余弦定理知識講解

余弦定理【學習目標】掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法；熟記余弦定理及其變形形式，會用余弦定理解決兩類基本解三角形問題;通過三角函數(shù)，余弦定理，向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系，理解事件之間的聯(lián)系與辨證統(tǒng)一的關(guān)系【要點梳理】要點一、學過的三角形知識1.AABC中 C（1） 一般約定：AABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c；（2）A+B+C=1800； 、卜/（3） 大邊對大角，大角對大邊，即B>Cob>c；等邊對等角，等角對等邊，即B=Cob=c；（4） 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即a+c>b，a-c<b.2.RtAABC中，ZC=900，,b a _cosA=-，cosB=—，cosC=0c c要點詮釋：初中討論的三角形的邊角關(guān)系是解三角形的基本依據(jù)要點二、余弦定理及其證明三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即:a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC余弦定理的推導(dǎo)已知：AABC中，BC=a，AC=b及角C，求角C的對應(yīng)邊c.證明：方法一：向量法（1）銳角AABC中（如圖），uuruuruuur A-AC+CB=AB,uuruuruuiruuruuiruur '、c:.AB-AB=(AC+CB)(AC+CB)uuir uuruuiruur 。*a'B=AC2+2CB-AC+CB2uuruuruuir uur=1AC|2+21CBI?IACIcos(兀-C)+ICBI2=b2—2bacosC+a2即：c2=a2+b2—2abcosC (*)同理可得：b2=a2+c2一2accosB,a2=b2+c2一2bccosA要點詮釋：uuruur uuruur推導(dǎo)(*)中，AC與CB的夾角應(yīng)通過平移后得到，即向量的起點應(yīng)重合，因此AC與CB的夾角應(yīng)為兀—C,而不是C.鈍角三角形情況與銳角三角形相同。2-兀(3)對于直角三角形中C=-時，cosC=0,c2=a2+b2，也滿足余弦定理。方法二：解析幾何方法一一利用兩點間距離公式這里我們只討論銳角三角形的情形，對于直角三角形和鈍角三角形的情形的討論相同。如圖所示建立坐標系.則點A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA,bsinA)由B、C兩點間的距離可知，IBCI=((bcosA-c)2+(bsinA一0)2即a=\，‘b2+c2—2bccosA整理得到a2=b2+c2一2bccosA.余弦定理的變形公式：b2+c2-a2 八a2+c2-b2 八a2+b2-c2cosA= ,cosB= ,cosC= 2bc 2ac 2ab要點三、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角。要點詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一.2.解斜三角形的基本問題：已知條件解法解的情況一邊和兩角（例如a,B,C）利用A+B+C=180。，求A應(yīng)用正弦定理求b,c唯一解兩邊和夾角（例如a,b,C）應(yīng)用余弦定理求邊c應(yīng)用正弦定理求a,b中較短的邊所對的角（該角一定是銳角）利用A+B+C=180。，求第三個角.唯一解三邊（例如a,b,c）法一:1、應(yīng)用余弦定理先求任意兩個角2.用A+B+C=180。，求第三個角法二:1、應(yīng)用余弦定理求a,b,c中最長邊所對的角2、 應(yīng)用正弦定理求余下兩個角中的任意一個（該角一定是銳角）3、 利用A+B+C=180。，求第三個角唯一解兩邊及其中一邊的對角（例如a,b,A）此類問題首先要討論解的情況1、 應(yīng)用正弦定理，求另一邊的對角（即角B）2、 利用A+B+C=180。，求第三個角3、 應(yīng)用正弦或余弦定理求第三邊兩解、一解或無解要點詮釋：對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來對解進行討論。此外，有的時候還要對邊角關(guān)系（例如，大邊對大角）進行討論從而舍掉不合理的解。要點三、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀余弦定理、正弦定理與三角形中的三角變換結(jié)合在一起，運用三角函數(shù)的變換公式進行三角函數(shù)式的變形轉(zhuǎn)化，在三角形中，解決有關(guān)含有邊角關(guān)系的問題時，可以運用余弦定理完成邊角互化，通過變形轉(zhuǎn)化成三角形三邊之間的關(guān)系，判斷三角形的形狀.判斷三角形形狀有兩條思考路線：其一是化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三個角之間的關(guān)系式；其二是化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系式，兩種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理.

【典型例題】類型一：余弦定理的簡單應(yīng)用：例1.(2016春鹽城校級期中)已知AABC中，如果sinA:sinB:sinC=5:6:8，那么此三角形最大角的余弦值?！舅悸伏c撥】首先依據(jù)大邊對大角確定要求的角，然后用余弦定理求解【解析】QsinA:sinB:sinC=5:6:8，由正弦定理可知a:b:c=5:6:8，令a=5,b=6,c=8，所以邊c對應(yīng)的角最大TOC\o"1-5"\h\z八a2+b2-c225+36-64 1cosC= = =—-2ab 2x5x6 20【總結(jié)升華】AABC中，若知道三邊的長度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理;用余弦定理時，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式11(2015廣東)設(shè)^ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a=2,c=2<3【變式11(2015A且b<c，則b=(B.2B.2C.2克D.3【答案】由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA，所以22=b2+^異)—2xbx2七'3x^~，即b2—6b+8=0,A解得：b=2或b=4，因為b<c，所以b=2。故選：B.【變式2】在AABC中，角A,B,C所對的三邊長分別為a,b,c，若a:b:c=如6:2:((3+1)，求AABC的各角的大小.【答案】設(shè)a=<6k，b=2k，c=(：'3+)k，(k>0)6+C'3+J—4 .-'2根據(jù)余弦定理得：cosB=2(._+1)_=3，V0o<B<180o，.??B=45o；同理可得A=60o；...C=180o-A-B=75o【高清課堂：余弦定理376695題一】【變式3】在AABC中，若a2=b+c2+bc，則角A等于（）.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"kk 2k k 2kA.3B.6七D.3或Tb2+c2-a2【答案】b2+c2一a2=-bc， cosA=2bc 24 2兀A=—

3類型二：余弦定理的綜合應(yīng)用例2.（2015陜西高考）AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，向量m=（a,扣2b）與rn=(cosA,sinB)平行.(I)求A；(II)若a=\7,b=2求AABC的面積.【答案】(I)A=彳；(II)323.urr【思路點撥】（I）先利用m//n可得asinB—v''3bcosA=0，再利用正弦定理可得tanA的值，進而可得A的值；（II）由余弦定理可得c的值，進而利用三角形的面積公式可得AABC的面積.urr 一【解析】（I）因為m//n，所以asinB一寸3bcosA=0由正弦定理，得sinAsinB一\3sinBcosA=0又sinB。0，從而tanA=J3，/兀所以A=—（II）解法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，而a=<7,b=2，A=三，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0因為c>0，所以c=3，

TOC\o"1-5"\h\z一. 3、.耳故AABC面積為—bcsinA= 2“ 、、/占解法一：由正弦定理，得 =-兀sin—2

sinB從而sinB=72

sinB從而sinB=7又由a>b知A>B，一2、折所以cosB—7故sinC—sin（A+B）=sin（B+；）=sinBcosI+cosBsin:=號，1 ._3t'3所以^ABC面積為號absinC=——.TOC\o"1-5"\h\zA A余弦定理與三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識?！究偨Y(jié)升華】本題考查平行向量的坐標運算、正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識。舉一反三：、. 、、. .2兀 b【變式1】（2016北京高考文）在^ABC中，ZA=二-，a="3c，則一= 3 c一?一2兀sinA 1 ?！敬鸢浮?由正弦定理知一—=—=寸3，所以sinC=—；=—=—，則C=—，所以sinCc \.；3 2 6b1

即一b1

即一=1.cB—丸 =—，所以b—c，3 66【變式2】在AABC中，已知角A,B,C所對的三邊長分別為a,b,c，若a=2，b=2\2，c=\/6-*2，求角A和sinC【答案】根據(jù)余弦定理可得：xb2+c2-a2 8+8-牝3-4、<3cosA= — 二（一—————2bc 2x2技xV6-顯）2?.?0o<A<180o， .??A—30o

..?由正弦定理得:.八c..?由正弦定理得:.八csinAsinC= （；6f2）sin30o類型三：判斷三角形的形狀例3.在^ABC中，已知sinA=2sinBcosC,試判斷該三角形的形狀.【思路點撥】本題可以用正弦定理、余弦定理化簡成單一的邊的關(guān)系，然后判斷.【解析】由正弦定理及余弦定理，得sinAa八a2+b2-c2 =—,cosC= ，sinBb 2ab所以a a2+b2-c2-=2-一—一，整理得，b 2ab因為b>0,c>0,所以b=c，因此△ABC為等腰三角形【總結(jié)升華】已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，有兩條思路：其一化邊為角，再進行三角恒等變換求出三個角之間的關(guān)系式；其二化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系式。舉一反三：TOC\o"1-5"\h\z【變式1】在^ABC中，若2cosBsinA=sinC，則^