第二十六節(jié) 指對(duì)共生式技巧之切線放縮-解析版

第二十六節(jié)指對(duì)共生式技巧之切線放縮知識(shí)與方法當(dāng)要證明的不等式中既含有，又含有時(shí)，一般我們形象地稱之為指對(duì)共生式，這類問題直接構(gòu)造差函數(shù)進(jìn)行研究可能會(huì)較為困難，突破這一困難一般采用指對(duì)放縮、分離雙函數(shù)、同構(gòu)等技巧.這一小節(jié)先給大家介紹切線放縮的技巧，常用的切線放縮有：（1）；（2）；（3）；（4）.在證明不等式的過程中，可通過上述常見的切線放縮，將或放縮掉，再來證明不等式，這是指對(duì)共生式一種可以考慮的方向.注意：解題中若要用不等式、、等進(jìn)行放縮，需要先給出證明.由于本節(jié)會(huì)反復(fù)用到這些不等式，為了避免繁瑣的重復(fù)論證，本節(jié)所給的答案中，以上不等式直接用易證代替.典型例題【例l】證明：.【解析】證法1：易證，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，從而，故.證法2：易證，故，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故所以，從而，故.證法3：一方面，，所以，另一方面，，顯然當(dāng)時(shí)，，所以，故.變式對(duì)任意的，證明：.【解析】證法1：易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，令，則所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，又，所以.證法2：易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，設(shè)，則，，故在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又，所以，從而令，則，且，易得，所以，故，從而，故，所以.證法3：易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，另一方面，，所以，而，所以，從而，故.【反思】看到指對(duì)共生結(jié)構(gòu)，可以考慮運(yùn)用切線放縮把指數(shù)放掉，也可以考慮把對(duì)數(shù)放掉，當(dāng)然，如果條件允許，兩個(gè)都放掉就更簡(jiǎn)單了.【例2】已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a取值范圍；（2）若，求的最大值.【解析】（1）由題意，在上恒成立，從而，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，故?shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）解法1：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，故在上單調(diào)遞減，從而，又，所以，兩邊取對(duì)數(shù)得：，故，即的最大值為.解法2：設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，故，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，結(jié)合，知在上有零點(diǎn)，即方程有實(shí)根，所以.【反思】①我們不只要學(xué)會(huì)運(yùn)用這一切線放縮，它的變形也要會(huì)運(yùn)用；②若要利用切線放縮求最值，一定要驗(yàn)證等號(hào)能取到.強(qiáng)化訓(xùn)練1.函數(shù)的最大值為_______.【解析】解法1：由題意，，所以，，從而在上，在上，故.解法2：易證，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故.【答案】12.函數(shù)的最大值為_______.【解析】由題意，，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故①，因?yàn)?，所以，兩端取?duì)數(shù)得：，從而，代入式①得：，故.解法2：由題意，，易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，容易驗(yàn)證該等號(hào)能成立，所以.【答案】3.函數(shù)的最小值為_______.【解析】由題意，，易證，所以，故，從而，，所以在上，在上，故.解法2：由題意，易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故.【答案】04.證明：.【解析】證法1：易證，所以，下面證明，設(shè)，，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又，所以，從而，因?yàn)?，所以，從而，故，所以，從?證法2：易證，所以，下面證明，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，所以，綜上所述，不等式對(duì)任意的恒成立，所以.5.不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（）.A. B. C. D.【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，從而，因?yàn)楹愠闪?，所?【答案】D6.已知函數(shù)f，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若，求證：.【解析】（1）由題意，，因?yàn)樵谏显龊瘮?shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，從而，顯然函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，從而，因?yàn)?，所以，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）解法1：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，且當(dāng)時(shí)，，所以有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故①，因?yàn)?，所以，兩邊取?duì)數(shù)得：，代入式①可得，所以.解法2：易證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，取等條件是，且，即，即.7.已知函數(shù)，其中（1）若，求a的取值集合；（2）證明：.【解析】（1）由題意，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故若恒成立，則①，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以②，由①②可得只能，且，所以a的取值集合為.（2）證法1：易證當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，，則，，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，又，所以.證法2：易證，所以，易證當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以，從而，故.8.（2013·新課標(biāo)II卷）已知函數(shù)①（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求m并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：【解析】（1）由題意，，，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得：，故，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證法1：當(dāng)時(shí)，，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合，知存在唯一的使且，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故①，因?yàn)?，所以，兩邊取?duì)數(shù)得：，代入①得：，所以，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.證法2：當(dāng)時(shí)，，下面先證，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，再證，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上所述，有，且兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立，所以，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.9.設(shè)函數(shù)，其中（1）若在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，證明：【解析】（1）解法1：由題意，，且恒成立，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以，故在上單調(diào)遞減，從而，因?yàn)楹愠闪?，所以，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.解法2：由題意，，且恒成立，所以，易證，，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）證法1：當(dāng)時(shí)，，下面證明，只需證，當(dāng)時(shí)，顯然，所以不等式成立，下面證明當(dāng)時(shí)該不等式也成立，令，則，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，又，，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故①，又，所以，代入式①得：，由可得，，所以，從而，綜上所述，對(duì)任意的，都有，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以.證法2：當(dāng)時(shí)，，易證，所以，令，則，易證，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，因?yàn)?，所?10.已知函數(shù)，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a?。?）中的最大值，證明：.【解析】解法1：由題意，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，因?yàn)楹愠闪?，所以，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.解法2：由題意，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，從而，因?yàn)?，所以，解得：；?dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，不合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解法3：由題意，，易證，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，又當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以，故?shí)數(shù)a的