洛必達(dá)法則（原卷版）

“洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，用分離參數(shù)法（避免分類討論）解決成立、或恒成立命題時(shí)，經(jīng)常需要求在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)（最）值，若出現(xiàn)型或型可以考慮使用洛必達(dá)法則。法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)eq\o(lim,\s\do6(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do6(x→a))g(x)＝0；(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)eq\o(lim,\s\do6(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do6(x→a))g(x)＝∞；(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.類型一：用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)【例1】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)，，即.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，也即.記，，則.記，，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以；從而在上單調(diào)遞增，所以.由洛必達(dá)法則有：，即當(dāng)時(shí)，，所以，即有.綜上所述，當(dāng)，時(shí)，成立.【方法總結(jié)】用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)的步驟：1.可以分離變量；2.出現(xiàn)“”型式子；3.運(yùn)用洛必達(dá)法則求值【針對(duì)訓(xùn)練】若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時(shí)，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．類型二：用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍．【解析】當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>0?a<eq\f((x＋1)lnx,x－1)．令H(x)＝eq\f((x＋1)lnx,x－1)，則H′(x)＝＝eq\f(x－\f(1,x)－2lnx,(x－1)2)，令K(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx，則K′(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x2)>0，于是K(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以K(x)>K(1)＝0，于是H′(x)>0，從而H(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．由洛必達(dá)法則，可得eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f((x＋1)lnx,x－1)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f(((x＋1)lnx)′,(x－1)′)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f(1＋\f(1,x)＋lnx,1)＝2，于是a≤2，所以a的取值范圍是(－∞，2]．【方法總結(jié)】用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)的步驟：1.可以分離變量；2.出現(xiàn)“”型式子；3.運(yùn)用洛必達(dá)法則求值【針對(duì)訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【解析】當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于令,則，令，則，，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達(dá)法則知，，故綜上，知a的取值范圍為。1.已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2.已知函數(shù).（1）若在時(shí)有極值，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.3.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（1）求、的值；（2）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍。4.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，都有恒成立，求的取值范圍.5.若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍.6.設(shè)函數(shù).設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.7.設(shè)