(shù)其中為任意常數(shù)；是的周期函數(shù)，周期是若，其中為不等于零的常數(shù)，是的周期函數(shù)，周期為當(dāng)，原方程組是漸近穩(wěn)定的；當(dāng),原方程組是不穩(wěn)定的。近代關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定的定理定理3.11（Малкин.И.Г）如果對(duì)于微分方程組（3.7)可以求得這樣的具有無限小上界的定正函數(shù),并且它通過微分方程組（3.7)的全導(dǎo)數(shù)與某個(gè)定負(fù)函數(shù)之差在任何固定域中,當(dāng)時(shí)全都趨于零,則方程組（3。7）是穩(wěn)定的。定理3。12（Marachkoff）設(shè)微分方程組（3.7）中的每一個(gè)行向量在域中是有界的,并且存在定正函數(shù)，而全導(dǎo)數(shù)為定負(fù)的，則方程組（3。7）是漸近穩(wěn)定的。近代關(guān)于系統(tǒng)不穩(wěn)定的定理定理3.13（Четаев.Н。Г)如果對(duì)于微分方程組（3。7)有滿意下列的函數(shù)存在：I)對(duì)于一切,在原點(diǎn)任意小的領(lǐng)域中，有域存在；II)在域中，函數(shù)有界;III)通過微分方程組（3。7)的全導(dǎo)數(shù)在域?yàn)槎ㄕ齽t方程組（3.7）是不穩(wěn)定的。定理3。14（Переидский。К。П）如果對(duì)于微分方程組(3。7）有滿意下列的函數(shù)存在：I)對(duì)于一切，在原點(diǎn)任意小的領(lǐng)域中,有域存在；II）在域中，函數(shù)有界；III)通過微分方程組(3。7）的全導(dǎo)數(shù)在域內(nèi)滿意不等式：，此處為非負(fù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿意不等式：,及對(duì)任何,積分發(fā)散則方程組(3。7）是不穩(wěn)定的。4正文4.1Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的方程為（4。1)其中為3個(gè)正實(shí)數(shù)，且滿意定義：常微分方程描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),有一大類系統(tǒng),在運(yùn)動(dòng)時(shí),其相空間容積是收縮的，這類系統(tǒng)稱為耗散系統(tǒng)；當(dāng)容積不變時(shí)系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)；當(dāng)容積擴(kuò)大時(shí)系統(tǒng)稱為擴(kuò)張系統(tǒng).可以通過系統(tǒng)相空間容積變化率小于、等于或者大于零來推斷系統(tǒng)是耗散、保守或擴(kuò)張的.性質(zhì)：對(duì)于Genesio—Tesi系統(tǒng)（4.1），可以得因此系統(tǒng)(4。1)是耗散系統(tǒng).容積隨時(shí)間推移收縮為,即系統(tǒng)(4.1）的解是有界的。4。2Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性的商量對(duì)于系統(tǒng)（4.1），依據(jù)平衡點(diǎn)定義，聯(lián)立方程解得兩個(gè)平衡點(diǎn)：I）對(duì)局部線性化記，滿意，且從而依據(jù)定理3。2，可對(duì)其線性近似化處理。線性化方程組（4。1），有方程組：化為矩陣形式，即為：只需推斷系數(shù)矩陣的特征方程的根的性質(zhì)（4。2）由定理3。2知,若特征方程（4。2）沒有零根或零實(shí)部的根，則當(dāng)根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)，方程組(4.1）的零解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)根具有正實(shí)部時(shí)，方程組(4。1）的零解是不穩(wěn)定的，而若特征方程（4。2)有零根或零實(shí)部的根,則對(duì)應(yīng)地需要考慮兩類臨界情形(參見3.4）。定理4.1特征方程（4。2）沒有零根和零實(shí)部的根，同時(shí)有正實(shí)部的根證明：由于，則知特征方程(4。2)沒有零根,1.先證方程（4。2)沒有零實(shí)部的根反證：假設(shè)方程（4.2）有零實(shí)部的根，設(shè)為，代入方程中有則有可得,與沖突，從而方程（4。2）沒有零實(shí)部的根2。再證方程（4。2)有正實(shí)部的根利用定理3。3（Routh-Hurwitz判別法)給出特征方程所對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程根的實(shí)部均為負(fù)的充分必要條件考慮相應(yīng)的代數(shù)方程：(4.3）從而代數(shù)方程（4。3）的一切根均具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是：即然而對(duì)于Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)，都為正數(shù)，且滿意（沖突）則知特征方程（4。2)的一切根非均有負(fù)實(shí)部，又知方程（4。2）無零根和零實(shí)部的根，可知方程（4.2）肯定有正實(shí)部的根。由定理3。2知，Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)（4。1）關(guān)于平衡點(diǎn)是局部不穩(wěn)定的II)對(duì)局部線性化對(duì)混沌系統(tǒng)（4.1)做變換，令則(4。4）記，則，且滿意從而依據(jù)定理3。2,可對(duì)其線性近似化處理.線性化方程組（4。5），有方程組：化為矩陣形式，即為：只需推斷系數(shù)矩陣的特征方程的根的性質(zhì)(4。5）由定理3.2知，若特征方程（4.5）沒有零根或零實(shí)部的根，則當(dāng)根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)，方程組(4。4）的零解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)根具有正實(shí)部時(shí)，方程組（4。4)的零解是不穩(wěn)定的，而若特征方程(4。5）有零根或零實(shí)部的根,則對(duì)應(yīng)地需要考慮兩類臨界情形（參見3.4）。定理4。2特征方程（4。5)沒有零根和零實(shí)部的根，同時(shí)有正實(shí)部的根證明：由于，則知特征方程（4。5）沒有零根，1。先證方程（4。5)沒有零實(shí)部的根反證:假設(shè)方程（4.5)有零實(shí)部的根，設(shè)為,代入方程中有則有可得,與都為正數(shù)沖突，從而方程（4.5)沒有零實(shí)部的根2.再證方程(4.5）根均有負(fù)實(shí)部利用定理3.3(Routh-Hurwitz判別法）給出特征方程所對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程根的實(shí)部均為負(fù)的充分必要條件考慮相應(yīng)的代數(shù)方程：(4.6）從而代數(shù)方程（4。6）的一切根均具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是：然而對(duì)于Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)，都為正數(shù)，且滿意(沖突)則知特征方程（4.5）的一切根非均有負(fù)實(shí)部，又知方程(4.5）無零根和零實(shí)部的根，可知方程（4.5）肯定有正實(shí)部的根.由定理3。2知，新系統(tǒng)（4。4）關(guān)于平衡點(diǎn)是局部不穩(wěn)定的，即原Genesio-Tesi系統(tǒng)（4.1）關(guān)于平衡點(diǎn)是局部不穩(wěn)定的4。3Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)全局穩(wěn)定性的商量對(duì)平衡點(diǎn)商量其全局穩(wěn)定性不妨記,則該混沌系統(tǒng)為設(shè)Lyapunov函數(shù)，則其全導(dǎo)數(shù)設(shè)，則有當(dāng)充分小時(shí),對(duì)于任意成立則考慮二次型矩陣二次型矩陣正定的充要條件是：由于任意，則該充要條件可變?yōu)椋寒?dāng)所取的滿意該充要條件時(shí)，例如則正定，而是不定的，那么嚴(yán)格存在正值區(qū)，由定理3。5知混沌系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是不穩(wěn)定的。（也可就負(fù)定，嚴(yán)格存在負(fù)值區(qū)商量)對(duì)平衡點(diǎn)商量其全局穩(wěn)定性不妨記，則經(jīng)變換后的混沌系統(tǒng)為設(shè)Lyapunov函數(shù)，則其全導(dǎo)數(shù)設(shè)，則有當(dāng)充分小時(shí)，成立則考慮二次型矩陣二次型矩陣正定的充要條件是：由于任意，則該充要條件可變?yōu)椋寒?dāng)所取的滿意該充要條件時(shí)，例如則正定，而是不定的，那么嚴(yán)格存在正值區(qū)，由定理3.5知變換后的系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是不穩(wěn)定的,即原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。（也可就負(fù)定，嚴(yán)格存在負(fù)值區(qū)商量）結(jié)論本篇論文對(duì)電路設(shè)計(jì)和通信平安中有廣泛應(yīng)用的Genesio—Tesi混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析討論,通過對(duì)該系統(tǒng)的局部線性化,應(yīng)用Hurwitz判別法知該混沌系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的線性化矩陣在沒有零特征根與零實(shí)部特征根的情形下，有正實(shí)部特征根,從而推導(dǎo)出Genesio—Tsei混沌系統(tǒng)的兩個(gè)平衡點(diǎn)都是局部不穩(wěn)定的；通過構(gòu)造Lyapunov的V函數(shù),應(yīng)用Lyapunov關(guān)于V函數(shù)判別微分方程組穩(wěn)定性的方法（借助了文獻(xiàn)[9］的一個(gè)定理）,推導(dǎo)出該混沌系統(tǒng)的兩個(gè)平衡點(diǎn)也是全局不穩(wěn)定的。致謝不知不覺中，在歷時(shí)將近三個(gè)月的奮斗中終究將這篇論文寫完，回顧這個(gè)過程，從選題、收集材料到最后的定稿,一路上遇到了很多的困難和障礙，讓我感到這一路的辛苦是多么刻骨銘心。在此，感謝合肥工業(yè)高校,是你,讓我在四年的同學(xué)生涯中漸漸地明白了人生的真諦：一個(gè)人,可以沒歷史豐碑般偉大，但應(yīng)該學(xué)會(huì)奮斗終生；一個(gè)人，可以沒有智者觀察世界般悟性，但要懂得去擁有生活，喜愛生活。在論文的寫作過程中，有一位老師將不得不提到，她就是我的論文指導(dǎo)老師—李慧民老師,感謝她對(duì)我進(jìn)行了無私的指導(dǎo),并且不厭其煩的幫助進(jìn)行論文的修改和改進(jìn)，向我提出了一些建設(shè)性建議.另外，在校圖書館查找資料的時(shí)候，圖書館的老師也給我供應(yīng)了很多方面的支持與幫助.在此向幫助和指導(dǎo)過我的各位老師表示最誠心的感謝！

感謝這篇論文所涉及到的各位學(xué)者