第二十六講圓錐曲線解析版

第二十六講：橢圓、雙曲線、拋物線【考點(diǎn)梳理】求曲線的軌跡方程直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法橢圓方程橢圓相關(guān)計(jì)算（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義（2）通徑:過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦,其長(zhǎng)焦點(diǎn)弦：橢圓過焦點(diǎn)的弦。最短的焦點(diǎn)弦為通經(jīng)，最長(zhǎng)為。（3）最大角:是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)是橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，為最大角。（4）橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。焦點(diǎn)三角形的面積，其中（注意公式的推導(dǎo)）雙曲線（1）雙曲線的通徑過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長(zhǎng)為．（2）點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系對(duì)于雙曲線，點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于．點(diǎn)在雙曲線外部，等價(jià)于結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來分析．（3）雙曲線常考性質(zhì)性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù);性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（4）雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）（5）雙曲線的切線點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．若點(diǎn)在雙曲線外，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為拋物線（1）、焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．（2）、焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為．焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．（3）、拋物線的通徑過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為．（4）、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：（5）、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上【典型題型講解】考點(diǎn)一：橢圓【典例例題】例1．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）若橢圓的焦距為6，則實(shí)數(shù)（

）A．13 B．40 C．5 D．【答案】．A【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦距為6，可知，則，所以，所以，解得：.故選：A.例2．（2022·廣東珠海·高三期末）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左頂點(diǎn)A到上頂點(diǎn)B的距離為，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（不同于A，B兩點(diǎn)），且直線時(shí)，求F在l上的射影H的軌跡方程．【答案】21．(1)，離心率為(2)（1）由題意可得：，，，可得，，，所以橢圓C的方程為，離心率為．（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)代入橢圓方程，得：．設(shè)，，則．因?yàn)橹本€，垂直，斜率之積為，所以，所以．將代入，整理化簡(jiǎn)得：，所以或．由直線，當(dāng)時(shí)，直線l經(jīng)過，與B點(diǎn)重合，舍去，當(dāng)時(shí)，直線l經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，解得，舍去．綜上所述，直線l經(jīng)過定點(diǎn)，而F在l上的射影H的軌跡為以為直徑的圓，其，，所以圓心，半徑，所以圓的方程為，即為點(diǎn)H的軌跡方程．【方法技巧與總結(jié)】標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，，軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東佛山·高三期末）（多選）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，且，點(diǎn)P在C上，線段與交于Q，，則（

）A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C上存在點(diǎn)K，使得C．直線的斜率為 D．平分【答案】ACD【詳解】令橢圓半焦距為c，則，由得，，橢圓，，而，則點(diǎn)，對(duì)于A，橢圓C的離心率，A正確；對(duì)于B，設(shè)，即有，，即為銳角，B不正確；對(duì)于C，直線的斜率，C正確；對(duì)于D，直線的方程為，點(diǎn)Q到直線的距離，即點(diǎn)Q到直線與的距離相等，則平分，D正確.故選：ACD2．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知橢圓：與圓：，若在橢圓上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是________.【答案】【詳解】設(shè)過的兩條直線與圓分別切于點(diǎn)，由兩條切線相互垂直，知：，又在橢圓C1上不存在點(diǎn)P，使得由P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，所以，即得，所以，所以橢圓C1的離心率，又，所以.故答案為：.3.（2022·廣東汕尾·高三期末）已知分別是橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)P，使得，的面積為，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【詳解】當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，故只需，即，，解得：．故答案為：.4．（2022·廣東肇慶·二模）已知點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，直線的斜率為，則橢圓C的離心率為（

）A．B．C． D．【答案】D【詳解】如圖，由，得，故．因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以，又，所以，，又，故，得，所以.故選：D．5．（2022·廣東汕頭·二模）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線AB過與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)為正三角形時(shí)，該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)，則有，由橢圓的定義可知：，，解得：，，在中，由余弦定理可知：，故選：B6．（2022·廣東中山·高三期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為,直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程若是橢圓上一點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)與直線平行的直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為,且,求的最大值【答案】（1）（2）【詳解】設(shè)橢圓的焦距為,則橢圓的方程化為由得由條件知橢圓的方程為.由知,過與直線平行的直線方程由得設(shè),則由點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),的最大值為7．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的左，右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，，．(1)求橢圓C的方程；(2)不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記直線l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)證明見解析，(－5,0).(1)由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(c，0)．∵，∴解得從而b2＝a2－c2＝3．∴橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，，．∵直線l不過點(diǎn)A，因此－2k＋m≠0．由得．時(shí)，，，∴．由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程為y＝kx＋5k，恒過定點(diǎn)(－5,0).8．（2022·廣東潮州·高三期末）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A，B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得為定值(1)解：由離心率為，得，及，又以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為，且與直線相切，所以，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)解：假設(shè)存在，設(shè)，聯(lián)立,消整理得，，設(shè)，則，由，則，要使上式為定值，即與無關(guān)，則應(yīng)，即，此時(shí)為定值，所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.9．（2022·廣東東莞·高三期末）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，且，點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(1)由題知，得，又因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，則，解得，所以，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以直線的方程是，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，又因?yàn)楹褪卿J角，所以.10．（2022·廣東深圳·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），記直線AM，AN的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，．(1)求C的方程；(2)證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.(1)∵在上，∴，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，將代入，并整理得，解得，或，∴，解得，∴橢圓的方程為：.(2)由題意知，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得∴，且，∴，∴，即為定值.11．（2021·廣東汕頭·高三期末）已知橢圓的離心率為，又點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，試探究：是否為定值，如果是，請(qǐng)求出該值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)是定值，且.(1)解：由已知可得，解得，因此，橢圓的方程為.(2)解：①當(dāng)切線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，消去并整理，得，因?yàn)橹本€和橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程有兩個(gè)相等的根，，化簡(jiǎn)并整理，得，因?yàn)橹本€與垂直，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn).，所以，；②當(dāng)切線的斜率為時(shí)，直線，過點(diǎn)作直線的垂線為，即此時(shí)或，；③當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線，過點(diǎn)作直線的垂線為，即此時(shí)或，則.綜上所述，恒為定值．12．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)橢圓為左右焦點(diǎn),為短軸端點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為,且,的面積為.(Ⅰ)求橢圓的方程(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),且與直線相交于點(diǎn).試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在.請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)P(1,0)【詳解】(1)由題意知，解得：，故橢圓C的方程是．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k2－m2＋3＝0.(*)此時(shí)x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－由得N(4,4k＋m)．假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)P滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)P必在x軸上．設(shè)P(x1,0)，則對(duì)滿足(*)式的m、k恒成立．因?yàn)椋?－，＝(4－x1,4k＋m)，由，得-＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.故存在定點(diǎn)P(1,0)，使得以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)M.考點(diǎn)二：雙曲線【典例例題】例1．（2022·廣東珠?！じ呷谀╇p曲線的右支上一點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，若，，則雙曲線C的離心率e為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)為雙曲線左焦點(diǎn)，連接，，，由平面幾何知識(shí)可知，根據(jù)對(duì)稱性，四邊形為矩形，在中，，所以，，根據(jù)雙曲線的定義可知.故選:D．例2．（2022·廣東佛山·高三期末）已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)設(shè)，直線不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線與C交于另一點(diǎn)D，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(1)解：因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以雙曲線C的方程為；(2)解：顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線為，，聯(lián)立，消整理得，依題意得且，即且，，直線的方程為，令，得.所以直線過定點(diǎn).【方法技巧與總結(jié)】1.雙曲線的定義：焦點(diǎn)三角形2.雙曲線的性質(zhì)：離心率、雙曲線的漸近線【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東潮州·高三期末）、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支曲線分別交于、兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在雙曲線中，，，，則、，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，由圖可知，直線的斜率存在且不為零，，則為直角三角形，可得，由雙曲線的定義可得，所以，，可得，聯(lián)立，解得，因此，.故選：C.2．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【詳解】雙曲線的漸近線方程為，，，離心率，故選：D．3．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）（多選）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P是雙曲線C上位于第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)作的角平分線的垂線，垂足為A，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（

）A．雙曲線C的漸近線方程為B．雙曲線C的漸近線方程為C．雙曲線C的離心率為D．雙曲線C的離心率為【答案】AC【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于Q，則，因?yàn)?，所以．因?yàn)闉榈闹形痪€，所以．因?yàn)?，所以，故雙曲線C的漸近線方程為，離心率．故選：AC.4.（2022·廣東東莞·高三期末）已知為雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為_______.【答案】【詳解】雙曲線：的焦點(diǎn)為雙曲線：的漸近線為由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取焦點(diǎn)，漸近線為則則點(diǎn)到漸近線的距離為故答案為：45.（2022·廣東深圳·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，以為圓心的圓與的兩條漸近線交于、、三點(diǎn)，若四邊形的面積為，則的離心率為______．【答案】【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，則，則以為圓心，且過原點(diǎn)的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，不妨設(shè)點(diǎn)，由對(duì)稱性可知點(diǎn)，由已知可得，即，即，由已知，解得，因此，雙曲線的離心率為.故答案為：.6.（2022·廣東中山·高三期末）已知點(diǎn)M為雙曲線C：在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線C的離心率為___________；若分別交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，記直線QM與PQ的斜率分別為，則___________．【答案】4

-15【詳解】設(shè)，如圖所示：因?yàn)椋?所以，，即.所以，整理得：，，即，解得或.因?yàn)?，所以，?設(shè)，由題知：，因?yàn)?，所以，即，所以又因?yàn)椋?，所?故答案為：；.29．（2022·廣東深圳·一模）已知雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)到的漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為的直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，直線分別交直線AM，AN于點(diǎn)E，F(xiàn)．試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；反之，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為和(1)由題意得：因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，所以有：解得：因此，雙曲線C的方程為：(2)①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為由可得：設(shè)、，則由：，由直線AM方程，令，得點(diǎn)由直線AN方程，令，得點(diǎn)則以EF為直徑的圓的方程為：令，有：將，代入上式，得可得：解得：，或即以EF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)和；②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為、，以EF為直徑的圓方程為，該圓經(jīng)過點(diǎn)和綜合可得，以EF為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)和考點(diǎn)三：拋物線【典例例題】例1．（2022·廣東惠州·一模）若拋物線（）上一點(diǎn)P（2，）到其焦點(diǎn)的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【答案】D【詳解】拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，即為4，∴，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.例2．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，有兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若拋物線與軌跡按順時(shí)針方向依次交于四點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）.①求證：直線與直線相交于點(diǎn)；②設(shè)的面積為S，求S取最大值時(shí)的拋物線方程.【答案】．(1)（也可寫）(2)①證明見解析；②(1)據(jù)題意，設(shè)，則即故為軌跡的方程；（也可寫）(2)如圖：由圓與拋物線的對(duì)稱性，四邊形是以軸為對(duì)稱軸的等腰梯形不妨設(shè)，，在第一象限，，則聯(lián)立消去整理得：（1）據(jù)題意，方程（1）有兩相異正實(shí)根故①證明：依據(jù)圓與拋物線的對(duì)稱性，直線與直線的公共點(diǎn)必在軸上，要證直線與直線相交于點(diǎn)，只要證：三點(diǎn)共線；只要證：只要證：只要證：只要證：上式顯然成立，且各步可逆，故直線與直線相交于點(diǎn)②解法一：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)拋物線方程為解法二：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)拋物線方程為【方法技巧與總結(jié)】1.拋物線的定義：到準(zhǔn)線與到定點(diǎn)距離相等.2.拋物線的性質(zhì)：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東廣州·一模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與E相交于A，B兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在線段AC上，，則與的面積之比（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BD垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則由拋物線定義可知：，設(shè)直線AB為，，，，不妨設(shè)，則，所以，解得：，則，解得：，則，所以，解得：，則直線AB為，所以當(dāng)時(shí)，即，解得：，則，聯(lián)立與得：，則，所以，其中.故選：C2．（2022·廣東廣東·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)F到直線PO的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，，解得：，代入拋物線方程得，則，直線的方程式，即，點(diǎn)到直線的距離.故選：D3．（2022·廣東茂名·一模）（多選）已知拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，P是拋物線上第一象限的點(diǎn)，，直線PF與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4）B．C．D．過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)，則直線的方程為：【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋杂蓲佄锞€的定義得，得，所以，且點(diǎn)在第一象限，所以坐標(biāo)為（4，4），則A正確對(duì)于B，的直線方程為：，由與聯(lián)立得，Q（），由兩點(diǎn)距離公式得，則B正確對(duì)于C，方法一：方法二：由B得，原點(diǎn)O到直線的距離為，所以，所以C錯(cuò)誤對(duì)于D，設(shè)，由得，，則，MA切線方程為：，即，由得，，把點(diǎn)代入得，同理，即兩點(diǎn)滿足方程：，所以的方程為：，則D正確，故選：ABD4．（2022·廣東·一模）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上存在n個(gè)點(diǎn)，，，（且）滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．時(shí)，B．時(shí)，的最小值為9C．時(shí)，D．時(shí)，的最小值為8【答案】BC【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨取過焦點(diǎn)垂直于x軸，不妨取，則，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè)在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè),則，則，故，令，則，令，則

，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，故，故當(dāng)，即時(shí)，取到最小值9，故B正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè)在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè),則，即，故，，所以，故C正確；由C的分析可知：，當(dāng)時(shí)，取到最小值16，即最小值為16，故D錯(cuò)誤；故選：BC5．（2022·廣東湛江·一模）（多選）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點(diǎn)，與C相交于E，D兩點(diǎn)，M為A，B中點(diǎn)，N為E，D中點(diǎn)，直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，則（

）A．點(diǎn)M到直線l的距離為定值 B．以為直徑的圓與l相切C．的最小值為32 D．當(dāng)最小時(shí)，【答案】BCD【詳解】設(shè)，，，，，直線的方程為，則直線的方程為,將直線的方程代入，化簡(jiǎn)整理得，則，，故,所以，,因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l的距離，點(diǎn)B到直線l的距離，點(diǎn)M到直線l的距離，又，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋砸詾橹睆降膱A的圓心M到l的距離為，即以為直徑的圓與l相切，故B正確；同理，，所以，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；.設(shè)，則，，.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小，這時(shí)，故D正確,故選:BCD.6．（2022·廣東深圳·一模）（多選）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動(dòng)圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】解：動(dòng)圓C與圓A和直線l都相切，當(dāng)圓C與圓A相外切時(shí)，取到A的距離為d+1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線；當(dāng)圓C與圓A相內(nèi)切時(shí)，取到A的距離為d-1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線；所以，當(dāng)時(shí)，拋物線不完整，所以，，，，故選：ABD【鞏固練習(xí)】一、單選題1．橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，即，所以橢圓的離心率.故選：A.2．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知：，因?yàn)椋?，整理得，所以，得?故選：A3．已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，以為圓心的圓與直線恰好相切于點(diǎn)P，則是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，設(shè)，由橢圓定義得，由于以為圓心的圓與直線恰好相切于點(diǎn)P，所以，即，整理得，得，得，所以．故選：A4．明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）?（2）?（3）中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別，設(shè)圖（1）?（2）?（3）中橢圓的離心率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓的離心率，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值越大，離心率越大.由，所以.故選：B.5．設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)B在C上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則，從而．設(shè)左焦點(diǎn)為，則，所以B為短軸端點(diǎn)，所以．故選:C．6．設(shè)橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上不同于、的任一點(diǎn)，若將的三個(gè)內(nèi)角記作、、，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榭傻?，即，而在三角形中，，所以上式可得而，所以可得，即，由題意可得，，設(shè)，，可得，由橢圓的對(duì)稱性設(shè)在第一象限，如圖所示：在中，，在中，，所以，所以可得，所以離心率故選：．7．已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn).若線段的長(zhǎng)為16，的中點(diǎn)到軸距離為6，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，，，由拋物線的定義可得，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到軸的距離是6，所以，所以，所以拋物線的方程為：，設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得，，所以，解得，所以的方程為：，.故選：B8.過拋物線的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的傾斜角等于（

）A．或 B．或 C．或 D．與p值有關(guān)【答案】C【詳解】如圖所示，由拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，直線l交準(zhǔn)線于，如圖所示：則，，，所以，，所以，即直線l的傾斜角等于，同理可得直線l的傾斜角為鈍角時(shí)即為，故選：C．二、多選題9．已知為橢圓的焦點(diǎn)，，分別為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)（且不是離最近的那個(gè)頂點(diǎn)），若，，則橢圓的離心率可以為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】不妨設(shè)焦點(diǎn)在軸上且為右焦點(diǎn)，顯然不會(huì)是右頂點(diǎn)，分類討論：①若為左頂點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，則，解得，此時(shí)離心率；②若為左頂點(diǎn)，為上（下）頂點(diǎn)，則，無解，不滿足；③若為上（下）頂點(diǎn)，為左（右）頂點(diǎn)，則，無解，不滿足；④若為上（下）頂點(diǎn)，下（上）頂點(diǎn)，則，解得，，，此時(shí)離心率為，故選：AB.2．設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線C的離心率可以是（

）A． B． C． D．2【答案】AC【解析】若曲線是橢圓則其離心率為；若曲線是雙曲線則其離心率為；故選：AC3．雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上.若是直角三角形，則的面積為（

）A． B． C．4 D．2【答案】AC【解析】由雙曲線可得.根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性只需考慮或.當(dāng)時(shí)，將代入可得，所以的面積為.當(dāng)時(shí)，由雙曲線的定義可知，，由勾股定理可得.因?yàn)?，所以，此時(shí)的面積為綜上所述，的面積為4或.故選：.4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為上一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．的周長(zhǎng)為C． D．【答案】CD【解析】對(duì)于A，由橢圓方程知：，，離心率，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓定義知：，，的周長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，，，，即，，C正確；對(duì)于D，，，，D正確.故選：CD.5．已知拋物線C：，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)T(1，-1)作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，下列說法正確的是（

）A．p=1 B．拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)C． D．直線AB的斜率為【答案】BCD【詳解】解：易知準(zhǔn)線方程為，∴，：，故選項(xiàng)A不正確；拋物線：的焦點(diǎn)為F(0，1)，所以選項(xiàng)B正確；設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時(shí)，有，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項(xiàng)C正確；設(shè)，，其中，.則：，即.代入點(diǎn)，得，同理可得，故：，故.

故選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題1．與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長(zhǎng)為的橢圓方程是________.【答案】【解析】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，依題意，橢圓短半軸，則，所以橢圓的方程為.故答案為：2．已知橢圓：的焦點(diǎn)為，．過且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，以，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)恰好也在橢圓上，則______．【答案】【解析】依題意可知，設(shè)，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，且直線的傾斜角為60°，所以，所以，，，所以，將其代入，得，又因?yàn)?，所以，．故答案為?．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，直線和的斜率分別為、，寫出一個(gè)滿足的橢圓的方程：___________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意可知、、，則，，